Distribution normale: La distribution normale est la forme la plus courante ou normale de distribution de variables aléatoires, d'où le nom de distribution normale. On l'appelle aussi Distribution gaussienne en statistiques ou en probabilités. Nous utilisons cette distribution pour représenter un grand nombre de variables aléatoires.

Apprenons-en Distribution normale en détail, y compris sa formule, ses caractéristiques et des exemples.

Table des matières

• Qu'est-ce que la distribution normale ?
• Exemples de distribution normale
• Formule de distribution normale
• Courbe de distribution normale
• Écart type de la distribution normale
• Graphique de distribution normale
• Tableau de distribution normale
• Propriétés de la distribution normale
• Distribution normale dans les statistiques
• Problèmes de distribution normale et solutions

Qu'est-ce que la distribution normale ?

Nous définissons la distribution normale comme la fonction de densité de probabilité de toute variable aléatoire continue pour un système donné. Maintenant, pour définir la distribution normale, supposons que nous prenons f(x) comme fonction de densité de probabilité pour toute variable aléatoire X.

Aussi, la fonction est intégrée entre l'intervalle, (x, {x + dx}) alors,

f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−∞,+∞),

_-∞ ∫ ^+∞ f(x) = 1

Nous observons que la courbe tracée par les valeurs supérieures de la distribution normale a la forme d'une cloche, c'est pourquoi la distribution normale est également appelée la Courbe en cloche .

Vérifier: Python – Distribution normale en statistiques

Exemples de distribution normale

Nous pouvons établir une distribution normale pour différents types de données, notamment :

• Répartition de la taille des personnes
• Répartition des erreurs dans toute mesure
• Distribution de la pression artérielle de tout patient, etc.

Formule de distribution normale

La formule de la fonction de densité de probabilité de la distribution normale (distribution gaussienne) est ajoutée ci-dessous,

trier la liste de tableaux

où,

• x est Variable aléatoire
• μ est Signifier
• σ est Écart-type

Courbe de distribution normale

Dans tous Distribution normale, les variables aléatoires sont les variables qui prennent des valeurs inconnues liées à la distribution et sont généralement liées par une plage.

Un exemple de variable aléatoire est, supposons que nous prenions un distribution de la taille des élèves dans une classe alors la variable aléatoire peut prendre n'importe quelle valeur dans cette cas, mais est délimité par une limite de 2 pieds à 6 pieds, car il est généralement forcé physiquement.

• Gamme de tout la distribution normale peut être infinie dans ce cas on dit que la distribution normale n'est pas gênée par son étendue. Dans ce cas, la plage est étendue de –∞ à + ∞.
• La courbe en cloche existe toujours, dans ce cas, toutes les variables de cette plage sont appelées variable continue et leur distribution est appelée distribution normale car toutes les valeurs sont généralement fermées et alignées sur la valeur moyenne.
• Le Le graphique ou la courbe correspondant est appelé courbe de distribution normale ou graphique de distribution normale.

Écart type de la distribution normale

Nous savons que la moyenne de toutes les données réparties sous forme de graphique nous aide à trouver la ligne de symétrie du graphique, tandis que l'écart type nous indique dans quelle mesure les données sont réparties par rapport à la valeur moyenne de chaque côté. Pour des valeurs plus petites de l’écart type, les valeurs du graphique se rapprochent et le graphique devient plus étroit. Alors que pour des valeurs plus élevées de l’écart type, les valeurs du graphique sont davantage dispersées et le graphique devient plus large.

Règle empirique de l'écart type

Généralement, la distribution normale a un écart type positif et l'écart type divise la zone de la courbe normale en parties plus petites et chaque partie définit le pourcentage de données qui tombent dans une région spécifique. C'est ce qu'on appelle la règle empirique de l'écart type dans la distribution normale. .

