Formules de probabilité sont des outils mathématiques importants utilisés dans le calcul de la probabilité. Avant de connaître les formules de probabilité, nous devons comprendre en bref le concept de probabilité. La possibilité qu'un événement aléatoire se produise est définie par la probabilité. Une probabilité est une chance de prédiction. Ses applications s'étendent dans divers domaines, notamment les stratégies de jeu, la création de prévisions basées sur des probabilités en entreprise et le domaine en évolution de l'intelligence artificielle.
Dans cet article, nous apprendrons la signification et la définition de la formule de probabilité et comment utiliser ces formules pour calculer la probabilité. Nous voyons également divers termes liés à la probabilité et différentes formules pour résoudre facilement des problèmes mathématiques.
Table des matières
- Quelle est la formule de probabilité ?
- Termes liés à la formule de probabilité
- Événements dans la formule de probabilité
- Différentes formules de probabilité
- Exemples sur la formule de probabilité
Quelle est la formule de probabilité ?
Les formules de probabilité sont utilisées pour déterminer les possibilités d'un événement en divisant le nombre de résultats favorables par le total des résultats possibles. En utilisant cette formule, nous pouvons estimer la probabilité associée à un événement spécifique.
Mathématiquement, nous pouvons écrire cette formule sous la forme :
P(A) = Nombre de résultats favorables / Nombre total de résultats possibles
La formule de probabilité calcule le rapport entre les résultats favorables et l'ensemble des résultats possibles. La valeur de probabilité se situe dans une plage de 0 à 1, ce qui signifie que les résultats favorables ne peuvent pas dépasser le total des résultats et que la valeur négative des résultats favorables n'est pas possible.
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Apprendre,
- Probabilités en mathématiques
- Théorie des probabilités
Comment calculer la probabilité ?
Probabilité d'un événement = (Nombre de résultats favorables) / (Nombre total de résultats possibles pour l'événement)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A) <1
Ici, P(A) signifie la probabilité d'un événement A, où n(E) est le nombre de résultats favorables et n(S) est le nombre total de résultats possibles pour l'événement.
Lorsque l’on considère l’événement complémentaire, représenté par P(A’), qui dénote la non-occurrence de l’événement A. alors la formule sera :
P(A’) = 1- P(A)
P(A'), est l'opposé de l'événement A, indiquant que soit l'événement P(A) se produit, soit son complément P(A').
Par conséquent, nous pouvons maintenant dire : P(A) + P(A') = 1
Apprendre,
- Événements en probabilité
- Types d'événements en probabilité
Termes liés à la formule de probabilité
Certains des termes les plus courants liés à la formule de probabilité sont :
- Expérience: Une expérience est une action ou une procédure menée pour générer un résultat particulier.
- Espace d'échantillon: L'espace d'échantillonnage comprend tous les résultats potentiels issus d'une expérience. Par exemple, lorsque vous lancez une pièce de monnaie, l'espace échantillon inclut {head, tail}.
- Résultat favorable : Un résultat favorable est le résultat qui correspond à la conclusion prévue ou attendue. Dans le cas du lancement de deux dés, des exemples de résultats favorables aboutissant à une somme de 4 sont (1,3), (2,2) et (3,1).
- Procès: Un essai désigne l’exécution d’une expérience aléatoire.
- Expérience aléatoire : UN Expérience aléatoire se caractérise par un ensemble bien défini de résultats possibles. L’exemple d’une expérience aléatoire est le tirage au sort d’une pièce de monnaie, dont le résultat pourrait être pile ou face. Cela signifie que le résultat serait incertain.
- Événement: Un événement indique que les résultats totaux proviennent d'une expérience aléatoire.
- Événements tout aussi probables : Les événements également probables sont les événements qui ont des probabilités d'occurrence identiques. Le résultat d’un événement n’a pas d’impact sur le résultat d’un autre.
- Événements exhaustifs : Un événement exhaustif se produit lorsque l’ensemble de tous les résultats possibles couvre l’espace échantillon complet.
- Des événements mutuellement exclusifs: Des événements mutuellement exclusifs sont ceux qui ne peuvent pas se produire simultanément. Par exemple, lorsque nous jetons une pièce de monnaie, le résultat sera soit face, soit face, mais nous ne pouvons pas obtenir les deux en même temps.
Événements dans la formule de probabilité
Dans la théorie des probabilités, un événement représente un ensemble de résultats possibles dérivés d’une expérience. Il constitue souvent un sous-ensemble de l’espace échantillon global. Si nous représentons la probabilité d’un événement E par P(E), les principes suivants s’appliquent :
Lorsque l’événement E est impossible, alors P(E) = 0.
