Écart-type est la mesure de la dispersion des statistiques. La formule d'écart type est utilisée pour trouver l'écart de la valeur des données par rapport à la valeur moyenne, c'est-à-dire qu'elle est utilisée pour trouver la dispersion de toutes les valeurs d'un ensemble de données par rapport à la valeur moyenne. Il existe différentes formules d'écart type pour calculer l'écart type d'une variable aléatoire.

Dans cet article, nous découvrirons qu'est-ce que l'écart type, les formules d'écart type, comment calculer l'écart type et des exemples d'écart type en détail.

Table des matières

• Qu’est-ce que l’écart type ?
• Définition de l’écart type
• Formule d'écart type
• Formule de calcul de l'écart type
• Comment calculer l’écart type ?
• Qu'est-ce que l'écart
• Différence entre variance et écart
• Formule de variation
• Comment calculer la variance ?
• Écart type des données non groupées
• Écart type des données groupées discrètes
• Écart type des données groupées continues
• Écart type de la distribution de probabilité
• Écart type des variables aléatoires
• Exemple de formule d'écart type
• Formule d'écart type Excel
• Statistiques de formule d'écart type

Qu’est-ce que l’écart type ?

L'écart type est défini comme le degré de dispersion du point de données par rapport à la valeur moyenne du point de données. Il nous indique comment la valeur des points de données varie par rapport à la valeur moyenne du point de données et nous indique la variation du point de données dans l'échantillon de données.

L'écart type d'un échantillon donné d'ensemble de données est également défini comme la racine carrée de la variance de l’ensemble de données. Écart moyen des n valeurs (disons x₁, X₂, X₃, …, X_n) est calculé en faisant la somme des carrés de la différence de chaque valeur par rapport à la moyenne, c'est-à-dire

Écart moyen = 1/n∑ _je ⁿ (X _je - X) ²

L'écart moyen est utilisé pour nous informer sur la dispersion des données. Le degré d'écart le plus faible nous indique que les observations xi sont proches de la valeur moyenne et la dépression est faible, tandis que le degré d'écart le plus élevé nous indique que les observations xi sont loin de la valeur moyenne et que la dispersion est élevée.

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Définition de l’écart type

L'écart type est une mesure utilisée dans les statistiques pour comprendre comment les points de données d'un ensemble sont répartis depuis le signifier valeur. Il indique l’étendue de la variation des données et montre dans quelle mesure les points de données individuels s’écartent de la moyenne.

Vérifier: Comment trouver l’écart type en statistiques ?

Formule d'écart type

L'écart type est utilisé pour mesurer la diffusion des données statistiques. Cela nous renseigne sur la façon dont les données statistiques sont réparties. Formule pour calculer l'écart type est utilisé pour trouver l’écart de tous les ensembles de données par rapport à sa position moyenne. Vous avez peut-être des questions sur l'écart type, comment calculer ou comment calculer un écart type . Il existe deux formules d'écart type qui sont utilisées pour trouver l'écart type d'un ensemble de données donné. Ils sont,

• Formule d'écart type de la population
• Exemple de formule d'écart type

où,

• s est l'écart type de la population
• X _je est-ce que je ^ème observation
• x̄ est la moyenne de l'échantillon
• N est le nombre d'observations

où,

• σ est l'écart type de la population
• X_jeest-ce que je^èmeObservation
• μ est la moyenne de la population
• N est le nombre d'observations

Il est évident de noter que les deux formules se ressemblent et n’ont que des changements glissants dans leur dénominateur. Le dénominateur dans le cas de l'échantillon est n-1 mais dans le cas du la population est N. Initialement, le dénominateur dans le écart type de l'échantillon la formule a n dans son dénominateur mais le résultat de cette formule n'était pas approprié. Une correction a donc été apportée et le n est remplacé par n-1 cette correction est appelée correction de Bessel ce qui a produit les résultats les plus appropriés.

En savoir plus: Différence entre la variance et l'écart type

Formule de calcul de l'écart type

La formule utilisée pour calculer l'écart type est décrite dans l'image ci-dessous,

Comment calculer l’écart type ?

