Domaine et étendue d'une fonction : Domain et Range sont les valeurs d'entrée et de sortie d'une fonction. UN fonction est défini comme la relation entre un ensemble d'entrées et leurs sorties, où l'entrée ne peut avoir qu'une seule sortie, c'est-à-dire qu'un domaine peut produire une plage particulière. Il décrit une relation entre une variable indépendante et une variable dépendante.

Une fonction est généralement désignée par y = f(x), où x est l'entrée. Une fonction est une relation f d'un ensemble X à un autre ensemble Y, où chaque élément de X a exactement une sortie dans Y, et elle est représentée par f : X→Y. Ici, l'ensemble X est appelé domaine d'une fonction et l'ensemble Y est appelé co-domaine de la fonction. Chaque fonction possède un domaine, un codomaine et une plage qui aident à définir la fonction.

Dans cet article, nous découvrirons le domaine et l'étendue d'une fonction, comment calculer le domaine et l'étendue d'une fonction, le domaine et l'étendue d'une feuille de calcul de fonction, le domaine et l'étendue d'une fonction, des exemples, le domaine et l'étendue d'une fonction. graphique de fonction, et d'autres en détail.

Table des matières

• Qu'est-ce que le domaine et la plage ?
• Notation d'intervalle du domaine et de la plage
• Co-domaine et plage
• Domaine d'une fonction
• Comment trouver le domaine d'une fonction ?
• Portée d'une fonction
• Comment trouver l’étendue d’une fonction ?
• Comment trouver un domaine et une plage
• Exemples de domaine et de plage d'une fonction
• Domaine et plage quadratiques
• Domaine et gamme de fonctions exponentielles
• Domaine et plage des fonctions trigonométriques
• Domaine et plage des fonctions trigonométriques inverses
• Domaine et plage d'une fonction de valeur absolue
• Domaine et plage d'une fonction racine carrée
• Domaine et étendue d'une fonction rationnelle
• Domaine et plage de la fonction de journalisation
• Domaine et plage de la fonction du plus grand entier
• Domaine et plage d'un graphique de fonction
• Domaine et plage d'une feuille de travail de fonction
• Feuille de travail sur le domaine et la plage PDF
• Problèmes de pratique de domaine et de plage
• Questions résolues sur le domaine et la plage

Qu'est-ce que le domaine et la plage ?

Le domaine d'un fonction est défini comme l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour lesquelles la fonction peut être définie. La plage est la sortie donnée par une fonction pour un domaine particulier. Un co-domaine d'une fonction est l'ensemble des résultats possibles, tandis qu'une plage ou une image d'une fonction est un sous-ensemble d'un co-domaine et est l'ensemble des images des éléments du domaine. Par exemple, dans la figure ci-dessous, f(x) = x³est une fonction dont le domaine est l'ensemble X, et son co-domaine est l'ensemble Y tandis que sa plage est {1, 8, 27, 64}.

Domaine d'un Relation peuvent également être trouvés en utilisant les mêmes méthodes. Une relation est un type de fonction dans laquelle un objet de la région de domaine est mappé à plusieurs objets de la région de plage.

Pour la fonction donnée f(x) = x³

• f(x) = {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64)}
• Domaine = {1, 2, 3, 4}
• Co-domaine = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 23, 27, 64}
• Plage = {1, 8, 27, 64}

Notation d'intervalle du domaine et de la plage

Le domaine et la plage de n'importe quelle fonction peuvent être facilement écrits dans la notation d'intervalle. Supposons que l'on nous donne une fonction f(x) = sin x alors son domaine et sa plage s'écrivent comme suit :

• Domaine de f(x) = (-∞, +∞)
• Plage de f(x) = [-1, 1]

De même en utilisant le la notation des intervalles nous pouvons représenter le domaine et la plage de n’importe quelle fonction.

Comment écrire un domaine et une plage

Le domaine et la plage de n'importe quelle fonction peuvent être facilement représentés à l'aide de la notation d'intervalle comme indiqué ci-dessus. De cette façon, nous utilisons des parenthèses pour décrire un ensemble de nombres. Nous utilisons {}, [] et () pour représenter le domaine et la plage de la fonction.

Co-domaine et plage

Le codomaine est l'ensemble des valeurs comprenant la plage de la fonction et il peut avoir des valeurs supplémentaires. Range est le sous-ensemble du codomaine. Ceci est expliqué à l'aide de l'exemple,

Fonction donnée, f(x) = cos x, telle que f:R→R, alors

• Codomaine de f(x) = R
• Plage de R = (-1, 1)

Domaine d'une fonction

Le domaine d'une fonction est défini comme l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour lesquelles la fonction peut être définie. Passons en revue les domaines de différentes fonctions.

