Théorème de Bayes est utilisé pour déterminer la probabilité conditionnelle d’un événement. Il doit son nom à un statisticien anglais, Thomas Bayès qui a découvert cette formule en 1763. Le théorème de Bayes est un théorème très important en mathématiques, qui a jeté les bases d'une approche d'inférence statistique unique appelée le La conclusion de Bayes. Il est utilisé pour déterminer la probabilité d'un événement, sur la base d'une connaissance préalable des conditions qui pourraient être liées à cet événement.

Par exemple, si l'on veut trouver la probabilité qu'une bille blanche tirée au hasard provienne du premier sac, étant donné qu'une bille blanche a déjà été tirée, et il y a trois sacs contenant chacun des billes blanches et noires, alors on peut utiliser le théorème de Bayes.

Cet article explore le théorème de Bayes, y compris son énoncé, sa preuve, sa dérivation et sa formule, ainsi que ses applications avec divers exemples.

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Qu’est-ce que le théorème de Bayes ?

Le théorème de Bayes (également connu sous le nom de règle de Bayes ou loi de Bayes) est utilisé pour déterminer la probabilité conditionnelle de l'événement A lorsque l'événement B s'est déjà produit.

L’énoncé général du théorème de Bayes est La probabilité conditionnelle d'un événement A, étant donné la survenance d'un autre événement B, est égale au produit de l'événement B, étant donné A, et la probabilité de A divisée par la probabilité de l'événement B. c'est à dire.

P(UNE|B) = P(B|UNE)P(UNE) / P(B)

où,

• PENNSYLVANIE) et P(B) sont les probabilités des événements A et B
• P(UNE|B) est la probabilité de l'événement A lorsque l'événement B se produit
• P(B|A) est la probabilité de l'événement B lorsque A se produit

Vérifier: Théorème de Bayes pour la probabilité conditionnelle

Énoncé du théorème de Bayes

Le théorème de Bayes pour n ensemble d’événements est défini comme suit :

Soit E₁, ET₂,…, ET_nêtre un ensemble d'événements associés à l'espace échantillon S, dans lequel tous les événements E₁, ET₂,…, ET_nont une probabilité d’occurrence non nulle. Tous les événements E₁, ET₂,…, E forment une partition de S. Soit A un événement de l’espace S pour lequel il faut trouver une probabilité, alors selon le théorème de Bayes,

P(E _je |A) = P(E _je )P(UNE|E _je ) / ∑P(E _k )P(UNE|E _k )

pour k = 1, 2, 3, …., n

Formule du théorème de Bayes

Pour deux événements A et B quelconques, alors la formule du théorème de Bayes est donnée par : (l'image ci-dessous donne la formule du théorème de Bayes)

Formule du théorème de Bayes

où,

• PENNSYLVANIE) et P(B) sont les probabilités des événements A et B et P(B) n'est jamais égal à zéro.
• P(UNE|B) est la probabilité de l'événement A lorsque l'événement B se produit
• P(B|A) est la probabilité de l'événement B lorsque A se produit

Dérivation du théorème de Bayes

La preuve du théorème de Bayes est donnée comme, selon la formule de probabilité conditionnelle :

P(E _je |A) = P(E _je ∩A) / P(A)…..(i)

Ensuite, en utilisant la règle de multiplication de probabilité, on obtient

P(E _je ∩A) = P(E _je )P(UNE|E _je )……(ii)

Maintenant, d'après le théorème de probabilité totale,

P(A) = ∑P(E _k )P(UNE|E _k )…..(iii)

En remplaçant la valeur de P(E_je∩A) et P(A) à partir de l’équation (ii) et de l’équation (iii) dans l’équation (i), nous obtenons,

P(E _je |A) = P(E _je )P(UNE|E _je ) / ∑P(E _k )P(UNE|E _k )

Le théorème de Bayes est également connu comme la formule du probabilité des causes . Comme nous le savons, le E _je Les 's sont une partition de l'espace échantillon S, et à un instant donné, un seul des événements E _je se produit. Nous concluons donc que la formule du théorème de Bayes donne la probabilité d’un E particulier_je, étant donné que l'événement A s'est produit.

Termes liés au théorème de Bayes

Après avoir étudié le théorème de Bayes en détail, comprenons quelques termes importants liés aux concepts que nous avons abordés dans la formule et la dérivation.

• Hypothèses: Événements se produisant dans l’espace échantillon ET ₁ , ET ₂ ,… ET _n s'appelle les hypothèses

• Probabilité a priori : La probabilité a priori est la probabilité initiale qu'un événement se produise avant que de nouvelles données ne soient prises en compte. P(E_je) est la probabilité a priori de l'hypothèse E_je.

