Formules dérivées en calcul sont l'un des outils de calcul importants car les formules dérivées sont largement utilisées pour trouver facilement les dérivées de diverses fonctions et nous aident également à explorer divers domaines des mathématiques, de l'ingénierie, etc.

Cet article explore tous les formules dérivées incluant étroitement la formule dérivée générale, les formules dérivées pour les fonctions logarithmiques et exponentielles, les formules dérivées pour les rapports trigonométriques, les formules dérivées pour les rapports trigonométriques inverses et les formules dérivées pour les fonctions hyperboliques. La formule dérivée est importante pour les étudiants de la classe 12 pour leurs examens du conseil. Nous résoudrons également quelques exemples de dérivées en utilisant les différentes formules de dérivées. Parcourons de près le sujet de la formule dérivée.

Table des matières

• Qu’est-ce que le dérivé ?
• Que sont les formules dérivées ?
• Formules dérivées de base – Règles dérivées en calcul
• Liste des formules dérivées
• Quelques autres formules dérivées
• Comment trouver les produits dérivés ?
• Applications de la formule dérivée

Qu’est-ce que le dérivé ?

Le dérivés représentent le taux de fonction par rapport à n’importe quelle variable. La dérivée d'une fonction f(x) est notée f'(x) ou (d/dx) [f(x)]. Le processus de recherche de dérivées est appelé différenciation.

La formule dérivée la plus fondamentale est la définition d'un dérivé, qui est défini comme :

f'(x) = lim _{h → 0} [(f(x + h) – f(x))/h]

Il existe diverses formules dérivées, notamment les formules dérivées générales, les formules dérivées pour les fonctions trigonométriques et les formules dérivées pour les fonctions trigonométriques inverses, etc.

Lire en détail : Calcul en mathématiques

Que sont les formules dérivées ?

Les formules dérivées sont ces expressions mathématiques qui nous aident à calculer la dérivée d'une fonction spécifique par rapport à sa variable indépendante. En termes simples, les formules qui aident à trouver des dérivées sont appelées formules dérivées. Il existe plusieurs formules dérivées pour différentes fonctions.

Exemples de formule dérivée

Voici quelques exemples de formules de dérivés :

• Règle de puissance : Si f(x) = xⁿ, où n est une constante, alors la dérivée est donnée par :

f'(x) = nx ^n-1

• Règle constante : Si f(x) = c, où c est une constante, alors la dérivée est nulle :

f'(x) = 0

• Fonctions exponentielles : Si f(x) = e^X, alors:

f'(x) = e ^X

Discutons de toutes les formules liées aux dérivés de manière structurée.

Formules dérivées de base – Règles dérivées en calcul

Certaines des formules les plus élémentaires pour trouver une dérivée sont :

• Règle constante
• Règle de puissance
• Règle de différence de somme
• Règle du produit
• Règle de quotient
• Règle de la chaîne

Discutons de ces règles en détail :

Règle constante pour les produits dérivés

La règle constante pour les dérivés est donnée par :

(d/dx) constante = 0

Règle de puissance pour les produits dérivés

La règle de puissance pour les produits dérivés est donnée par :

(d/dx)x ⁿ = nx ^n-1

Règle de différence de somme pour les produits dérivés

La règle de somme et de différence pour les dérivés est donnée par :

méthodes abstraites

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Règle de produit pour les produits dérivés

La règle de produit pour les produits dérivés est donnée par :

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Règle du quotient pour les produits dérivés

La règle du quotient pour les dérivés est donnée par :

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Règle de chaîne pour les produits dérivés

La règle de chaîne pour la dérivée est donnée par :

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Liste des formules dérivées

Les formules dérivées des différentes fonctions sont répertoriées ci-dessous :

Formules dérivées exponentielles et logarithmiques

Les formules dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques sont répertoriées ci-dessous :

• (d/dx)e^X= et^X
• (d/dx) une^X= un^Xdans un
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) journal_unx= (1/x lna)

En savoir plus,

• Logarithmes
• Dérivée des fonctions exponentielles

Formules dérivées trigonométriques

Les formules dérivées des fonctions trigonométriques sont répertoriées ci-dessous :

• (d/dx) péché x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sec²X
• (d/dx) lit bébé x = -cosec²X
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

En savoir plus sur Dérivée des fonctions trigonométriques .

Formule dérivée pour les fonctions trigonométriques inverses

Les formules dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont répertoriées ci-dessous :

• (d/dx) sans^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) donc^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) lit bébé^-1x = -1/(1 + x²)
• (j/dx) seconde^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) cosec^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

En savoir plus, Dérivée des fonctions de déclenchement inverse .

Dérivée des fonctions hyperboliques

Les formules dérivées des fonctions trigonométriques sont répertoriées ci-dessous :

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = chacun²X
• (d/dx) coth x = -cosech²X
• (d/dx) soi x = -soi x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Quelques autres formules dérivées

Il existe d'autres fonctions telles que les fonctions implicites, les fonctions paramétriques et les dérivées d'ordre supérieur dont les formules dérivées sont répertoriées ci-dessous :

Formule dérivée implicite

La méthode permettant de trouver la dérivée d’une fonction implicite est appelée différenciation implicite. Prenons un exemple pour comprendre la méthode de recherche implicite des dérivées.

nombre à chaîne java

Exemple : Trouver la dérivée de xy = 2

Solution:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

ajouter une chaîne java

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

À partir de l'équation donnée y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

En savoir plus sur Différenciation implicite .