La règle empirique stipule que,

• 68 % des données se situent approximativement dans un écart type de la moyenne, c'est-à-dire qu'elles se situent entre { Moyenne – un écart type et moyenne + un écart type }
• 95 % des données se situent approximativement dans deux écarts types de la moyenne, c'est-à-dire qu'elles se situent entre { Moyenne – deux écarts types et moyenne + deux écarts types }
• 99,7 % des données se situent approximativement dans un troisième écart type de la moyenne, c'est-à-dire qu'elles se situent entre { Moyenne – Troisième écart type et Moyenne + Troisième écart type }

Graphique de distribution normale

Étudier Sur le graphique, il est clair qu'en utilisant la règle empirique, nous distribuons largement les données en trois parties. Et donc, la règle empirique est également appelée règle 68 – 95 – 99,7.

Vérifier: Mathématiques | Distribution de probabilité s ensemble 3 (distribution normale)

itérer une carte en Java

Tableau de distribution normale

La table de distribution normale, également appelée table Z de distribution normale, est la table de valeur z pour la distribution normale. Ce tableau Z de distribution normale est donné comme suit :

Propriétés de la distribution normale

Certaines propriétés importantes de la distribution normale sont,

• Pour une distribution normale des données, la moyenne, la médiane et le mode sont égaux (c'est-à-dire Moyenne = Médiane = Mode).
• L'aire totale sous la courbe de distribution normale est égale à 1.
• La courbe normalement distribuée est symétrique au centre le long de la moyenne.
• Dans une courbe normalement distribuée, il y a exactement la moitié de la valeur à droite de la valeur centrale et exactement la moitié de la valeur à droite de la valeur centrale.
• La distribution normale est définie à l'aide des valeurs de la moyenne et de l'écart type.

• La courbe de distribution normale est une courbe unimodale, c'est-à-dire une courbe avec un seul pic

Les gens voient également :

• Distribution de Poisson
• Distribution binomiale
• Distribution de probabilité

Distribution normale dans les statistiques

• Distribution normale, également connue sous le nom de distribution gaussienne , est un courbe en forme de cloche qui décrit un grand nombre de phénomènes du monde réel . C’est l’un des concepts les plus importants en statistique car il apparaît dans de nombreux domaines d’étude.
• Courbe en forme de cloche : Imaginez une cloche symétrique dont le milieu est le point le plus élevé et les queues se rétrécissent de chaque côté. C’est la forme de base d’une distribution normale. La plupart des points de données se regroupent autour du centre et, à mesure que vous vous éloignez du centre, les points de données deviennent moins fréquents.
• Tendance centrale : le centre de la courbe en cloche représente la tendance centrale des données, ce qui signifie qu'elle montre où sont concentrées la plupart des valeurs. Il peut s'agir de la moyenne, de la médiane ou du mode, selon l'ensemble de données spécifique.
• Diffusion des données : La largeur de la courbe en cloche indique la répartition des données. Une courbe plus large signifie que les points de données sont plus dispersés, tandis qu'une courbe plus étroite signifie que les points de données sont plus rapprochés.
• Variables aléatoires : la distribution normale est généralement utilisée avec des variables aléatoires continues, qui peuvent prendre n'importe quelle valeur dans une plage spécifique. Les exemples incluent la taille, le poids, les scores de QI ou les notes aux examens.

Vérifier : Distribution normale dans les statistiques d’entreprises

Problèmes de distribution normale et solutions

Résolvons quelques problèmes sur la distribution normale

Exemple 1 : Trouvez la fonction de densité de probabilité de la distribution normale des données suivantes. x = 2, µ = 3 et σ = 4.

