Les fonctions en mathématiques, on peut les considérer comme des distributeurs automatiques. Compte tenu de l'argent sous forme d'apport, ils donnent en échange des canettes ou des biscuits. De même, les fonctions prennent des nombres en entrée et nous donnent des sorties. On peut dire que, dans la vraie vie, tout peut être formulé et résolu à l’aide de fonctions. De la conception et de l'architecture des bâtiments aux méga gratte-ciel, le modèle mathématique de presque tout dans la vie réelle nécessite des fonctions. Par conséquent, on ne peut éviter que les fonctions aient une importance gigantesque dans nos vies. Le domaine et la plage sont un aspect par lequel une fonction peut être décrite.

Par exemple: Supposons qu’il soit écrit sur la machine que seuls les billets de Rs.20 et Rs.50 peuvent être utilisés pour acheter quelque chose. Et si quelqu'un utilisait des billets de Rs.10 ? La machine ne donnera aucun résultat. Ainsi, le domaine représente le type d’entrées que nous pouvons avoir dans une fonction. Dans ce cas, les billets Rs.20 et Rs.50 sont le domaine du distributeur automatique. De même, peu importe combien d’argent on met dans la machine, il n’en tirera jamais de sandwichs. Ainsi, le concept de plage entre en jeu ici, la plage correspond aux résultats possibles que la machine peut donner.

Plage et domaine d'une fonction

Domaine d'une fonction :

Un domaine est constitué de toutes les valeurs pouvant entrer dans une fonction pour lesquelles il donne une sortie valide. C'est l'ensemble de toutes les entrées possibles dans une fonction.

Par exemple: Dans la figure ci-dessous, f(x) = x². L'ensemble de toutes les entrées est appelé Domaine et l'ensemble de toutes les sorties est considéré comme la plage.

Comment trouver le domaine d'une fonction ?

Le domaine de la fonction doit contenir tous les nombres réels à l'exception des points où le dénominateur devient zéro et les termes sous les racines carrées deviennent négatifs. Pour trouver le domaine, essayez de trouver les points ou les valeurs d'entrée sur lesquels la fonction n'est pas définie.

Question 1: Trouver le domaine de frac{1}{1-x}

Répondre:

Cette fonction peut donner une sortie indéfinie lorsque x = 1. Ainsi, le domaine est R-{1} .

Question 2: Recherchez le domaine de la fonction suivante :

frac{x^2}{(x-3)(x-5)}

Répondre :

Il est important de ne pas rendre la fonction infinie ou indéfinie. Par conséquent, nous devons voir quelles valeurs de domaine peuvent rendre la fonction indéfinie ou infinie.

En regardant le dénominateur, il est clair que les valeurs 3 et 5 font que le dénominateur est 0, ce qui rend la fonction infinie, ce qui n'est pas souhaitable.

Par conséquent, les valeurs x=3 et x=5 ne peuvent pas être placées ici.

Le domaine sera R-{3,5}.

Question 3 : Trouver les valeurs du Domaine pour lesquelles les Fonctions Y = (2x ² -1) et Z= (1-3x) sont égaux.

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Répondre :

Égalisation des deux fonctions :

2 fois²– 1 = 1 – 3x

2x²+ 3x – 2 = 0

2x²+ 4x – x – 2 = 0

2x (x + 2) – 1 (x+2)= 0

(2x – 1) (x + 2) = 0

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x = 1/2, -2.

Par conséquent, les valeurs du domaine sont {1/2, -2}.

Portée d'une fonction

La plage d'une fonction est un ensemble de toutes ses sorties possibles.

Exemple : Considérons une fonction ƒ : A⇢A, où A = {1,2,3,4}.

Les éléments du domaine d'ensemble sont appelés pré-images, et les éléments du co-domaine d'ensemble qui sont mappés sur des pré-images sont appelés images. L'étendue d'une fonction est un ensemble de toutes les images des éléments du domaine. Dans cet exemple, la plage de la fonction est {2,3}.

Comment trouver l'étendue d'une fonction ?

La plage est la répartition des valeurs de la sortie d’une fonction. Si nous sommes capables de calculer les valeurs maximales et minimales de la fonction, nous pouvons avoir une idée de l’étendue de la fonction.