Lorsque l'événement E est certain, alors P(E) = 1.
La probabilité P(E) est comprise entre 0 et 1.
Considérons deux événements, A et B. La probabilité de l'événement A, notée P(A), qui est supérieure à la probabilité de l'événement B, P(B).
Pour un événement particulier E, la formule de probabilité sera :
P(E)= n(E)/ n(S)
Ici, n(E) représente le nombre d’issues favorables à l’événement E.
n(S) désigne le nombre total de résultats dans l’espace échantillon.
Différentes formules de probabilité
Les différentes formules de probabilité sont décrites ci-dessous :
Formule de probabilité classique
P(A) = Nombre de résultats favorables/Nombre total de résultats possibles
Formule de règle d'addition
Lorsque nous traitons d'un événement qui est l'union de deux événements distincts, par exemple A et B, la probabilité de l'union sera :
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(UNE ∪ B) = P(UNE) + P(B) – P(UNE∩B)
Formule de probabilité conjointe
Il représente les éléments communs qui constituent les sous-ensembles distincts des événements A et B. La formule peut être exprimée comme suit :
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
Règle d'addition pour les événements mutuellement exclusifs
Si les événements A et B s’excluent mutuellement, cela signifie qu’ils ne peuvent pas se produire en même temps, la probabilité que l’un ou l’autre événement se produise est égale à la somme de leurs probabilités respectives.
P(A ou B)=P(A)+P(B)
Formule de règle complémentaire
Si A est un événement, alors la probabilité que A ne soit pas A est exprimée par la règle complémentaire :
P(pas A) = 1 – P(A) ou P(A’) = 1 – P(A).
P(UNE) + P(UNE′) = 1.
Certaines formules de probabilité basées sur ces formules sont les suivantes :
P(A.A') = 0
P(A.B) + P (A’.B’) = 1
P(A'B) = P(B) – P(A.B)
P(A.B') = P(A) – P(A.B)
P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)
Formule de règle conditionnelle
Dans le cas où l’occurrence de l’événement A est déjà connue, la probabilité de l’événement B va se produire, appelée probabilité conditionnelle. Il peut être calculé à l'aide de la formule :
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A) : Probabilité (conditionnelle) de l'événement B lorsque l'événement A s'est produit.
P (A/B) : Probabilité (conditionnelle) de l'événement A lorsque l'événement B s'est produit.
Formule de fréquence relative
La formule de fréquence relative est basée sur les fréquences observées dans les données du monde réel. Cette formule est donnée comme
P(A) = Nombre de fois où l'événement A se produit/nombre total d'essais ou d'observations
Formule de probabilité avec la règle de multiplication
Dans les situations où un événement représente l'apparition simultanée de deux autres événements, appelés événements A et B, les probabilités que les deux événements se produisent simultanément peuvent être calculées à l'aide de ces formules :
P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (en cas d'événements indépendants)
P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (en cas d'événements dépendants)
Événement disjoint
Les événements disjoints sont des événements qui ne se produisent jamais en même temps. Ceux-ci sont également connus sous le nom d’événements mutuellement exclusifs.
P(UNE∩B) = 0
Théorème de Bayes
Le théorème de Bayes calcule la probabilité de l'événement A étant donné l'occurrence de l'événement B. La formule du théorème de Bayes est donnée par
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
Apprendre, Théorème de Bayes
Formule de probabilité dépendante
Les probabilités dépendantes sont des événements qui sont affectés par la survenance d'autres événements. La formule de la probabilité dépendante est :
P(B et A) = P(A)×P(B | A)
Formule de probabilité indépendante
Les probabilités indépendantes sont des événements qui ne sont pas affectés par la survenance d'autres événements. La formule de la probabilité indépendante est la suivante :
P(A et B) = P(A)×P(B)
Formule de probabilité binominale
La formule de probabilité binomiale est donnée par
P(x) = n C X ·p X (1 - p) n−x ou P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p r (1 - p) n−r
Où, n = Nombre total d'événements
r ou x = Nombre total d'événements réussis.
p = Probabilité de réussite dans un seul essai.
nCr= [n!/r!(n−r)]!
1 – p = Probabilité de défaillance.
Apprendre, Distribution binomiale
Formule de probabilité normale
La formule de probabilité normale est donnée par :
P(x) = (1/√2П) e (-x^2/2)
Apprendre, Distribution normale
Formule de probabilité expérimentale
La formule de la probabilité expérimentale est :
Probabilité P(x) = Nombre de fois qu'un événement se produit / Nombre total d'essais.
Formule de probabilité théorique
La formule de probabilité théorique est la suivante :
P(x) = Nombre de résultats favorables/Nombre de résultats possibles.