• Le domaine de toute fonction polynomiale telle qu'une fonction linéaire, une fonction quadratique, une fonction cubique, etc. est un ensemble de tous les nombres réels (R).
• Le domaine d'une fonction logarithmique f(x) = log x est x> 0 ou (0, ∞).
• Le domaine d'une fonction racine carrée f(x) = √x est l'ensemble des nombres réels non négatifs qui est représenté par [0, ∞).
• Le domaine d'une fonction exponentielle est l'ensemble de tous les nombres réels (R).
• Une fonction rationnelle est définie uniquement pour les valeurs non nulles de son dénominateur. Ainsi, pour déterminer le domaine d'une fonction rationnelle y = f(x), définissez le dénominateur ≠ 0.

Règles de recherche du domaine d'une fonction

Diverses règles pour trouver le domaine de la fonction.

• Le domaine de la fonction polynomiale (linéaire, quadratique, cubique, etc.) est R (tous les nombres réels).
• Le domaine de la fonction racine carrée √x est x ≥ 0.
• Le domaine de la fonction exponentielle est R.
• Le domaine de la fonction logarithmique est x> 0.
• Nous savons que le domaine d'une fonction rationnelle y = f(x), dénominateur ≠ 0.

Comment trouver le domaine d'une fonction ?

Pour trouver le domaine d'une fonction, procédez comme suit :

Étape 1: Tout d’abord, vérifiez si la fonction donnée peut inclure tous les nombres réels.

Étape 2: Vérifiez ensuite si la fonction donnée a une valeur non nulle au dénominateur de la fraction et un nombre réel non négatif sous le dénominateur de la fraction.

Étape 3: Dans certains cas, le domaine d'une fonction est soumis à certaines restrictions, c'est-à-dire que ces restrictions sont les valeurs pour lesquelles la fonction donnée ne peut pas être définie. Par exemple , le domaine d'une fonction f(x) = 2x + 1 est l'ensemble de tous les nombres réels (R), mais le domaine de la fonction f(x) = 1/ (2x + 1) est l'ensemble de tous les nombres réels sauf -1/2.

Étape 4: Parfois, l'intervalle auquel la fonction est définie est mentionné avec la fonction. Par exemple, f (x) = 2x²+3, -5

Après avoir suivi toutes les étapes décrites ci-dessus, l’ensemble des nombres qui nous reste est considéré comme le domaine d’une fonction.

Exemple de domaine

Trouver le domaine de f(x) = 1/(x ² - 1)

Solution:

Donné,

• f(x) = 1/(x²- 1)

Maintenant, en mettant x = -1, 1 dans f(x)

• f(-1) = 1/{(-1)²– 1} = 1/0 = ∞
• f(1) = 1/{(1)²– 1} = 1/0 = ∞

Ainsi, sur -1 et 1, la fonction f(x) est indéfinie et en dehors du fait qu'en tout point, f(x) est défini. Ainsi, le domaine de f(x) est R – {-1, 1}

Portée d'une fonction

Portée d'une fonction est l'ensemble de toutes les sorties de la fonction. Pour toute fonction f : A → B, les ensembles de valeurs dans B sont la plage de la fonction. si f : A→ B est une fonction telle que f(x) = x²et A est l'ensemble de tous les entiers alors la plage de la fonction est l'ensemble de Range = {1, 4, 9, 16,….}. Nous devons noter que la plage de la fonction est le sous-ensemble du Co-Domain de la fonction.

Règles de recherche de l'étendue d'une fonction

Les règles pour trouver l'étendue d'une fonction sont,

• Pour la fonction linéaire, la plage est R.
• Pour la fonction quadratique y = a(x – h)²+ k la plage est :
  • y ≥ k, si a> 0
  • y ≤ k, si a <0
• Pour la fonction racine carrée, la plage est y ≥ 0.
• Pour la fonction exponentielle, la plage est y> 0.
• Pour la fonction logarithmique, la plage est R.

Comment trouver l’étendue d’une fonction ?

La plage ou l'image d'une fonction est un sous-ensemble d'un co-domaine et constitue l'ensemble des images des éléments du domaine.

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Pour trouver la plage d'une fonction, procédez comme suit

Considérons une fonction y = f(x).

Étape 1: Écrivez la fonction donnée sous sa forme de représentation générale, c'est-à-dire y = f(x).

Étape 2: Résolvez-le pour x et écrivez la fonction obtenue sous la forme x = g(y).

Étape 3: Maintenant, le domaine de la fonction x = g(y) sera l'étendue de la fonction y = f(x).

Ainsi, la plage d'une fonction est calculée.

Exemple de plage

Trouvez l'étendue de la fonction f(x) = 1/ (4x − 3).