Solution:

Donné,

• Variable (x) = 2
• Moyenne = 3
• Écart type = 4

Utilisation de la formule de densité de probabilité de distribution normale

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Simplifier,

f(2, 3, 4) = 0,09666703

Exemple 2 : Si la valeur de la variable aléatoire est 4, la moyenne est 4 et l'écart type est 3, alors trouvez la fonction de densité de probabilité de la distribution gaussienne.

la vérification Java est nulle

Solution:

Donné,

• Variable (x) = 4
• Moyenne = 4
• Écart type = 3

Utilisation de la formule de densité de probabilité de distribution normale

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Simplifier,

f(4, 4, 3) = 1/(3√2π)e⁰

f(4, 4, 3) = 0,13301

Conclusion – Distribution normale

La distribution normale, également connue sous le nom de distribution gaussienne, est un concept fondamental en statistique et en théorie des probabilités. Il se caractérise par sa courbe en forme de cloche, symétrique et centrée autour de la moyenne. Les propriétés de la distribution normale, telles que sa moyenne et son écart type, jouent un rôle crucial dans de nombreuses analyses et applications statistiques. Les distributions normales sont largement utilisées dans des domaines tels que la finance, l'ingénierie, les sciences naturelles et les sciences sociales pour modéliser et analyser un large éventail de phénomènes. Comprendre la distribution normale permet une meilleure interprétation des données, une estimation des probabilités et une prise de décisions éclairées basées sur l'inférence statistique.

FAQ sur la distribution normale

Qu'est-ce que la distribution normale ?

En statistique, la distribution normale est une distribution de probabilité symétrique par rapport à la moyenne, montrant que les données proches de la moyenne sont plus fréquentes que les données éloignées de la moyenne.

Pourquoi la distribution normale est-elle appelée normale ?

La distribution normale, également appelée distribution gaussienne, est appelée normale car il est démontré que divers processus naturels suivent normalement la distribution gaussienne et donc le nom de distribution normale.

tri par sélection Java

Qu'est-ce que le graphique de distribution normale ?

Un graphique de distribution normale, également connu sous le nom de distribution gaussienne ou courbe en cloche, est un type spécifique de distribution de probabilité. Il se caractérise par sa courbe symétrique en forme de cloche lorsqu'elle est tracée sur un graphique.

Qu'est-ce que le tableau Z de distribution normale ?

La table Z, également connue sous le nom de table de distribution normale standard ou table de score Z, est une table de référence utilisée en statistiques pour trouver les probabilités associées à des valeurs spécifiques dans une distribution normale standard.

Quelles sont les caractéristiques de la distribution normale ?

Les propriétés de la distribution normale sont,

• La courbe de distribution normale est symétrique par rapport à la moyenne.
• La distribution normale est de nature unimodale, c'est-à-dire qu'elle a une valeur maximale unique.
• La courbe de distribution normale est toujours en forme de cloche.
• Moyenne, mode et médiane pour une distribution normale est toujours le même.
• La distribution normale suit la règle empirique.

Qu’est-ce que la moyenne de la distribution normale ?

La moyenne (notée μ) représente la valeur centrale ou moyenne des données. C'est aussi le point autour duquel les données sont distribuées symétriquement.

Qu’est-ce que l’écart type de la distribution normale ?

L'écart type (noté σ) mesure la propagation ou la dispersion des points de données dans la distribution. Un σ plus petit indique que les points de données sont étroitement regroupés autour de la moyenne, tandis qu'un σ plus grand indique une plus grande dispersion.

Qu'est-ce que la règle empirique (règle 68-95-99.7) ?

Règle empirique pour les états de distribution normaux,

• Environ 68 % des données se situent dans un écart type de la moyenne.
• Environ 95 % se situent dans une fourchette de deux écarts types par rapport à la moyenne.
• Environ 99,7 % se situent dans une fourchette de trois écarts types par rapport à la moyenne.

Quelles sont les utilisations de la distribution normale ?

Diverses utilisations de la distribution normale sont,

• Pour étudier de nombreux phénomènes naturels
• Pour l'étude des données financières.
• En sciences sociales pour étudier et prédire divers paramètres, etc.

Quelles sont les limites de la distribution normale ?

La distribution normale est un concept statique extrêmement important, mais même s'il présente certaines limites telles que :

• Diverses distributions de données ne suivent pas la distribution normale et il est donc impossible de commenter ces données.
• Une trop grande dépendance à la distribution normale ou à la courbe de Bell n'est pas un bon moyen de prédire les données car elles ne sont pas précises à 100 %, etc.