Généralement, quand on parle d'écart type, on parle de écart type de la population . Les étapes pour calculer l'écart type d'un ensemble de valeurs donné sont les suivantes,

Étape 1: Calculer la moyenne d'observation en utilisant la formule

(Moyenne = Somme des observations/Nombre d'observations)

Étape 2: Calculez les carrés des différences entre les valeurs des données et la moyenne.

(Valeur des données – Moyenne)²

Étape 3: Calculer la moyenne des carrés des différences.

(Variance = Somme des différences au carré / Nombre d'observations)

Étape 4 : Calculez la racine carrée de la variance, cela donne l’écart type.

(Écart type = √Variance)

Qu'est-ce que l'écart

La variance nous indique essentiellement la répartition d'un ensemble de données. Si tous les points de données sont identiques, la variance est nulle. Tout écart non nul est considéré comme positif . Une faible variance signifie que les points de données sont proches de la moyenne (ou moyenne) et les uns des autres. Une variance élevée signifie que les points de données sont éloignés de la moyenne et les uns des autres. En termes simples, la variance est la moyenne de la distance entre chaque point de données et la moyenne, au carré.

Différence entre variance et écart

Vérifier:

• Différence entre la variance et l'écart type
• Moyenne, variance et écart type

Formule d'écart

La formule pour calculer la variance d'un ensemble de données est la suivante :

Variance (σ^2) = Σ [(x – μ)^2] / N

Où:

• Σ désigne la sommation (addition)
• x représente chaque point de données individuel
• μ (mu) est la moyenne (moyenne) de l'ensemble de données
• N est le nombre total de points de données

Comment calculer la variance ?

Les étapes pour calculer la variance d'un ensemble de données :

Étape 1: Calculer la moyenne (moyenne) :

Additionnez toutes les valeurs de l'ensemble de données et divisez par le nombre total de valeurs. Cela vous donne la moyenne (μ).

Moyenne (μ) = (Somme de toutes les valeurs) / (Nombre total de valeurs)

Étape 2 : Trouvez les différences au carré par rapport à la moyenne :

Pour chaque valeur de l'ensemble de données, soustrayez de cette valeur la moyenne calculée lors de la première étape, puis mettez le résultat au carré. Cela vous donne la différence au carré pour chaque valeur.

Différence au carré pour chaque valeur = (Valeur – Moyenne)^2

Étape 3 : Calculez la moyenne des différences au carré :

Additionnez toutes les différences au carré calculées à l'étape précédente, puis divisez par le nombre total de valeurs dans l'ensemble de données. Cela vous donne la variance (σ^2).

Variance (σ^2) = (Somme de toutes les différences au carré) / (Nombre total de valeurs)

Vérifier: Variance et écart type

Écart type des données non groupées

Méthode moyenne supposée

Méthode d'écart de pas

Écart type par méthode de moyenne réelle

La méthode de l'écart type par moyenne réelle utilise la formule moyenne de base pour calculer la moyenne des données données. et en utilisant cette valeur moyenne, nous trouvons l'écart type des valeurs de données données. Nous calculons la moyenne dans cette méthode avec la formule,

μ = (Somme des observations)/(Nombre d'observations)

et Ensuite, l'écart type est calculé à l'aide de la formule de l'écart type.

σ = √(∑ _je ⁿ (X _je - X) ² /n)

Exemple : Trouver l'écart type de l'ensemble de données. X = {2, 3, 4, 5, 6}

Solution:

Donné,

• n = 5
• X_je= {2, 3, 4, 5, 6}

Nous savons,

Moyenne (μ) = (Somme des observations)/(Nombre d'observations)

⇒ µ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/ 5

⇒ µ = 4

p²= ∑_jeⁿ(X_je- X)²/n

⇒p²= 1/n[(2 – 4)²+ (3 – 4)²+ (4 – 4)²+ (5 – 4)²+ (6 – 4)²]

