Sous-ensembles en mathématiques sont un concept central dans l'étude de la théorie des ensembles, similaire aux ensembles. Un groupe d'éléments, d'objets ou de membres entourés d'accolades, tels que {x, y, z}, est appelé un Ensemble , où chaque membre de l'ensemble est unique. Ainsi, pour un ensemble de {x, y, z}, les sous-ensembles possibles sont {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} ou { x, y, z}. Lors de la définition d'un ensemble, ses éléments peuvent également être des nombres réels, des constantes, des variables ou tout autre objet.

Cet article explore le concept de sous-ensembles en détail et le rend facile à comprendre pour tous les lecteurs de l'article sans aucun égard à leur niveau académique. Tous les sous-thèmes tels que leur signification, leur définition, leur symbole, leur exemple et bien d'autres encore sont abordés dans l'article avec de nombreux exemples. Commençons donc notre voyage au pays de la théorie des ensembles et comprenons ce concept de sous-ensembles.

Dans cet article, nous avons fourni des informations détaillées sur que sont les sous-ensembles en mathématiques, les surensembles en mathématiques, le sous-ensemble approprié et le sous-ensemble impropre avec des exemples et des FAQ.

Table des matières

• Que sont les sous-ensembles en mathématiques ?
• Exemple de sous-ensembles
• Ensemble de puissance d'un ensemble
• Types de sous-ensembles
• Sous-ensemble approprié
• Sous-ensemble inapproprié
• Sous-ensembles appropriés et inappropriés
• Sous-ensembles vs surensembles

Que sont les sous-ensembles en mathématiques ?

Un ensemble « A » est un sous-ensemble de l'ensemble « B » si tous les éléments de l'ensemble A relèvent de l'ensemble B. De plus, un sous-ensemble peut être égal à un ensemble dans un cas particulier lorsque tous les éléments d'un sous-ensemble sont contenus dans l'ensemble. ensemble.

Afin de mieux comprendre un sous-ensemble, considérons qu'un ensemble A est une collection de nombres impairs et que l'ensemble B se compose de {1,3,5}, donc ici B est un sous-ensemble de A et A est un sur-ensemble de B.

Par exemple: Si l'ensemble A contient {pomme, banane} et que l'ensemble B contient {tous les fruits} alors A est le sous-ensemble de B.

Prenons un autre exemple pour une meilleure compréhension.

Exemple : Déterminez lequel est un sous-ensemble et lequel est un sur-ensemble, si A = {a, e, i, o, u} et B = {Tous les alphabets}.

Répondre:

filigrane dans Word

Ici, A contient tous les éléments voyelles qui font partie des alphabets. Donc ici, A est un sous-ensemble de B et B est un sur-ensemble de A.

Définition du sous-ensemble

Mathématiquement, un ensemble A est censé être un sous-ensemble de l'ensemble B si tous les composants de l'ensemble A existent également dans l'ensemble B. Ainsi, un sous-ensemble est un sous-groupe de n'importe quel ensemble. En d’autres termes, l’ensemble A est contenu dans l’ensemble B.

Par exemple: Si l'ensemble A = {1, 2, 3} et l'ensemble B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} alors nous pouvons dire que l'ensemble A est un sous-ensemble de l'ensemble B car tous les éléments de l'ensemble A sont disponibles dans l'ensemble B.

Signification du sous-ensemble

Un ensemble dont les éléments sont tous des éléments d'un ensemble inclusif est la signification de sous-ensemble. Considérons un ensemble X tel que X comprenne les noms de tous les fleuves d'un pays. Un autre ensemble Y comprend les noms des rivières de votre Inde du Nord. Ici, y sera un sous-ensemble de x car toutes les rivières du nord de l'Inde seraient également des rivières de notre pays ; par conséquent, Y est un sous-ensemble de X. Il n’existe qu’un nombre défini de sous-ensembles distincts ou uniques pour tout ensemble, les autres sont donc non pertinents et répétitifs.

Exemple : répertoriez tous les sous-ensembles de l'ensemble Q = {1, 2, 3}.

Répondre:

Les sous-ensembles de Q sont { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} et {1, 2, 3}

Symbole de sous-ensemble

Un sous-ensemble est indiqué par le symbole et se lit comme « est un sous-ensemble de » dans théorie des ensembles . Un sous-ensemble est représenté par un symbole donné par ⊆. Les sous-ensembles peuvent être exprimés à l'aide de ce symbole comme suit :

A ⊆ B cela signifie que l'ensemble A est un sous-ensemble de l'ensemble B.

regroupement

Exemple de sous-ensembles

La seule nécessité pour qu’un ensemble A soit un sous-ensemble d’un ensemble B est que chaque élément de A soit présent dans B. Voici quelques instances de sous-ensembles basés sur cela.

