La fonction objective est l'objectif du problème de programmation linéaire, comme son nom l'indique. En programmation linéaire ou optimisation linéaire, nous utilisons diverses techniques et méthodes pour trouver la solution optimale au problème linéaire avec certaines contraintes. La technique peut également inclure des contraintes d'inégalité. La fonction objectif de la programmation linéaire est d'optimiser pour trouver la solution optimale à un problème donné.

Dans cet article, nous apprendrons tout sur la fonction objectif, y compris sa définition, ses types, comment formuler une fonction objectif pour un problème donné, etc. Nous apprendrons également diverses représentations de fonctions objectives telles que les fonctions objectives linéaires ou les fonctions objectives non linéaires. les fonctions. Commençons donc par découvrir ce concept fondamental de la programmation linéaire, à savoir la fonction objective.

Qu’est-ce que la fonction objectif ?

Comme son nom l’indique, la fonction objectif définit essentiellement l’objectif du problème. Il se concentre sur la prise de décision basée sur des contraintes. Il s'agit d'une fonction à valeur réelle qui doit être maximisée ou minimisée en fonction des contraintes. C'est comme une fonction de profit ou de perte. Il est généralement noté Z.

Les terminologies associées à la fonction objective sont les suivantes :

• Contraintes: Ce sont essentiellement les équations conditionnelles qui régissent la fonction linéaire
• Variables de décision : Les variables dont les valeurs doivent être trouvées. Les équations sont résolues de manière à obtenir la valeur optimale de ces variables.
• Région possible: C'est la région du graphique où les contraintes sont satisfaites et où les variables de décision se trouvent aux coins de la région.
• Solution optimale : La meilleure solution possible qui satisfait à toutes les contraintes et atteint l’objectif le plus élevé ou le plus bas.
• Solution irréalisable : Une solution qui viole une ou plusieurs contraintes et ne peut pas être mise en œuvre ou exécutée.

Fonction objectif dans la programmation linéaire

En programmation linéaire, une fonction objectif est une fonction linéaire comprenant deux variables de décision. C'est une fonction linéaire qui doit être maximisée ou minimisée en fonction des contraintes. Si a et b sont des constantes et x et y sont des variables de décision où x> 0 et y> 0, alors la fonction Objectif est

Z = hache + par

Ainsi, afin d'obtenir la valeur optimale de la fonction d'optimisation, nous devons d'abord résoudre les contraintes en utilisant l'une des techniques et connaître les variables de décision. Ensuite, nous mettons les valeurs des variables de décision dans la fonction Objectif pour générer la valeur optimale.

Formuler une fonction objectif

La programmation linéaire consiste à trouver les valeurs optimales des variables de décision et à placer ces valeurs dans la fonction objectif afin de générer une valeur maximale ou minimale. Il existe de nombreuses techniques telles que la méthode simplex et la méthode graphique pour résoudre la programmation linéaire. Cependant, la méthode graphique est généralement préférée en raison de sa simplicité. Les étapes pour obtenir les valeurs optimales de la fonction objectif sont les suivantes :

• Générez les équations de contraintes et la fonction objectif à partir du problème.
• Tracez les équations de contraintes sur le graphique.
• Identifiez maintenant la région réalisable où les contraintes sont satisfaites.
• Générez les valeurs des variables de décision situées aux coins de la région réalisable.
• Mettez toutes les valeurs générées dans la fonction objectif et générez la valeur optimale.

Types courants de fonctions objectives

Il existe deux types de fonctions objectives.

• Fonction objectif de maximisation
• Fonction objectif de minimisation

Discutons de ces deux types en détail comme suit :

Fonction objectif de maximisation

Dans ce type, nous visons généralement à maximiser la fonction objectif. Les sommets trouvés après avoir représenté graphiquement les contraintes ont tendance à générer la valeur maximale de la fonction objectif. Illustrons à l'aide d'un exemple

Exemple : Un homme investit au maximum 8 heures dans la fabrication de portefeuilles et de cartables. Il investit 2 heures dans la confection de portefeuilles et 4 heures dans les cartables. Il vise à fabriquer au maximum 5 portefeuilles et cartables et souhaite les vendre et générer un profit de Rs 20 sur un portefeuille et Rs 100 sur un cartable. Trouvez la fonction objectif.

