Formule récursive : Récursivité peut être défini par deux propriétés. Un cas de base et une étape de récursion. Le cas de base est un scénario final qui n’utilise pas la récursivité pour produire des résultats. L'étape de récursion consiste en un ensemble de règles qui réduisent les cas successifs pour transmettre le cas de base.

Une formule récursive ou récursive est une formule utilisée pour nous indiquer la prochaine étape de toute série de récursivité. Dans une série récursive, chaque terme suivant dépend du ou des deux termes précédents. Dans cet article, nous découvrirons en détail les formules récursives ou les formules de récursion, les exemples et autres.

Table des matières

• Qu'est-ce qu'une fonction récursive ?
• Formule récursive
• Formules récursives pour les séquences
• Formule récursive pour la progression arithmétique
• Formule récursive pour la progression géométrique
• Formule récursive pour la série de Fibonacci
• Séquence et formules utiles
• Exemples utilisant une formule récursive
• Question pratique sur la formule récursive

Qu'est-ce qu'une fonction récursive ?

Une fonction récursive est une fonction qui définit chaque terme d'une séquence en utilisant le terme précédent, c'est-à-dire que le terme suivant dépend d'un ou plusieurs termes précédents connus. La fonction récursive h(x) s'écrit,

h(x) = une ₀ h(0) + une ₁ h(1) + une ₂ h(2) + … + une _{x – 1} h(x – 1)

où un_je≥ 0 et je = 0, 1, 2, 3, … ,(x – 1)

Les formules de récursion sont les formules utilisées pour écrire les fonctions récursives ou les séries récursives.

Signification de la fonction récursive

En mathématiques, une fonction récursive fait référence à une fonction qui définit chaque terme d'une séquence en utilisant le ou les termes précédents. En termes plus simples, c’est une manière de définir une séquence où chaque étape s’appuie sur la précédente.

Lire en détail : Fonctions récursives

Formule récursive

La formule récursive est une formule qui définit chaque terme de séquence en utilisant les termes précédents/précédents. Il définit les paramètres suivants

• Premier terme de séquence
• Règle de modèle pour obtenir n'importe quel terme à partir de ses termes précédents

Il existe peu de formules récursives pour trouver le n^èmeterme basé sur le modèle des données fournies. Ils sont,

• n^èmeterme de progression arithmétique a_n= un_{n – 1}+ d pour n ≥ 2
• n^èmeterme de progression géométrique a_n= un_{n – 1}× r pour n ≥ 2
• n^èmeterme dans la séquence de Fibonacci a_n= un_{n – 1}+ un_n-2pour n ≥ 2 et a₀= 0 & un₁= 1

où

• d est une différence commune
• r est la raison commune

Formules récursives pour les séquences

Les séquences récursives sont les séquences dans lesquelles le terme suivant de la séquence dépend du terme précédent. L'une des séquences récursives les plus importantes est la séquence de Fibonnaci, représentée ci-dessous par :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,…

Les formules récursives ou les formules de récursion pour différents types de séquences sont,

Formule récursive pour la progression arithmétique

Pour Progression arithmétique alors^èmele terme est donné en utilisant la formule récursive comme,

un _n = un _(n-1) + d pour n ≥ 2

où,

Language de machine

• un_nest le nième terme d'un A.P.
• d est la différence commune

Formule récursive pour la progression géométrique

Pour Progression géométrique alors^èmele terme est donné en utilisant la formule récursive comme,

un _n = {une _(n-1) }r pour n ≥ 2

où,

• un_nest alors^èmemandat d'un généraliste
• r est la raison

Formule récursive pour la série de Fibonacci

Pour Séquence de Fibonacci alors^èmele terme est donné en utilisant la formule récursive comme,

un _n = un _(n-1) + un _(n-1) pour n ≥ 2

où,

• un₀= 1
• un₁= 1
• un_nest alors^èmeterme d'une séquence de Fibonacci

Séquence et formules utiles

Certaines des séquences utiles et leurs formules pour le n^èmeterme sont ajoutés dans le tableau ci-dessous.

Articles liés à la formule récursive :

• Nombre d'or
• Progression harmonique
• Série géométrique
• Série arithmétique

Exemples utilisant une formule récursive

Exemple 1 : étant donné une série de nombres avec un nombre manquant au milieu 1, 11, 21, ?, 41. À l'aide d'une formule récursive, trouvez le terme manquant.