• A = {2, 3, 10} est un sous-ensemble de B = {1, 2, 3, 4, 10},
• P. = L'ensemble de tous les nombres premiers est un sous-ensemble de N = Ensemble de tous les nombres naturels, et
• X = {a, e, i, o ,u} sont une collection de voyelles et sont un sous-ensemble de Y = Ensemble de tous les alphabets.

Il convient de noter que chaque ensemble est un sous-ensemble de lui-même, tout comme l'ensemble vide ().

Exemple : un ensemble nul peut-il être un sous-ensemble de n'importe quel ensemble ?

Répondre:

Null est un sous-ensemble de chaque ensemble. Par défaut, nous considérons ce fait que tous les ensembles contiennent un élément appelé ensemble nul.

Sous-ensembles de nombres réels

Les nombres réels qui peuvent être exprimés sous forme de nombres décimaux appartiennent à diverses catégories. De par votre existence quotidienne, vous êtes sans doute déjà familier avec les fractions, les décimales et le comptage des nombres. Les nombres suivants sont considérés comme un sous-ensemble de nombres réels :

• Nombres rationnels : Tout nombre pouvant être exprimé sous forme de fraction, p/q, où p et q sont tous deux des entiers positifs. Il s'agit de décimales non terminales, répétitives et de décimales terminales sous forme décimale. Ex : -5/9, 1/8
• Nombres irrationnels : Ces nombres ne se terminent pas et ne se répètent pas lorsqu’ils sont exprimés sous forme décimale. Exe.
• Entiers : Tous les nombres comptés, y compris zéro et leurs opposés. Ex : -2,-1,0,3
• Nombres entiers : Zéro et tous les nombres positifs. Ex-0, 2, 500
• Nombres naturels : Tous les nombres de comptage positifs. Ex-1,2,40

Exemple : à quels sous-ensembles des nombres réels appartient -5 ?

Répondre:

-5 est un nombre rationnel et un entier.

Ensemble de puissance d'un ensemble

Un ensemble ensemble de puissance se compose de chaque sous-ensemble ainsi que de l’ensemble d’origine et de l’ensemble vide. P(A) représente l'ensemble de puissances d'un ensemble A donné. Par exemple, si A = {1, 2}, alors P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Ici, nous pouvons clairement voir que tous les sous-ensembles de A sont contenus dans le P(A), c'est-à-dire l'ensemble des puissances de A.

Nombre de sous-ensembles d'un ensemble

Pour tout ensemble A, le nombre de seusests est donné à l'aide de la formule suivante

Nombre de sous-ensembles = 2 ⁿ

Où n est le nombre d’éléments dans l’ensemble.

Comme l’ensemble de puissance contient tous les sous-ensembles de n’importe quel ensemble, donc pour un ensemble A qui a « n » éléments alors P(A) a 2ⁿéléments.

Exemple : combien d’éléments d’un ensemble de puissance peuvent être formés s’il y a quatre éléments dans un ensemble ?

Répondre:

Le nombre d'éléments du jeu de puissance avec trois éléments est 2⁴= 16.

Types de sous-ensembles

Il existe deux types de sous-ensembles :

• Sous-ensemble approprié
• Sous-ensemble inapproprié

Discutons de ces types en détail comme suit :

Sous-ensemble approprié

UN sous-ensemble approprié ne comprend que quelques membres de l’ensemble original. Un sous-ensemble approprié ne peut jamais être égal à l’ensemble d’origine. Dans un sous-ensemble approprié, le sous-ensemble formant l'ensemble d'origine est exclu.

Symbole de sous-ensemble approprié

Un sous-ensemble approprié est noté ⊂,

Nous pouvons exprimer un sous-ensemble approprié pour l'ensemble A et l'ensemble B comme ;

freddie mercure né

UNE⊂B

Exemple de sous-ensembles appropriés

Soit A = {1, 3, 5}, alors les sous-ensembles appropriés de A sont {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. De plus, {1, 3, 5} est un sous-ensemble de A mais ce n'est pas un sous-ensemble propre de A.

Formule de sous-ensemble appropriée

Le nombre de sous-ensembles propres d’un ensemble avec « n » éléments est 2ⁿ- 1.