⇒p²= 10/5 = 2

Ainsi, σ = √(2) = 1,414

Écart type par méthode moyenne supposée

Pour de très grandes valeurs de x, trouver la moyenne des données groupées est une tâche fastidieuse, nous avons donc supposé une valeur arbitraire (A) comme valeur moyenne, puis avons calculé l'écart type en utilisant la méthode normale. Supposons que pour le groupe de n valeurs de données ( x₁, X₂, X₃, …, X_n), la moyenne supposée est A alors l'écart est,

d _je =x _je - UN

Maintenant, la formule moyenne supposée est,

σ = √(∑ _je ⁿ (d _je ) ² /n)

Méthode de l’écart type par échelon

Nous pouvons également calculer l’écart type des données groupées en utilisant la méthode de l’écart par étapes. Comme dans la méthode ci-dessus, dans cette méthode également, nous choisissons également une valeur de données arbitraire comme moyenne supposée (disons A). Ensuite, nous calculons les écarts de toutes les valeurs de données (x ₁ , X ₂ , X ₃ , …, X _n ), d _je =x _je - UN

À l'étape suivante, nous calculons les écarts de pas (d’) en utilisant

d' = d/je

où ' je ' est un facteur commun à toutes les valeurs 'd'

Alors, la formule d'écart type est,

σ = √[(∑(d’) ² /n) – (∑d’n) ² ] × je

où ' n ' est le nombre total de valeurs de données

Écart type des données groupées discrètes

Dans les données groupées, nous avons d'abord créé un tableau de fréquence, puis tout calcul supplémentaire a été effectué. Pour les données groupées discrètes, l'écart type peut également être calculé à l'aide de trois méthodes :

• Méthode moyenne réelle
• Méthode moyenne supposée
• Méthode de déviation de pas

Formule d'écart type basée sur la distribution de fréquence discrète

Pour un ensemble de données donné s'il a n valeurs (x₁, X₂, X₃, …, X_n) et la fréquence qui leur correspond est (f₁, F₂, F₃, …, F_n) alors son écart type est calculé à l'aide de la formule,

σ = √(∑ _je ⁿ F _je (X _je - X) ² /n)

où,

• n est la fréquence totale (n = f₁+f₂+f₃+…+ f_n)
• X est la moyenne des données

Exemple : Calculer l'écart type pour les données données

Solution:

Moyenne (x̄) = ∑(f_jeX_je)/∑(f_je)

⇒ Moyenne (μ) = (10×1 + 4×3 + 6×5 + 8×1)/(1+3+5+1)

⇒ Moyenne (μ) = 60/10 = 6

n = ∑(f_je) = 1+3+5+1 = 10

Maintenant,

σ = √(∑ _je ⁿ F _je (X _je - X) ² /n)

⇒σ = √[(16 + 12 + 0 +8)/10]

⇒ σ = √(3,6) = 1,897

Dérivation standard (σ) = 1,897

d _je =x _je - UN

Maintenant, la formule de l'écart type par la méthode de la moyenne supposée est :

σ = √[(∑(f _je d _je ) ² /n) – (∑f _je d _je /n) ² ]

où,

• ' F ‘ est la fréquence de la valeur des données x
• ' n ‘ est la fréquence totale [n = ∑(f _je )]

₁, X₂, X₃, …, X_n), d_je=x_je- UN

À l'étape suivante, nous calculons les écarts de pas (d’) en utilisant

d' = d/je

où ' je « est le facteur commun à tous » d ' valeurs

Alors, la formule d'écart type est,

σ = √[(∑(fd’) ² /n) – (�’/n) ² ] × je

où ' n ' est le nombre total de valeurs de données

Écart type des données groupées continues

Pour les données groupées continues, nous pouvons facilement calculer l'écart type à l'aide des formules de données discrètes en remplaçant chaque classe par son point médian (comme x_je) puis calcule ensuite normalement les formules.