Solution:

Donné,

1, 11, 21, …, 41

Premier terme (a) = 1

d = T₂– T.₁=T₃– T.₂

d = 11 – 1 = 21 – 11 = 10

Fonction récursive dans AP a_n= un_n-1+d

un₄= un_4-1+d

un₄= un₃+d

un₄= 21 + 10

un₄= 31

Exemple 2 : Série donnée de nombres 5, 9, 13, 17, 21,… À partir de la série donnée, trouver la formule récursive

Solution:

Série de nombres donnée

5, 9, 13, 17, 21,…

Premier terme (a) = 5

d = T₂– T.₁=T₃– T.₂

d = 9 – 5 = 13 – 9 = 4

Formule récursive pour AP a_n= un_n-1+d

un _n = un _n-1 + 4

Exemple 3 : Étant donné une série de nombres avec un nombre manquant au milieu 1, 3, 9,…,81, 243. À l'aide d'une formule récursive, trouvez le terme manquant.

Solution:

villes en Australie

Donné,

1, 3, 9,…, 81, 243

Premier terme (a) = 1

un₂/un₁= 3/1 = 3

un₃/un₂= 9/3 = 3

un₅/un₄= 243/81 = 3

Rapport commun (r) = 3

Fonction récursive pour trouver n^èmeterme en généraliste un _n = un _n-1 ×r

un₄= un_4-1×r

un₄= un₃×r

un₄= 9 × 3

un ₄ = 27

Exemple 4 : Série donnée de nombres 2, 4, 8, 16, 32,… À partir de la série donnée, trouvez la formule récursive.

Solution:

Série de nombres donnée,

2, 4, 8, 16, 32,…

Premier terme (a) = 2

un₂/un₁= 4/2 = 2

un₃/un₂= 8/4 = 2

un₄/un₃= 16/8 = 2

Rapport commun (r) = 2

entier dans une chaîne

Formule récursive a_n= un_n-1×r

un _n = un _n-1 ×2

Exemple 5 : Trouver le 5 ^ème terme dans une série de Fibonacci si le 3 ^rd et 4 ^ème les termes sont respectivement 2,3.

Solution:

Donné,

• un₃= 2
• un₄= 4

Puis dans la séquence de Fibonnaci, un₅= un₃+ un₄

un₅= 23

un ₅ = 5

Question pratique sur la formule récursive

Q1 : Trouvez la formule récursive pour la séquence, 3,7, 11, 15….

Q2 : Trouvez le terme moyen de la suite, 4, 9, 14,…. 39, 44

Q3 : Trouvez la formule récursive de la séquence 44, 40, 36,…..

Q4 : Trouvez le moyen terme de la suite 6, 9, 12,…. 33

Résumé - Formule récursive

Une formule récursive en mathématiques, c'est comme un ensemble d'instructions qui vous indiquent comment trouver le terme suivant dans une séquence basée sur les termes précédents. C’est comme un modèle où chaque étape dépend de celle qui la précède. Par exemple, dans la suite de Fibonacci, chaque terme est la somme des deux termes précédents. Les formules récursives sont pratiques pour déterminer des séquences où chaque terme s'appuie sur ceux qui l'ont précédé. C'est comme une recette pour trouver le prochain numéro en ligne

FAQ sur les formules récursives

Qu’est-ce que la formule récursive en mathématiques ?

La formule récursive également appelée formule de récursion est une formule qui donne le terme suivant de n'importe quelle séquence en fonction des termes précédents de la séquence.

Quelle est la règle récursive de la série de Fibonacci ?

La formule récursive de la série de Fibonacci est F_n=F_(n-1)+F_(n-2), où n> 1.

Quelle est la différence entre les formules récursives et explicites ?

La formule récursive est une formule utilisée pour trouver le nième terme d'une série lorsque les termes précédents de la séquence sont donnés, alors que les formules explicites donnent le nième terme de la séquence et ne dépendent pas des termes précédents de la séquence.

Quelle est la formule récursive pour 9, 15, 21, 27 ?

La formule récursive pour la séquence 9, 15, 21 et 27 est : un _n = un _n-1 + 6.

Quelles sont certaines formules de récursion ?

Certaines formules célèbres de Recusrion sont,

• La formule récursive d'une séquence arithmétique est, une_n= un_n-1+d
• La formule récursive d'une séquence géométrique est, une_n= (un_n-1)r