Question 1 : Trouvez la plage. f(x) = sqrt{x – 1}

Répondre:

Maintenant, puisque la fonction est une racine carrée, elle ne peut jamais donner de valeurs négatives en sortie. Ainsi, la valeur minimale ne peut être que 0 à x = 1. La valeur maximale peut aller jusqu'à l'infini à mesure que nous continuons à augmenter x.

Ainsi, la plage de la fonction est [0,∞).

Question 2 : Le domaine de la fonction ƒ défini par f(x) = frac{1}{sqrtx} est?

Répondre:

Étant donné, f(x) = frac{1}{sqrtx – } .

Il faut s'assurer de deux choses lors de la sélection de l'ensemble de domaines,

• Le dénominateur ne va jamais à zéro.
• Le terme qui se trouve à l’intérieur de la racine carrée ne devient pas négatif.

Développons ce qui est écrit à l’intérieur du terme dans la racine carrée.

sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases}

Dans ce cas, nous ne pouvons mettre aucune des valeurs, x ≥ 0 ou x <0.

Par conséquent, f n’est défini pour aucun x ∈ R. Ainsi, le domaine est un ensemble vide.

Domaine et gamme de fonctions quadratiques

Les fonctions quadratiques sont les fonctions de la forme f(x) = ax²+ bx + c, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0. Le graphique d'une fonction quadratique se présente sous la forme d'une parabole. Il s’agit essentiellement d’une forme incurvée s’ouvrant vers le haut ou vers le bas.

Voyons comment représenter graphiquement des fonctions quadratiques,

Donc, dans notre fonction quadratique

• si a> 0, la parabole s'ouvre vers le haut.
• si a <0, la parabole s'ouvre vers le bas.

Or, le sommet est le point le plus haut ou le plus bas de notre courbe selon le graphique de la fonction quadratique. Trouver le sommet du graphique d’une expression quadratique générale.

Dans la forme quadratique standard, le sommet est donné par(frac{-b}{2a}, f(frac{-b}{2a})) Il faut d'abord trouver la valeur x du sommet, puis il suffit de le brancher dans la fonction pour obtenir la valeur y.

Note: Chaque courbe est symétrique autour de son axe vertical.

Regardons quelques exemples,

Question : Tracez le graphique de f(x) = 2x ² +4x+2.

Répondre:

Comparaison de cette équation avec l'équation générale de la fonction quadratique. a = 2, b = -4 et c = 2.

Puisque a> 0, cette parabole s'ouvrira vers le haut.

• Valeur x du sommet =frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1
• Valeur y du sommet = 2(-1)²+ 4(-1) + 2 = 0

Le sommet est donc à (-1,0). Puisque la parabole s’ouvre vers le haut, cela doit être la valeur minimale de la fonction.

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Le point où le graphique coupe l'axe des y est (0,2).

L'étendue et le domaine des fonctions quadratiques peuvent être facilement découverts en traçant le graphique. Il n'est pas toujours nécessaire de tracer le graphique complet, pour la plage, seules la direction de la parabole (vers le haut ou vers le bas) et la valeur de la parabole au sommet doivent être connues. La valeur au sommet est toujours minimale/maximale en fonction de la direction de la parabole. Le domaine de telles fonctions est toujours constitué de nombres réels entiers car ils sont définis partout, c'est-à-dire : il n'y a aucune valeur d'entrée qui pourrait les amener à donner un résultat indéfini en sortie.

Regardons un autre exemple concernant le domaine et la portée de la parabole.

Question: Tracez le graphique et trouvez le domaine et la plage de la fonction donnée, f(x) = -x ² + 4.

Répondre:

Puisque a = -1. La parabole s'ouvrira vers le bas, c'est-à-dire ; il n'y aura pas de valeur minimale, elle s'étendra à l'infini. Mais il y aura une valeur maximale qui se produira au sommet.

Pour trouver la position du sommet, la formule précédente peut être utilisée. Le sommet est à la position (0,4).

La valeur au sommet (0,4) = (0)²+ 4 = 4.

Ainsi, la valeur maximale est 4 et la valeur minimale est négative de l’infini.

Plage de la fonction – (-∞, 4] et le domaine est R. .