Formule dérivée paramétrique

Si la fonction y(x) est exprimée dans les termes de la troisième variable t et que x et y peuvent être représentés dans x = f(t) et y = g(t), alors ce type de fonction est appelé fonction paramétrique.

Si y est fonction de x et x = f(t) et y = g(t) sont deux fonctions différentiables du paramètre t alors, la dérivée de la fonction paramétrique est donnée par :

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), tel que (dx/dt) ≠ 0

En savoir plus sur Différenciation paramétrique .

Formule dérivée d'ordre supérieur

Trouver la dérivée d'une fonction plusieurs fois donne la dérivée d'ordre supérieur d'une fonction.

n ^ème Dérivée = d ⁿ y/(dx) ⁿ

En savoir plus sur Dérivé d'ordre supérieur .

Comment trouver les produits dérivés ?

Pour trouver les dérivées d'une fonction, nous suivons les étapes ci-dessous :

• Vérifiez d'abord le type de la fonction si elle est algébrique, trigonométrique, etc.
• Après avoir trouvé le type, appliquez les formules dérivées correspondantes sur la fonction.
• La valeur résultante donne la dérivée de la fonction en utilisant la formule des dérivées.

Applications de la formule dérivée

Il existe de nombreuses applications des formules dérivées. Certaines de ces applications sont répertoriées ci-dessous :

• Les dérivés sont utilisés pour trouver le taux de variation d’une quantité quelconque.
• Il peut être utilisé pour trouver des maxima et des minima.
• Il est utilisé dans les fonctions croissantes et décroissantes.

Les gens voient également :

• Formules de différenciation
• Formule de différenciation et d'intégration
• Différenciation logarithmique

Exemples résolus sur la formule dérivée

Exemple 1 : Trouver la dérivée de x ⁵ .

Solution:

Soit y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

Exemple 2 : Trouver la dérivée de log ₂ X.

différence symétrique

Solution:

Soit y = log₂X

⇒ y’ = (d/dx) [log₂X]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

Exemple 3 : Trouvez la dérivée de la fonction f(x) = 8 . 6 ^X

Solution:

f(x) = 8 . 6^X

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^X]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^X]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Exemple 4 : Trouver la dérivée de la fonction f(x) = 3sinx + 2x

Solution:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Exemple 5 : Trouver la dérivée de la fonction f(x) = 5cos ^-1 x + e ^X

Solution:

f(x) = 5cos^-1x + e^X

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^X]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + et^X

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + et^X

Problèmes pratiques sur les formules dérivées

Problème 1 : Évaluer : (d/dx) [x⁴].

Problème 2 : Trouvez la dérivée de y = 5cos x.

Problème 3 : Trouvez la dérivée de y = cosec x + cot x.

Problème 4 : Trouver la dérivée de f(x) = 4^X+ journal₃x + donc^-1X.

Problème 5 : Évaluer : (d/dx) [40].

Problème 6 : Trouver la dérivée de f(x) = x⁵+5x³+1.

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FAQ sur les formules dérivées

Qu’est-ce que le dérivé ?

La valeur qui représente le taux de changement de fonction par rapport à une variable est appelée la dérivée.

Comment les produits dérivés sont-ils représentés ?

Les dérivées sont représentées par (d/dx) ou si f(x) est une fonction alors, la dérivée de f(x) est représentée par f'(x).

Comment est calculée la dérivée d’une constante ?

La dérivée d'une constante est toujours nulle. En notation mathématique, si « C » est une constante, alors dC/dx = 0.

Écrire la formule dérivée générale de xⁿ.

La formule générale de la dérivée de xⁿ= nx^n-1.

Comment calculer les dérivées de fonction ?

Pour calculer les dérivées d'une fonction, nous pouvons appliquer la formule des dérivées en fonction de la fonction donnée.

Quelle est la formule de la dérivée de la fonction logarithmique ?

La dérivée de la fonction logarithme népérien, ln(x), est 1/x. En notation mathématique, si y = ln(x), alors dy/dx = 1/x.

Quelle formule est utilisée pour trouver la dérivée des fonctions exponentielles ?

La dérivée d'une fonction exponentielle, y = a^X(où 'a' est une constante), se trouve à l'aide de la formule dy/dx = a^X× ln(une).

Que sont les dérivés d’ordre supérieur ?

Les dérivées d'ordre supérieur sont des dérivées d'une fonction prise plus d'une fois. La dérivée seconde est la dérivée de la première, la troisième est la dérivée de la seconde, et ainsi de suite.

Qu'est-ce que la formule dérivée pour e^X?

La dérivée de la fonction f(x) = e^X(où 'e' est le nombre d'Euler, environ 2,71828) est simplement f'(x) = e^X.

Écrivez une formule dérivée pour u/v.

La dérivée du quotient de deux fonctions u(x) et v(x) est donnée par la règle du quotient :

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Qu'est-ce que la formule dérivée pour 1/x ?

La dérivée de la fonction f(x) = 1/x est donnée par :

f'(x) = -1/x ²