Solution:

Donné,

• f(x) = 1/ (4x − 3)

Soit la fonction f(x) = y = 1/ (4x − 3)

y(4x − 3) = 1

4xy – 3y = 1

4xy = 1 + 3a

x = 4 ans / (1 + 3 ans)

Ici, on observe que x est défini pour toutes les valeurs sauf y pour y = −1/3 car sur y = -1/3, on obtient une valeur indéfinie de x.

Ainsi, la plage de f(x) = 1/ (4x − 3) est (−∞, −1/3) DANS (1/3, ∞)

Comment trouver un domaine et une plage

Maintenant, pour calculer le domaine et l’étendue d’une fonction donnée, étudiez attentivement l’exemple suivant :

Pour X = {1, 2, 3, 4, 5} et Y = {1, 2, 4, 5, …, 45, 46, 47, 48, 49, 50} et la fonction définie comme f : X → Y , f(x) = x²trouver le domaine et l'étendue de la fonction suivante f(x)

Domaine = Toutes les valeurs d'entrée = X

Plage = {1, 4, 9, 16, 25} = Un sous-ensemble de Y

Le domaine d'une fonction est la valeur d'entrée que nous pouvons prendre pour une fonction et la plage d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie atteintes par la fonction. Maintenant, le domaine et la plage de la fonction sont trouvés à l'aide de l'exemple ajouté ci-dessous,

Par exemple, si on nous donne une fonction F : X → Y, telle que F(x) = y + 1, et X = {1, 2, 3, 4, 5} et Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ici,

• Domaine de F(x) = X = {1, 2, 3, 4, 5}
• Plage de F(x) = {2, 3, 4, 5, 6}

Y est le codomaine de F(x) mais pas la plage.

Domaine et gamme de divers types de fonctions sont abordés dans les sections suivantes.

Exemples de domaine et de plage d'une fonction

• Fonctions linéaires : Pourf(x)=2x+3, le domaine et la plage sont tous des nombres réels, puisqu'il n'y a aucune restriction sur x et f(x).
• Fonctions quadratiques : Pour g(x)=x^2−4, le domaine est composé uniquement de nombres réels, mais la plage esty≥−4car la sortie ne peut pas être inférieure à -4.
• Fonctions rationnelles : Pour ℎ(x)=1/x-2​, le domaine est x≠2 (tous les nombres réels sauf 2), et la plage est également composée de tous les nombres réels sauf où ℎ(x)=0.

Domaine et plage quadratiques

Une fonction quadratique est une fonction polynomiale de degré 2, soit f(x) : ax²+ bx = c = 0 est une fonction quadratique. Et le domaine et l'étendue d'une fonction quadratique sont :

Domaine de f(x) : Ensemble de nombres réels = R

Plage de f(x) :

• y ≥ k, si a> 0, où k est une constante
• y ≤ k, si a <0, où k est une constante

Domaine et gamme de fonctions exponentielles

Le fonction exponentielle est défini comme:

f : R → R, f(x) = une ^X

Le domaine de la fonction exponentielle est constitué de tous les nombres réels et comme la fonction exponentielle donne toujours une sortie positive, la plage est l'ensemble de tous les nombres réels positifs.

Qu'est-ce qu'un ordinateur

• Domaine = R
• Gamme = R⁺

Domaine et plage des fonctions trigonométriques

Pour fonctions trigonométriques , le domaine est un ensemble de tous les nombres réels (sauf certaines valeurs dans certaines fonctions) et la plage des fonctions trigonométriques varie avec différentes fonctions trigonométriques, telles que

• Plage de fonction sinusoïdale = [-1, 1]
• Plage de fonction cosinus = [-1, 1]
• Gamme de fonctions cosécantes = (−∞,−1]∪[1,+∞)
• Gamme de fonctions sécantes = (−∞,−1]∪[1,+∞)

La plage des fonctions Tangente et Cotangente est différente,

• Plage de fonction tangente = [-∞, ∞]
• Plage de fonction cotangente = [-∞, ∞]

Ceci peut être résumé dans le tableau ci-dessous :

Domaine et plage des fonctions trigonométriques inverses

Fonction sinusoïdale inverse

Domaine : [-1, 1] et plage : [- Pi /2 , Pi /2]

Fonction cosinus inverse

Domaine : [-1, 1] et plage : [0, Pi ]

Fonction Tangente Inverse

Domaine: (-infty, infty) & Plage : (-π/2 ,π/2)

Fonction cotangente inverse

Domaine: (-infty, infty) & Plage : (0 , Pi )

Domaine et plage d'une fonction de valeur absolue

Les fonctions absolues également appelées fonction de module sont les fonctions qui sont définies pour tous les nombres réels mais leur sortie n'est que des nombres réels positifs, une fonction absolue ne donne qu'une sortie positive.