Solution:

Soit x le nombre de rotis et y le nombre de pain.

Un homme peut investir au maximum 8 heures en investissant 2 heures dans la confection d'un portefeuille et 4 heures dans la confection d'un cartable. La première équation de contrainte est donc

2x + 4 ans ⩽ 8

⇒ x + 2a ⩽ 4

Le nombre maximum qu'il peut faire est de 5

x+y ⩽ 5

Soit la fonction objectif notée Z

Donc Z = 20x + 100y

algorithme minimax

Fonction objectif de minimisation

Dans ce type, nous visons généralement à minimiser la fonction objectif. Les sommets trouvés après avoir représenté graphiquement les contraintes ont tendance à générer la valeur minimale de la fonction objectif. Illustrons à l'aide d'un exemple

Exemple : étant donné que la somme des deux variables est d'au moins 20. On lui donne une variable supérieure ou égale à 9. Dérivez la fonction objectif si le coût d'une variable est de 2 unités et le coût d'une autre variable est de 9 unités.

Solution:

Soit x et y les deux variables. Il est indiqué que la somme des deux variables doit être d'au moins 20.

x+y ⩾ 20

et x ⩾ 9

Au-dessus de deux inégalités sont des contraintes pour la fonction objectif suivante.

Soit la fonction objectif notée Z. Donc Z est

Z = 2x + 9a

Représentation mathématique de la fonction objectif

Comme nous l'avons discuté de la fonction objectif dans le contexte de la programmation linéaire, la fonction objectif peut également être non linéaire.

• Fonctions objectives linéaires : dans ce type de fonction objectif, les contraintes et les fonctions objectifs sont de nature linéaire. Les exposants des variables sont 1.
• Fonctions objectives non linéaires : dans ce type de fonction objectif, les contraintes et les fonctions objectifs sont de nature linéaire. Les exposants des variables sont soit 1, soit supérieurs à 1.

Applications des fonctions objectives

Les fonctions objectives sont importantes dans les scénarios réels. Par exemple, ces fonctions sont utilisées par les hommes d’affaires. Les hommes d’affaires l’utilisent pour maximiser leurs profits. Les fonctions objectives sont également utiles pour les problèmes de transport. En configurant une fonction, on peut analyser la consommation de carburant et comment l'utilisateur peut en réduire les prix en conséquence. Les fonctions objectives sont également utiles dans les problèmes de distance.

Problèmes résolus sur la fonction objective

Problème 1 : Une personne veut des ceintures et des portefeuilles. Il a des économies totales de Rs 6 000 et souhaite dépenser toutes ses économies pour acheter des ceintures et des portefeuilles afin de pouvoir les revendre plus tard. La valeur du portefeuille est de Rs 20 et celle de la ceinture est de Rs 10. Il souhaite les ranger dans un placard et la capacité maximale du placard est de 50 unités. Il s’attend à un bénéfice de Rs 2 sur la ceinture et Rs 3 sur le portefeuille. Trouvez les contraintes et la fonction objectif résultante.

Solution:

Soit x le nombre de portefeuilles à acheter et y le nombre de ceintures à acheter. Il est à noter que chaque fois que maximum est mentionné dans le problème, nous devons utiliser « ⩽ » pour trouver les contraintes

L'investissement maximum est de Rs 6000. La première équation de contrainte est

20x+10a⩽6000

La capacité de stockage maximale du placard est de 50

x+y⩽50

Ici, la fonction profit est fondamentalement la fonction objectif. Soit cela noté P. Par conséquent, la fonction de profit est

P = 3x + 2 ans

Problème 2 : Identifier les équations de contraintes et la fonction objectif à partir de l'ensemble donné

• 2x + 3 ans ⩾ 50
• x + y ⩽ 50
• 5x + 4 ans ⩽ 40
• Z = 7x + 8y

Où x et y sont supérieurs à 0.