Formule de probabilité d'écart type
La formule de probabilité d’écart type est donnée sous la forme
P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}
Formule de probabilité de Bernoulli
Une variable aléatoire X aura une distribution de Bernoulli avec une probabilité p, la formule est :
P(X = x) = p X (1 – p) 1−x , pour x = 0, 1 et P(X = x) = 0 pour les autres valeurs de x
Ici, 0 correspond à l’échec et 1 au succès.
Apprendre, Bernoulli Distribution
Formule de probabilité classe 10
En classe 10, nous devons étudier les probabilités de base telles que la probabilité de lancer une pièce, de lancer 2 pièces, de lancer 3 pièces, de lancer un dé, de lancer deux dés, la probabilité de tirer une carte d'un jeu bien mélangé. Toutes ces questions peuvent être résolues avec une seule formule. La formule de probabilité classe 10 est donnée comme
P(E) = n(E)/n(s)
Où,
P(E) est la probabilité d'un événement
essayez le bloc catch en javan(E) est le nombre d'essais au cours desquels l'événement s'est produit
n(S) est le nombre d'espace d'échantillonnage
Formule de probabilité pour la classe 12
Les différentes formules utilisées dans la classe de probabilité 12 sont présentées ci-dessous :
Diverses formules de probabilité | |
|---|---|
Nom de la formule | Formule |
Formule de probabilité expérimentale ou empirique | Nombre de fois qu'un événement se produit / Nombre total d'essais. |
Formule de probabilité classique ou théorique | Nombre de résultats favorables/nombre total de résultats possibles |
Formule de probabilité d'addition | P(UNE ∪ B) = P(UNE) + P(B) – P(UNE∩B) |
Formule de probabilité conjointe | P (A ∩ B) = P (A).P (B) |
Règle d'addition pour les événements mutuellement exclusifs | P(A ou B)=P(A)+P(B) |
Formule de règle complémentaire | P(pas A) = 1 – P(A) ou P(A’) = 1 – P(A). P(A) + P(A′) = 1 |
Formule de règle conditionnelle | P(B∣A) = P(A∩B)/P(A) |
Formule de fréquence relative | P(A)= Nombre de fois où l'événement A se produit/nombre total d'essais ou d'observations |
Événement disjoint | P(UNE∩B) = 0 |
Théorème de Bayes | P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B) |
Formule de probabilité dépendante | P(B et A) = P(A)×P(B | A) |
Formule de probabilité indépendante | P(A et B) = P(A)×P(B) |
Formule de probabilité binominale | P(x) =nCX·pX(1 - p)n−xou P(r) = [n!/r!(n−r)!]· pr(1 - p)n−r |
Formule de probabilité normale | P(x) = (1/√2П) e(-x2/2) |
Formule de probabilité d'écart type | P(x) = (1/σ√2П) e-(x-m)^2/2s^2 |
Formule de probabilité de Bernoulli | P(X = x) = pX(1 – p)1 fois, pour x = 0, 1 et P(X = x) = 0 pour les autres valeurs de x. |
Vérifiez également
- Probabilité de tirage au sort
- Probabilité de carte
- Formules statistiques
Exemples sur la formule de probabilité
Exemple 1 : Sélectionnez une carte au hasard dans un jeu standard. Quelle est la probabilité de tirer une carte avec un visage féminin ?
Solution:
Dans un jeu standard contenant 52 cartes : Total des résultats possibles = 52
Le nombre d'événements favorables (en considérant uniquement les reines comme visages féminins) = 4
Par conséquent, la probabilité P(A) est calculée à l’aide de la formule :
P(A) = Nombre de résultats favorables ÷ Nombre total de résultats
= 4/52
= 1/13.
Exemple 2 : Si la probabilité de l'événement E, notée P(E)=0,35, quelle est la probabilité de l'événement complémentaire « non E » ?
Solution:
Sachant que P(E)=0,35, on peut utiliser la formule de probabilité complémentaire :
P(E) + P(pas E) = 1
Remplacement de la valeur connue :
P (pas E) = 1 – P (E)
P (pas E) = 1 – 0,35
Par conséquent, P(pas E) = 0,65
Exemple 3 : Les incendies dangereux sont très rares autour de 1% mais les fumées sont assez fréquentes autour de 20% à cause des barbecues. Trouvez le feu dangereux lorsque 80 % des incendies dangereux produisent de la fumée.
Solution:
Probabilité d'incendie dangereux en cas de fumée en utilisant le théorème de Bayes :
P(Feu|Fumée) = {P(Feu)P(Fumée Feu)}/P(Fumée)
P(Fire)=0,01(1%) et P(Smoke|Fire)= 0,80 (80%), nous pouvons substituer ces valeurs :
P(Feu | Fumée)=( 0,02×0,90)/ 0,30
(Feu | Fumée)=0,018/0,30
(Feu | Fumée)= 0,06 = 6%.