Une fonction absolue est définie comme :

f : R → R, f(x) = |ax + b|

Ainsi, la fonction Domaine et plage de valeur absolue est :

• Domaine = R
• Gamme = R⁺

Domaine et plage d'une fonction racine carrée

Pour une fonction racine carrée, le domaine et la plage sont calculés comme suit :

Supposons que la fonction racine carrée soit f(x) = √(ax + b)

Nous savons que la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie, donc le domaine de la fonction racine carrée est :

• Domaine = x ≥ -b/a = [-b/a,∞)

Maintenant, pour la plage de la fonction racine carrée, nous savons qu’une racine carrée absolue ne donne que des valeurs positives, donc la plage est composée uniquement de nombres réels positifs.

• Gamme = R⁺

Domaine et étendue d'une fonction rationnelle

UN fonction rationnelle est une fonction qui est représentée par P(x)/Q(x) où P(x) et Q(x) sont des fonctions polynomiales et Q(x) n'est jamais nul. le domaine d'une fonction rationnelle est constitué des valeurs de x pour lesquelles Q(x) n'est jamais nul. Et la plage de la fonction rationnelle correspond aux valeurs de y trouvées en utilisant différentes valeurs de x, dans y = P(x)/Q(x).

Domaine et plage de la fonction de journalisation

Fonction de journalisation ou Fonction logarithmique sont la fonction de la forme y = ln x et le domaine et la plage de la fonction log sont :

• Domaine de la fonction Log : (0, ∞)
• Plage de fonction Log : (-∞, +∞)

Domaine et plage de la fonction du plus grand entier

La fonction du plus grand nombre entier est également appelée fonction échelon et est la fonction qui donne la sortie sous forme d'entier le plus proche inférieur ou égal au nombre donné.

• Domaine de la plus grande fonction entière : R
• Plage de la plus grande fonction entière : Z

Domaine et plage d'un graphique de fonction

Si le graphique d'une fonction est donné, trouver le domaine et la plage est une tâche très simple. Supposons que nous recevions n'importe quelle courbe, alors trouver si la courbe est fonctionnelle ou non est notre première priorité et cela se trouve en utilisant le test de ligne verticale . Alors si la courbe est donnée sous la forme y = f(x), alors la projection sur le graphique en axe des x donne le Domaine de la fonction et la projection du graphique sur l'axe des y donne l'étendue de la fonction .

Domaine et plage d'une feuille de travail de fonction

1. Considérez la fonction F ( X )=√( X −2​). Déterminez le domaine et la plage de cette fonction.
2. Compte tenu de la fonction g ( X )=1/( X +3)​, trouvez son domaine et sa plage.
3. Pour la fonction h ( X )=( X ²−4​)/ X −2, déterminez le domaine et la plage.
4. Découvrez la fonction k ( X )=sans( X ). Quels sont le domaine et l’étendue de cette fonction trigonométrique ?
5. Étudier la fonction m ( X )= C'est ^X . Identifiez son domaine et sa gamme.

Feuille de travail sur le domaine et la plage PDF

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En mathématiques, une fonction est définie comme la relation entre un ensemble d'entrées et leurs sorties, où l'entrée ne peut avoir qu'une seule sortie.

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Comment une fonction est-elle représentée en mathématiques ?

Une fonction est une relation f d'un ensemble X à un autre ensemble Y, où chaque élément de X a exactement une sortie dans Y, et elle est représentée par f : X → Y . Une fonction est généralement désignée par y = f(x), où x est l'entrée.

Quel est le domaine dans l'exemple mathématique ?

Le domaine d'une fonction est défini comme l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour lesquelles la fonction peut être définie. Le domaine de toute fonction polynomiale telle qu'une fonction linéaire, une fonction quadratique, une fonction cubique, etc. est un ensemble de tous les nombres réels (R).

Quel est le co-domaine et l’étendue d’une fonction ?

Un co-domaine d'une fonction est l'ensemble des résultats possibles, tandis qu'une plage ou une image d'une fonction est un sous-ensemble d'un co-domaine et est l'ensemble des images des éléments du domaine.

Quels sont le domaine et la plage ?

Les valeurs que nous saisissons dans une fonction sont appelées le domaine de la fonction et la plage de la valeur de sortie est appelée la plage de la fonction.

Comment trouver le domaine et la gamme ?

Le domaine de la fonction est trouvé en prenant l'ensemble de toutes les valeurs d'entrée de la fonction et la plage de la fonction est l'ensemble de toutes les valeurs qui se trouvent dans la plage de sortie de la fonction.

Quels sont le domaine et la portée d'un ensemble ?

Le domaine de toute fonction est l'ensemble des valeurs qui peuvent être utilisées à la place d'une variable indépendante et la plage de la fonction correspond à toutes les valeurs de la variable indépendante.