Solution:

Les contraintes peuvent être des inégalités ou des formats d'inégalités. Mais une fonction objectif a toujours un symbole d'égalité

Les équations de contraintes sont donc

2x + 3 ans ⩾ 50

x + y ⩽ 50

5x + 4 ans ⩽ 40

L'équation objective est Z = 7x + 8y

Problème 3 : Une femme investit au maximum 7 heures dans la fabrication de rôtis et de pain. Elle investit 2h sur les rotis et 4h sur le pain. Elle vise à fabriquer au maximum 20 pains et rotis et souhaite les vendre et générer un bénéfice de Rs 2 sur les roti et de Rs 1 sur le pain. Trouvez la fonction objectif.

Solution:

Soit x le nombre de rotis et y le nombre de pain.

réseaux et types

Une femme peut investir un maximum de 7 heures en investissant 2 heures pour faire un roti et 4 heures pour faire un pain. La première équation de contrainte est donc

2x + 4 ans ⩽ 7

Le nombre maximum de pains et de rotis qu'elle peut préparer est de 20

x + y ⩽ 20

Soit la fonction objectif notée Z

Donc Z = 2x + y.

Problème 4 : L'entreprise souhaite fabriquer le produit A et le produit B. Le produit A nécessite 4 unités de cacao en poudre et 1 unité de lait en poudre. Le produit B nécessite 3 unités de cacao en poudre et 2 unités de lait en poudre. Il y a 87 unités de poudre de cacao disponibles et 45 unités de lait en poudre disponibles. Le profit à réaliser sur chaque produit est respectivement de 3 $ et 5 $. Trouvez la fonction objectif.

Solution:

Soit x le nombre de produits A et y le nombre d'articles de type B.

La quantité maximale de poudre de cacao est de 87 unités. La première équation de contrainte est donc

4x + 3 ans ⩽ 87

La quantité maximale de lait en poudre disponible est de 45 unités. La deuxième équation de contrainte est donc

x + 2a ⩽ 45

Ici, notre objectif est de maximiser le profit. Notre fonction de profit est donc la fonction Objectif. Soit noté Z

Z = 3x + 5 ans

Problème 5 : Deux types de sachets alimentaires A et B doivent être générés et contiennent des vitamines. Il y a au moins 45 unités du paquet alimentaire A à mettre à disposition et la fabrication des deux paquets alimentaires doit être d'au moins 30. Générez la fonction objectif à générer où le paquet alimentaire A contient 6 unités de vitamines et le paquet alimentaire B en contient 8 unités. .

Solution:

Soit x le nombre de paquets de nourriture A et y le nombre de paquets de nourriture B.

Au moins 45 colis alimentaires doivent être mis à disposition. La première équation de contrainte est donc

x ⩾ 45

La deuxième équation de contrainte est

x + y ⩾ 30

La fonction objectif est la suivante :

Z = 6x + 8y

FAQ sur la fonction objective

Q1 : Quelle est la fonction objectif dans le problème de programmation linéaire ?

Répondre:

Une fonction objectif est une fonction à valeur réelle qui doit être maximisée ou minimisée en fonction des contraintes. Il comprend deux variables de décision.

Q2 : Quel est le but de la fonction objectif ?

Répondre:

Le but de la fonction objectif est de maximiser ou de minimiser la valeur résultante. C'est une équation qui s'exprime en termes de variables de décision et joue un rôle crucial dans la programmation linéaire.

Q3 : Comment comprendre si une fonction doit être maximisée ou minimisée ?

Répondre:

Pour vérifier si une fonction doit être maximisée ou non, nous devons être familiers avec des termes tels que « au plus », « au moins ». Si le terme « au moins » est donné en question, alors la fonction objectif doit être minimisée. Pour le terme « au plus », la fonction doit être maximisée.

Q4 : Nommez les types courants de fonctions objectives.

Répondre:

Il existe deux types de fonctions Objectif :

• Fonction objectif de maximisation
• Fonction objectif de minimisation

Q5 : Quelles sont les applications de la fonction objectif ?

Répondre:

Il existe différentes applications de la fonction Objectif. Ils sont utiles dans des scénarios réels. Ils sont essentiellement utilisés pour estimer le profit ou la perte dans chaque cas. Les fonctions objectives sont utiles dans les problèmes de transport, les problèmes de contraintes de temps, etc.