L'intégration est le processus de sommation des petites valeurs d’une fonction dans la région des limites. C'est tout le contraire de la différenciation. L'intégration est également connue sous le nom d'anti-dérivée. Nous avons expliqué l'intégration des fonctions trigonométriques dans cet article ci-dessous.

Vous trouverez ci-dessous un exemple d'intégration d'une fonction donnée.

par exemple., Considérons une fonction, f(y) = y².

Cette fonction peut être intégrée comme :

∫y²tu =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Cependant, un intégrale indéfinie est une fonction qui prend la primitive d'une autre fonction. Il est représenté comme un symbole intégral (∫), une fonction et une dérivée de la fonction à la fin. L'intégrale indéfinie est un moyen plus simple de symboliser une anti-dérivée.

Apprenons ce qu'est mathématiquement l'intégration, l'intégration d'une fonction f(x) est donnée par F(x) et elle est représentée par :

∫f(x)dx = F(x) + C

Ici R.H.S. de l'équation signifie intégrale de f(x) par rapport à x, F(x) est appelé anti-dérivé ou primitif, f(x) est appelé l'intégrande, dx est appelé l'agent intégrateur, C est appelé constante d'intégration ou constante arbitraire et x est la variable d’intégration.

Quelques intégrales importantes des fonctions trigonométriques

Voici la liste de quelques formules importantes d'intégrales indéfinies sur les bases fonctions trigonométriques à retenir comme suit :

• ∫ péché x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = péché x + C
• ∫ secondes²x dx = bronzage x + C
• ∫ cosec²x dx = -lit x + C
• ∫ sec x tan x dx = sec x + C
• ∫ cosec x lit bébé x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | seconde x | +C
• ∫ lit bébé x dx = ln | péché x | +C
• ∫ sec x dx = ln | sec x + bronzage x | +C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – lit bébé x | +C

Où dx est la dérivée de x, C est la constante d'intégration et ln représente la logarithme de la fonction à l’intérieur du module (| |).

Généralement, les problèmes d'intégrales indéfinies basées sur des fonctions trigonométriques sont résolus par la méthode de substitution. Discutons donc davantage de la méthode d'intégration par substitution comme suit :

Intégration par substitution

Dans cette méthode de intégration par substitution , toute intégrale donnée est transformée en une forme simple d'intégrale en remplaçant la variable indépendante par d'autres. Prenons un exemple pour une meilleure compréhension.

Exemple : Simplifier ∫ 3x ² péché (x ³ ) dx.

Répondre:

Soit I = ∫ 3x²péché (x³) dx.

Afin d'évaluer l'intégrale donnée, remplaçons n'importe quelle variable par une nouvelle variable comme :

Soit x³be t pour l’intégrale donnée.

Alors, dt = 3x²dx

Donc,

je = ∫ 3x²péché (x³) dx = ∫ péché (x³) (3x²dx)

Maintenant, remplacez t par x³et dt pour 3x²dx dans l’intégrale ci-dessus.

je = ∫ péché (t) (dt)

combien de touches ont les claviers

Comme ∫ sin x dx = -cos x + C, donc

je = -cos t + C

Encore une fois, remplacez x³pour t dans l'expression suivante :

je = ∫ 3x ² péché (x ³ ) dx = -cos x ³ +C

Quelle est l’intégrale requise.

Ainsi, la Forme Générale d’intégration par substitution est :

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

Où t = g(x)

Habituellement, la méthode d'intégration par substitution est extrêmement utile lorsque l'on effectue une substitution pour une fonction dont la dérivée est également présente dans l'intégrande. Ce faisant, la fonction se simplifie et les formules de base d'intégration peuvent alors être utilisées pour intégrer la fonction.

En calcul, la méthode d'intégration par substitution est également connue sous le nom de règle de chaîne inverse ou méthode de substitution en U. Nous pouvons utiliser cette méthode pour trouver une valeur intégrale lorsqu’elle est configurée sous la forme spéciale. Cela signifie que l’intégrale donnée est de la forme :

En savoir plus,

• Calcul en mathématiques
• Intégrales
• Calcul intégral
• Différenciation des fonctions Trig
• Équations trigonométriques

Exemples de problèmes sur l'intégration de fonctions trigonométriques

Problème 1 : Déterminer l'intégrale de la fonction suivante : f(x) = cos ³ X.

Solution:

Considérons l'intégrale de la fonction donnée comme,

méthode égale en java

je = ∫ cos³x dx

Il peut être réécrit comme suit :

je = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Utiliser l'identité trigonométrique ; parce que²x = 1 – péché²x, on obtient

I = ∫ (cos x) (1 – péché²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x péché²x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx péché²x dx

Comme ∫ cos x dx = sin x + C,

Ainsi, I = péché x – ∫ péché²x cos x dx . . . (1)

Soit, sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Remplacez t par sin x et dt par cos x dx dans le deuxième terme de l'intégrale ci-dessus.

je = péché x – ∫ t²dt

⇒ I = péché x – t³/3 + C

Encore une fois, remplacez sin x par t dans l’expression.