• Probabilité postérieure: La probabilité postérieure est la probabilité mise à jour d'un événement après avoir pris en compte de nouvelles informations. Probabilité P(E_je|A) est considérée comme la probabilité a posteriori de l'hypothèse E_je.

Probabilite conditionnelle

• La probabilité d'un événement A basée sur l'occurrence d'un autre événement B est appelée probabilite conditionnelle .
• Il est noté comme P(UNE|B) et représente la probabilité de A lorsque l'événement B s'est déjà produit.

Probabilité conjointe

Lorsque la probabilité que deux événements supplémentaires se produisent ensemble et en même temps est mesurée, elle est marquée comme probabilité conjointe. Pour deux événements A et B, la probabilité conjointe est notée comme suit : P(UNE∩B).

Variables aléatoires

Les variables à valeur réelle dont les valeurs possibles sont déterminées par des expériences aléatoires sont appelées variables aléatoires. La probabilité de trouver de telles variables est la probabilité expérimentale.

Applications du théorème de Bayes

L’inférence bayésienne est très importante et a trouvé des applications dans diverses activités, notamment la médecine, les sciences, la philosophie, l’ingénierie, le sport, le droit, etc., et l’inférence bayésienne est directement dérivée du théorème de Bayes.

Exemple: Le théorème de Bayes définit l’exactitude du test médical en tenant compte de la probabilité qu’une personne soit atteinte d’une maladie et de l’exactitude globale du test.

Différence entre la probabilité conditionnelle et le théorème de Bayes

La différence entre la probabilité conditionnelle et le théorème de Bayes peut être comprise à l'aide du tableau ci-dessous,

Théorème de probabilité totale

Soit E₁, ET₂, . . ., ET_nest des événements mutuellement exclusifs et exhaustifs associés à une expérience aléatoire et laisse E être un événement qui se produit avec certains E_je. Ensuite, prouvez que

P(E) = ⁿ ∑ _{je = 1} PIPI _je ) . P(E _j )

Preuve:

Soit S l'espace échantillon. Alors,

S = E₁∪E₂∪E₃∪ . . . ∪ Un et E_je∩E_j= ∅ pour je ≠ j.

E = E ∩S

⇒ E = E ∩ (E₁∪E₂∪E₃∪ . . . ∪E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_n)

{Par conséquent, (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} sont disjoints deux à deux}

⇒ P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + . . . + P(E/E_n) . P(E_n) [par théorème de multiplication]

⇒ P(E) =ⁿ∑_{je = 1}PIPI_je) . P(E_je)

Articles liés au théorème de Bayes

• Distribution de probabilité
• Théorème de Bayes pour la probabilité conditionnelle
• Permutations et combinaisons
• Théorème du binôme

Conclusion – Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes offre un cadre puissant pour mettre à jour la probabilité d’une hypothèse basée sur de nouvelles preuves ou informations. En intégrant les connaissances antérieures et en les mettant à jour avec les données observées, le théorème de Bayes permet une prise de décision plus précise et plus éclairée dans un large éventail de domaines, notamment les statistiques, l'apprentissage automatique, la médecine et la finance. Ses applications vont du diagnostic médical et de l'évaluation des risques au filtrage du spam et au traitement du langage naturel.

Comprendre et appliquer le théorème de Bayes nous permet de faire de meilleures prédictions, d'estimer les incertitudes et de tirer des informations significatives à partir des données, améliorant ainsi notre capacité à prendre des décisions éclairées dans des situations complexes et incertaines.

Vérifiez également :

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• Théorème de Bayes dans l'exploration de données
• Théorème de Bayes en intelligence artificielle
• Théorème de Bayes dans l'apprentissage automatique

Exemples de théorème de Bayes

Exemple 1: Une personne a entrepris un travail. Les probabilités d'achèvement des travaux dans les délais avec et sans pluie sont respectivement de 0,44 et 0,95. Si la probabilité qu'il pleuve est de 0,45, déterminez la probabilité que le travail soit terminé à temps.

Solution:

Soit E₁être le cas où les travaux miniers seront terminés à temps et E₂être le cas où il pleut. Nous avons,

P(A) = 0,45,

P(pas de pluie) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Par loi de multiplication des probabilités,

P(E₁) = 0,44, et P(E₂) = 0,95

Puisque les événements A et B forment des partitions de l'espace échantillon S, par théorème de probabilité totale, nous avons

P(E) = P(A) P(E)₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Ainsi, la probabilité que le travail soit terminé à temps est de 0,7205.

Exemple 2 : Il y a trois urnes contenant 3 boules blanches et 2 boules noires ; 2 boules blanches et 3 boules noires ; respectivement 1 boule noire et 4 boules blanches. Il y a une probabilité égale que chaque urne soit choisie. Une balle est à probabilité égale choisie au hasard. quelle est la probabilité qu'une boule blanche soit tirée ?