Le point médian de chaque classe est calculé à l'aide de la formule,

X _je (Milieu) = (Limite supérieure + Limite inférieure)/2

Par exemple, Calculer l'écart type des données groupées continues comme indiqué dans le tableau,

Méthode moyenne réelle

• Méthode moyenne supposée
• Méthode de déviation de pas

Nous pouvons utiliser l’une des méthodes ci-dessus pour trouver l’écart type. Ici, nous trouvons l’écart type en utilisant la méthode de la moyenne réelle.

La solution à la question ci-dessus est,

Moyenne (x̄) = ∑(f_jeX_je)/∑(f_je)

⇒ Moyenne (μ) = (10×2 + 20×4 + 30×2 + 40×2)/(2+4+2+2)

⇒ Moyenne (μ) = 240/10 = 24

n = ∑(f_je) = 2+4+2+2 = 10

Maintenant,

σ = √(∑ _je ⁿ F _je (X _je - X) ² /n)

⇒ σ = √[(392 + 64 + 72 +512)/10]

⇒ σ = √(104) = 10 198

Dérivation type (σ) = 10 198

De même, d'autres méthodes peuvent également être utilisées pour trouver l'écart type de données groupées continues.

Vérifier: Écart type dans les séries individuelles

Écart type de la distribution de probabilité

La probabilité de tous les résultats possibles est généralement égale et nous effectuons de nombreux essais pour trouver la probabilité expérimentale de l'expérience donnée.

• Pour une distribution normale, la moyenne attendue est nulle et l’écart type est 1.
• Pour une distribution binomiale, l'écart type est donné par la formule,

σ = √(npq)

où,

• n est le nombre d'essais
• p est la probabilité de réussite de l'essai
• q est la probabilité d’échec de l’essai (q = 1 – p)

• Pour une distribution de Poisson, l'écart type est donné par

σ = √λt

où,

• je est le nombre moyen de réussites
• t est donné un intervalle de temps

Écart type des variables aléatoires

Variables aléatoires sont les valeurs numériques qui indiquent le résultat possible de l’expérience aléatoire dans l’espace échantillon. Le calcul de l'écart type de la variable aléatoire nous renseigne sur la distribution de probabilité de la variable aléatoire et le degré de différence par rapport à la valeur attendue.

Nous utilisons X, Y et Z comme fonction pour représenter les variables aléatoires. La probabilité de la variable aléatoire est notée P(X) et la valeur attendue est notée par le symbole μ.

Ensuite, l'écart type de la distribution de probabilité est donné à l'aide de la formule,

σ = √(∑ (x _je – m) ² ×P(X)/n)

si par Rudyard Kipling résumé

En savoir plus,

• Signifier
• Mode
• Écart moyen

Exemple de formule d'écart type

Exemple 1: Trouvez l'écart type des données suivantes,

Solution:

Créez d’abord le tableau comme suit, afin que nous puissions calculer facilement les autres valeurs.

Moyenne (μ) = ∑(f _je X _je )/∑(f _je )

⇒ Moyenne (μ) = 91/8 = 11,375

σ = √(∑ _je ⁿ F _je (X _je – m) ² /n)

⇒ σ = √[(121,87)/(8)]

⇒σ = √(15,234)

⇒σ = 3,90

Dérivation standard (σ) = 3,90

Solution:

Classe	XI	Fje	f×Xi	Xi – μ	(Xi – µ)2	f×(Xje– m)2
0-10	5	3	quinze	-quinze	225	675
10-20	quinze	6	90	-5	25	150
20-30	25	4	100	5	25	100
30-40	35	2	70	quinze	225	450
40-50	Quatre cinq	1	Quatre cinq	25	625 boucle améliorée Java	625
Total		16	320			2000

Moyenne (μ) = ∑(fi xi)/∑(fi)

⇒ Moyenne (μ) = 320/16 = 20

σ = √(∑ _je ⁿ F _je (X _je – m) ² /n)

⇒ σ = √[(2000)/(16)]

⇒σ = √(125)

⇒σ = 11,18

Dérivation standard (σ) = 11,18

Vérifier: Méthodes de calcul de l'écart type dans les séries discrètes

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Vérifiez également :

• Moyenne, Médiane, Mode
• Tendance centrale

Formule d'écart type Excel

• Calcul facile : utilisez les fonctions intégrées d’ExcelSTDEV.P>pour l'ensemble de la population ouSTDEV.S>pour un échantillon.
• Guide étape par étape : saisissez votre ensemble de données dans une seule colonne, puis saisissez=STDEV.S(A1:A10)>(remplacez A1:A10 par votre plage de données) dans une nouvelle cellule pour obtenir l'écart type d'un échantillon.
• Aides visuelles : utilisez les outils graphiques d'Excel pour représenter visuellement la variabilité des données ainsi que l'écart type.