Donc ∫ cos ³ x dx = péché x – péché ³ x/3 + C.

Problème 2 : Si f(x) = sin ² (x) parce que ³ (x) puis déterminer ∫ sin ² (x) parce que ³ (x) dx.

Solution:

Considérons l'intégrale de la fonction donnée comme,

je = ∫péché²(x) parce que³(x) dx

Utiliser l'identité trigonométrique ; parce que²x = 1 – péché²x, on obtient

je = ∫péché²x (1 – péché²x) cos x dx

Soit sin x = t alors,

⇒ dt = cos x dx

Remplacez-les dans l'intégrale ci-dessus par :

je = ∫t²(1 – t²) dt

⇒ je = ∫ t²– t⁴dt

⇒ je = t³/ 3 – t⁵/ 5 + C

Remplacez la valeur de t dans l'intégrale ci-dessus par la forme suivante :

Par conséquent, je = péché ³ x/3 – sans ⁵ x/5 + C.

Problème 3 : Soit f(x) = sin ⁴ (x) puis trouvez ∫ f(x)dx. c'est-à-dire ∫ péché ⁴ (x) dx.

Solution:

Considérons l'intégrale de la fonction donnée comme,

je = ∫péché⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (sans²(X))²dx

25 c à k

Utiliser l'identité trigonométrique ; péché²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, on obtient

je = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x)dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + péché 4x / 8 – péché 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + péché 4x / 32 – péché 2x / 4 + C

Par conséquent, ∫ péché ⁴ (x) dx = 3x / 8 + péché 4x / 32 – péché 2x / 4 + C

Problème 4 : Trouver l'intégration de old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Solution:

Considérons l'intégrale de la fonction donnée comme,

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Soit t = bronzage^-1X . . . (1)

Maintenant, différencions les deux côtés par rapport à x :

dt = 1 / (1+x²) dx

L’intégrale donnée devient donc :

je = ∫ e^tdt

⇒ je = e^t+C. . . (2)

tableau de retour Java

Remplacez la valeur de (1) dans (2) par :

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Quelle est l’intégration requise pour la fonction donnée.

Problème 5 : Trouver l'intégrale de la fonction f (x) définie comme,

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Solution:

Considérons l'intégrale de la fonction donnée comme,

je = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Soit (x²– 5) =t. . . (1)

Différenciez maintenant les deux côtés par rapport à x comme,

2x dx = dt

En substituant ces valeurs dans l'intégrale ci-dessus,

je = ∫ cos (t) dt

⇒ I = péché t + C . . . (2)

Remplacez l'équation de valeur (1) dans l'équation (2) par,

⇒ I = péché (x²– 5) +C

Il s'agit de l'intégration requise pour la fonction donnée.

Problème 6 : Déterminer la valeur de l'intégrale indéfinie donnée, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Solution:

L'intégrale donnée peut s'écrire sous la forme :

I = ∫ lit bébé (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Soit, t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos(3x+5)dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Ainsi,

je = ∫ dt / 3 sin t

⇒ je = (1 / 3) ln | t | +C

Remplacez t par sin (3x+5) dans l'expression ci-dessus.

je = (1 / 3) ln | péché (3x+5) | +C

Il s'agit de l'intégration requise pour la fonction donnée.

Intégration de fonctions trigonométriques – FAQ

Qu'est-ce que l'intégration d'une fonction trigonométrique ?

L'intégration de fonctions trigonométriques, comme son nom l'indique, est le processus de calcul de l'intégration ou de la primitive des fonctions trigonométriques. C'est le processus inverse de différenciation des fonctions trigonométriques.

Que sont les fonctions trigonométriques de base ?

Les fonctions trigonométriques de base sont :

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• sinus (sans),
• cosinus (cos),
• tangente (bronze),
• cotangente (coude),
• sécante (sec), et
• cosécante (csc).

Comment intégrer les fonctions sinus (sin) et cosinus (cos) ?

Pour intégrer les fonctions sinus et cosinus, on peut utiliser les formules suivantes :

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = péché(x) + C

Où C est la constante d’intégration.

Qu'est-ce que l'intégration de la fonction trigonométrique tangente (tan) ?

L’intégrale de la fonction tangente est donnée comme suit :

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

Où,

• dans représente le logarithme népérien, et
• C est la constante d’intégration.

Comment trouver l'intégrale de la fonction trigonométrique sécante (Sec) ?

L’intégrale de la fonction sécante est donnée par :

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| +C

Où,

• dans représente le logarithme népérien, et
• C est la constante d’intégration.

Qu'est-ce que l'intégration de la fonction trigonométrique cotangente (cot) ?

L'intégrale de la fonction cotangente peut être calculée à l'aide de la formule suivante :

∫ lit bébé(x) dx = ln|sin(x)| +C

Où,

• dans représente le logarithme népérien, et
• C est la constante d’intégration.

Comment trouver l'intégrale de la fonction Cosecant (cosec) ?

L’intégrale de la fonction cosécante est donnée par :

∫ cosec(x)dx = ln| cosec x – lit bébé x | +C

Où,

• dans représente le logarithme népérien, et
• C est la constante d’intégration.