Solution:

Soit E₁, ET₂, et E₃être les événements du choix de la première, de la deuxième et de la troisième urne respectivement. Alors,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Soit E l'événement où une boule blanche est tirée. Alors,

PIPI₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Par théorème de probabilité totale, on a

P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + P(E/E₃) . P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Exemple 3 : Une carte d'un paquet de 52 cartes est perdue. Parmi les cartes restantes du paquet, deux cartes sont tirées et se révèlent être les deux cœurs. trouvez la probabilité que la carte perdue soit un cœur.

Solution:

Soit E₁, ET₂, ET_3,et E₄être les événements de perte d'une carte de cœur, de trèfle, de pique et de carreau respectivement.

Alors P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Soit E l'événement consistant à tirer 2 cœurs parmi les 51 cartes restantes. Alors,

P(E|E₁) = probabilité de tirer 2 cœurs, étant donné qu'il manque une carte de cœur

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2 ! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = probabilité de tirer 2 trèfles, étant donné qu'il manque une carte de trèfle

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2 ! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = probabilité de tirer 2 piques, étant donné qu'il manque une carte de cœur

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = probabilité de tirer 2 diamants, étant donné qu'il manque une carte de diamants

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Donc,

P(E₁|E) = la probabilité que la carte perdue soit un cœur, étant donné que les 2 cœurs sont tirés parmi les 51 cartes restantes

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

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⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Par conséquent, la probabilité requise est de 0,22.

Exemple 4 : Supposons que 15 hommes sur 300 et 25 femmes sur 1 000 soient de bons orateurs. Un orateur est choisi au hasard. Trouvez la probabilité qu’un homme soit sélectionné. Supposons qu’il y ait un nombre égal d’hommes et de femmes.

Solution:

Gievn,

• Total hommes = 300
• Total femmes = 1 000
• Bons orateurs parmi les Hommes = 15
• Bons orateurs parmi les Femmes = 25

Nombre total de bons orateurs = 15 (des hommes) + 25 (des femmes) = 40

Probabilité de sélectionner un orateur masculin :

P (Orateur masculin) = Nombre d'orateurs masculins / nombre total d'orateurs = 15/40

Exemple 5 : On sait qu’un homme ment 1 fois sur 4. Il lance un dé et rapporte que c'est un six. Trouvez la probabilité qui est en réalité un six.

Solution:

D'un coup de dé, laissez

ET₁= événement d'obtention d'un six,

ET₂= événement où l'on n'obtient pas un six et

E = événement où l'homme rapporte qu'il s'agit d'un six.

que signifie xdxd

Alors, P(E₁) = 1/6, et P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = probabilité que l'homme rapporte que six se produit alors que six s'est réellement produit

⇒ P(E|E₁) = probabilité que l'homme dise la vérité

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = probabilité que l'homme rapporte que six se produit alors que six ne s'est pas réellement produit

⇒ P(E|E₂) = probabilité que l'homme ne dise pas la vérité

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Probabilité d'obtenir un six, étant donné que l'homme déclare qu'il est six

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [par le théorème de Bayes]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

La probabilité requise est donc de 3/8.

FAQ sur le théorème de Bayes

Qu’est-ce que le théorème de Bayes ?

Le théorème de Bayes, comme son nom l'indique, est un théorème mathématique qui est utilisé pour trouver la probabilité de conditionnalité d'un événement. La probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement se produise dans le futur. Il est calculé sur la base des résultats précédents des événements.

Quand le théorème de Bayes est-il utilisé ?

Le théorème de Bayes a un large éventail d’applications, notamment dans les domaines liés à la mise à jour des probabilités basées sur de nouvelles données. La règle de Bayes vous permet de calculer le probabilité a posteriori (ou mise à jour). Il est utilisé pour calculer la probabilité conditionnelle d’événements.

Quels sont les termes clés pour comprendre le théorème de Bayes ?

Certains des termes clés sont :

• Probabilité préalable (P(A))
• Probabilité postérieure (P(A | B))
• Probabilité (P(B | A))
• Probabilité marginale (P(B))

Quand utiliser le théorème de Bayes ?

Le théorème de Bayes est applicable lorsque la probabilité conditionnelle d’un événement est donnée, il est utilisé pour trouver la probabilité inverse de l’événement.

En quoi le théorème de Bayes est-il différent de la probabilité conditionnelle ?

Le théorème de Bayes est utilisé pour définir la probabilité d’un événement en fonction des conditions précédentes de l’événement. Alors que le théorème de Bayes utilise la probabilité conditionnelle pour trouver la probabilité inverse de l’événement.

Quelle est la formule du théorème de Bayes ?

La formule du théorème de Bayes est expliquée ci-dessous,

P(UNE|B) = [P(B|UNE) P(UNE)] / P(B)