Vérifier: Méthodes de calcul de l'écart type dans les séries de distribution de fréquence

Statistiques de formule d'écart type

• Concept de base : l'écart type mesure la quantité de variation ou de dispersion d'un ensemble de valeurs.
• Élément clé : un écart type faible indique que les valeurs ont tendance à être proches de la moyenne, tandis qu'un écart type élevé indique que les valeurs sont réparties sur une plage plus large.
• Signification statistique : utilisé pour déterminer si les différences entre les groupes sont dues au hasard, en particulier dans les tests d'hypothèses et l'analyse des données expérimentales.

Conclusion – Écart type

L'écart type fournit des informations précieuses sur la variabilité ou la cohérence au sein d'un ensemble de données. Il est largement utilisé dans divers domaines, notamment les statistiques, la finance et la science, pour comprendre la distribution des données et prendre des décisions éclairées en fonction du niveau de variabilité présent.

FAQ sur l'écart type

Qu’est-ce que l’écart type en statistiques ?

L'écart type définit la volatilité des valeurs des données par rapport à la valeur moyenne de l'ensemble de données donné. Elle est définie comme la racine carrée du carré de la moyenne des écarts.

Comment calculer l’écart type ?

L'écart type est calculé à l'aide de la formule,

σ =Pourquoi l’écart type est-il utilisé ?

L'écart type est utilisé à diverses fins, certaines de ses utilisations importantes sont :

• Il est utilisé pour trouver la volatilité des valeurs des données par rapport à la valeur moyenne.
• Il est utilisé pour trouver la plage d’écart des données.
• Il prédit la volatilité maximale de la valeur donnée de l'ensemble de données.

Quelle est la différence entre l’écart type et la variance ?

La variance est calculée en prenant la moyenne de l'écart carré par rapport à la moyenne, tandis que l'écart type est la racine carrée de la variance. L'autre différence entre eux réside dans leur unité. L'écart type est exprimé dans les mêmes unités que les valeurs d'origine tandis que la variance est exprimée en unité.².

• Méthode moyenne réelle
• Méthode moyenne supposée
• Méthode de déviation de pas

L’écart type peut-il être négatif ?

Non, l'écart type ne peut jamais être négatif comme on peut le voir dans la formule, tous les termes qui peuvent être négatifs sont au carré.

Qu'est-ce que l'écart type ? Expliquer avec des exemples ?

L'écart type est la mesure de la variation ou de la dispersion des valeurs données de l'ensemble de données.

Exemple: Pour trouver la moyenne de 1, 2, 3 et 4

Moyenne des données = 13/4 = 3,25

Écart type = √[(3,25-1)2 + (3-3,25)2 + (4-3,25)2 + (5-3,25)2]/4 = √2,06 = 1,43

Qu'est-ce que la formule de l'écart type ?

La formule d'écart type est :

Écart type (σ) = √[ Σ(x – μ) ² /N]

Quand l’écart type est de 1 ?

L’écart type avec 1 et moyenne 0 est appelé distribution normale standard.

Qu’est-ce que l’écart type des 10 premiers nombres naturels ?

L'écart type des 10 premiers nombres naturels est de 2,87.

Qu'est-ce que l'écart type de 40, 42 et 48 ?

L'écart type de 40, 42 et 48 est de 3,399

Que vous dit l’écart type ?

L'écart type est une mesure de l'écart pour une distribution normale. L'écart type nous indique la répartition de l'ensemble de données autour de la valeur moyenne de l'ensemble de données.