Exemple 4 : Dans un sac, il y a 2 ampoules vertes, 4 ampoules orange et 6 ampoules blanches. Lorsqu’une ampoule est choisie au hasard dans le sac, quelle est la probabilité de choisir soit une ampoule verte, soit une ampoule blanche ?
Solution:
Le nombre total d'ampoules dans le sachet est de 2 vertes + 4 oranges + 6 blanches = 12 ampoules
Nombre d'ampoules vertes = 2 et nombre d'ampoules blanches = 6
Probabilité = (Nombre d'ampoules vertes + Nombre d'ampoules blanches) / Nombre total d'ampoules
Probabilité = (2+6)/12
Probabilité = 8/12
Probabilité = 2/3.
Questions pratiques sur la formule de probabilité
T1. À partir d'une collection de billes dans un sac (8 rouges, 9 bleues et 6 vertes), deux billes sont choisies au hasard sans être remplacées. Quelle est la probabilité que les deux billes sélectionnées soient bleues ?
Q2. Dans un tiroir contenant 6 stylos noirs, 4 stylos bleus et 7 stylos rouges, un stylo est tiré au hasard. Quelle est la probabilité que le stylo soit noir ou bleu ?
Q3. En tirant une carte d’un jeu soigneusement mélangé de 52 cartes, déterminez la probabilité que la carte :
- Soyez un roi.
- Ne sois pas roi.
Q4. Selon une enquête, 70 % des individus apprécient le chocolat, et parmi ces amateurs de chocolat, 60 % ont également un penchant pour la vanille. Quelle est la probabilité qu’un individu aime la vanille, compte tenu de son penchant pour le chocolat ?
Q5. Déterminez la probabilité d’obtenir un nombre impair lorsqu’un dé à six faces est lancé.
Formule de probabilité – FAQ
1. Quelle est la signification de la probabilité ?
La possibilité d'occurrence d'un événement aléatoire est définie par la probabilité. Une probabilité est une chance de prédiction.
2. Quelle est la signification de la formule de probabilité ?
Les formules de probabilité sont utilisées pour déterminer les possibilités d'un événement en divisant le nombre de résultats favorables par le total des résultats possibles. La valeur de probabilité se situe dans une plage de 0 à 1, ce qui signifie que les résultats favorables ne peuvent pas dépasser le total des résultats et que la valeur négative des résultats favorables n'est pas possible.
3. Quelle est la signification des notations U et ∩ en probabilité ?
Le symbole U en probabilité désigne une distribution uniforme. En revanche, le symbole ∩ signifie l'intersection d'ensembles. En termes plus simples, l’intersection de deux ensembles est l’ensemble le plus étendu impliquant tous les éléments partagés par les deux ensembles.
4. Quelle est la formule conventionnelle pour calculer la probabilité ?
La probabilité d'un événement = (Nombre de résultats favorables) / (Nombre total de résultats possibles pour l'événement)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A) <1
Ici, P(A) signifie la probabilité d'un événement A, où n(E) est le nombre de résultats favorables et n(S) est le nombre total de résultats possibles pour l'événement.
5. Qu'est-ce que la formule complémentaire ?
Si A est un événement, alors la probabilité que A ne soit pas A est exprimée par la règle complémentaire :
P(pas A) = 1 – P(A) ou P(A’) = 1 – P(A).
P(UNE) + P(UNE′) = 1.
6. Qu'est-ce qu'un événement disjoint ?
Les événements disjoints sont des événements qui ne se produisent jamais en même temps. Ceux-ci sont également connus sous le nom d’événements mutuellement exclusifs.
java queueP(UNE∩B) = 0.
7. Qu’est-ce que le théorème de Bayes ?
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
Le théorème de Bayes calcule la probabilité de l'événement A étant donné l'occurrence de l'événement B.
8. Qu'est-ce que la formule conditionnelle ?
Dans le cas où l’occurrence de l’événement A est déjà connue, la probabilité de l’événement B va se produire, appelée probabilité conditionnelle. Il peut être calculé à l'aide de la formule :
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A) : Probabilité (conditionnelle) de l'événement B lorsque l'événement A s'est produit.
P (A/B) : Probabilité (conditionnelle) de l'événement A lorsque l'événement B s'est produit.
9. Quels sont des exemples concrets de probabilité ?
Les prévisions météorologiques, les jeux de cartes, le vote politique, les jeux de dés et lancer une pièce de monnaie, etc. sont quelques exemples de probabilités.