Exemple : Un ensemble contient 3 éléments, quel sera le nombre de sous-ensembles propres ?

Répondre:

Nombre de sous-ensembles appropriés = 2ⁿ- 1

Ici, n = 3

N = 2³– 1 = 7

Sous-ensemble inapproprié

Un sous-ensemble inapproprié contain inclut à la fois l’ensemble nul et chaque membre de l’ensemble initial. Un sous-ensemble inapproprié peut être égal à l'ensemble d'origine. Dans un sous-ensemble impropre, le sous-ensemble formant l'ensemble original est inclus. Ceci est représenté par le symbole ⊆ .

Exemple : quel sera le sous-ensemble impropre de l'ensemble A = {1, 3, 5} ?

Répondre:

Sous-ensemble incorrect : {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} et {1,3,5}

Formule de sous-ensemble incorrecte

Pour une collection de « n » éléments, le nombre de sous-ensembles impropres est toujours 1. En d’autres termes, le nombre de sous-ensembles impropres d’un ensemble est indépendant du nombre de ses éléments.

Apprendre encore plus, Formules de la théorie des ensembles

Sous-ensembles appropriés et inappropriés

Les principales différences entre les sous-ensembles appropriés et les sous-ensembles inappropriés sont répertoriées dans le tableau suivant :

Exemple : Pour un ensemble P = {1,2}, recherchez le sous-ensemble approprié et impropre.

Solution:

police de caractères

L'ensemble approprié est donné par { }, {1} et {2}

Un ensemble incorrect est donné par { }, {1}, {2} et {1,2}

Sous-ensembles vs surensembles

Les principales différences entre les deux sous-ensembles et surensembles sont répertoriés dans le tableau suivant :

Formule de sous-ensemble

Toutes les formules liées aux sous-ensembles sont données ci-dessous.

• Le nombre de sous-ensembles d'un ensemble à n éléments est 2ⁿ. Cela inclut les sous-ensembles appropriés et inappropriés.
• Le nombre de sous-ensembles propres d'un ensemble à n éléments est 2ⁿ- 1.
• Le nombre de sous-ensembles impropres d’un ensemble est toujours 1.

Lisez également

• Représentation de l'ensemble
• Types d'ensembles
• Ensembles universels

Problèmes résolus sur les sous-ensembles

Problème 1 : combien de sous-ensembles dans un ensemble de 4 éléments ?

Solution:

Un ensemble contenant 4 éléments en aura 2⁴éléments qu'il contient = 16.

Problème 2 : combien de sous-ensembles dans un ensemble de 5 éléments ?

Solution:

Un ensemble contenant 5 éléments en aura 2⁵éléments qu'il contient = 32.

FAQ sur les sous-ensembles

Que sont les sous-ensembles en mathématiques ?

Si chaque composant de l’ensemble A est également présent dans l’ensemble B, alors l’ensemble A est dit être un sous-ensemble de l’ensemble B. En d’autres termes, l’ensemble B contient l’ensemble A.

Que sont les sous-ensembles appropriés ?

Un sous-ensemble d'un ensemble A qui n'est pas égal à A est un sous-ensemble propre de A. En d'autres termes, si B est un sous-ensemble propre de A, alors A a au moins un élément qui n'est pas dans B mais tous les éléments de B sont dans un.

Que sont les sous-ensembles inappropriés ?

Un sous-ensemble qui inclut tous les composants de l'ensemble d'origine est considéré comme un sous-ensemble inapproprié.

Un sous-ensemble peut-il être égal à lui-même ?

Chaque ensemble est considéré comme un sous-ensemble de lui-même. Le sous-ensemble propre d’aucun ensemble est lui-même. Chaque ensemble a l’ensemble vide comme sous-ensemble.

Un sous-ensemble peut-il être un ensemble universel ?

Nous pouvons dire que l’ensemble A est le sous-ensemble de l’ensemble B si chaque élément de l’ensemble A est également un élément de l’ensemble B. Alors, n’importe quel ensemble universel donné peut être utilisé pour produire les sous-ensembles. Il est également important de garder à l’esprit que chaque ensemble universel est en réalité un sous-ensemble de lui-même.

Un sous-ensemble peut-il être nul ?

Oui, un ensemble nul est par défaut un sous-ensemble de n'importe quel ensemble.

Quelles sont les deux classifications de sous-ensembles ?

Les classifications des sous-ensembles sont :

• Sous-ensemble approprié
• Sous-ensemble incorrect