Dans cet article, nous allons discuter de la différence symétrique entre deux ensembles. Ici, nous discuterons également des propriétés de différence symétrique entre deux ensembles.
J'espère que cet article vous sera utile afin de comprendre la différence symétrique entre deux ensembles.
Qu'est-ce qu'une différence symétrique ?
Une autre variante de différence est la différence symétrique. Supposons qu'il existe deux ensembles, A et B. La différence symétrique entre les deux ensembles A et B est l'ensemble qui contient les éléments présents dans les deux ensembles, à l'exception des éléments communs.
La différence symétrique entre deux ensembles est également appelée union disjonctive . La différence symétrique entre deux ensembles est un ensemble d'éléments qui se trouvent dans les deux ensembles mais pas dans leur intersection. La différence symétrique entre deux ensembles A et B est représentée par ADB ou UN ? B .
Nous pouvons le comprendre à travers des exemples.
Exemple 1 Supposons qu'il existe deux ensembles avec quelques éléments.
Ensemble A = {1, 2, 3, 4, 5}
Ensemble B = {3, 5}
Ainsi, la différence symétrique entre les ensembles A et B donnés est {1, 2, 4}
Ou alors, on peut dire que UNEΔB = {1, 2, 4} .
Exemple2 Supposons qu'il existe deux ensembles avec quelques éléments.
Ensemble A = {a, b, c, k, m, n}
Ensemble B = {c, n}
Ainsi, la différence symétrique entre les ensembles A et B donnés est {a, b, k, m}
Ou alors, on peut dire que UNE Δ B = {une, b, k, m} .
Dans le diagramme de Venn ci-dessous, vous pouvez voir la différence symétrique entre les deux ensembles.
La partie ombrée avec la couleur de la peau dans le diagramme de Venn ci-dessus est la différence symétrique entre les ensembles donnés, c'est-à-dire : ADB .
Voyons quelques-unes des propriétés de la différence symétrique entre deux ensembles.
Propriétés
Certaines des propriétés de la différence symétrique sont répertoriées comme suit :
- La différence symétrique peut être représentée comme l'union des deux compléments relatifs, c'est-à-dire
UNE Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - La différence symétrique entre deux ensembles peut également être exprimée comme l'union de deux ensembles moins l'intersection entre eux -
UNE Δ B = (UNE ∪ B) - (UNE ∩ B) - La différence symétrique est commutative et associative -
UNEΔB = BΔUNE
(UNE Δ B) Δ C = UNE Δ (B Δ C) - L'ensemble vide est neutre (en mathématiques, un élément neutre est appelé un type spécial d'élément qui, lorsqu'il est combiné avec n'importe quel élément de l'ensemble pour effectuer une opération binaire, laisse l'élément inchangé. Il est également connu sous le nom d'élément neutre. Élément d'identité ).
UNE Δ ∅ = UNE
UNE Δ UNE = ∅ - Si l'ensemble A est égal à l'ensemble B, alors la différence symétrique entre les deux ensembles est -
A Δ B = ∅ {quand A = B}
'Différence symétrique entre deux ensembles' vs 'Différence entre deux ensembles'
Différence entre deux ensembles
La différence entre deux ensembles A et B est un ensemble de tous les éléments qui appartiennent à A mais n'appartiennent pas à B et est notée UN B .
Exemple: Soit A = {1, 2, 3, 4}
et B = {3, 4, 5, 6}
alors A - B = {3, 4} et B - A = {5, 6}
Différence symétrique entre deux ensembles
La différence symétrique entre deux ensembles, A et B, est l'ensemble contenant tous les éléments qui sont dans A ou B mais pas dans les deux. Il est représenté par ADB ou UN ? B .
Exemple: Soit A = {1, 2, 3, 4}
et B = {3, 4, 5, 6}
alors A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Voyons maintenant quelques exemples pour comprendre plus clairement la différence symétrique entre deux ensembles.
Question 1 - Supposons que vous ayez les ensembles A = {10, 15, 17, 19, 20} et B = {15, 16, 18}. Découvrez la différence entre les deux ensembles A et B et découvrez également la différence symétrique entre eux.
Solution - Donné,
cm en pieds et pouces
UNE = {10, 15, 17, 19, 20}
et B = {15, 16, 18}
La différence entre les deux ensembles est -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
La différence symétrique entre les deux ensembles est -
UNEΔB = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Question 2 - Supposons que vous ayez les ensembles A = {2, 4, 6, 8} et B = {2, 5, 7, 8}. Découvrez la différence symétrique B Δ A. Dessinez également le diagramme de Venn pour représenter la différence symétrique entre les deux ensembles donnés.
Solution - Étant donné, A = {2, 4, 6, 8} et B = {2, 5, 7, 8}
Nous savons que B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Essayons de résoudre la question étape par étape. La première étape consiste donc à trouver l’union de l’ensemble A et de l’ensemble B.
Par conséquent, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Après cela, nous devons calculer l’intersection entre les deux ensembles.
(B ∩ UNE) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Nous devons maintenant trouver la différence entre l’union et l’intersection des ensembles A et B, comme indiqué dans la formule :
Donc, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Par conséquent, B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Ce qui sera égal au A Δ B, comme indiqué ci-dessus, « La différence symétrique est commutative ». Nous allons maintenant montrer la différence symétrique entre les deux ensembles via le diagramme de Venn.
Dans le diagramme de Venn, nous allons d'abord dessiner deux cercles représentant les ensembles A et B. Comme calculé ci-dessus, l'intersection entre les deux ensembles est {2, 8}, nous avons donc répertorié ces éléments dans la région d'intersection. Ensuite, nous listons les éléments restants dans leurs cercles respectifs, c'est-à-dire {4, 6} dans l'ensemble A et {5, 7} dans l'ensemble B. Après avoir disposé les éléments, le diagramme de Venn sera -
Lorsque nous regardons le diagramme de Venn ci-dessus, il existe un ensemble universel U. Les deux ensembles A et B sont le sous-ensemble de l'ensemble universel U. Les éléments {2, 8} sont les éléments qui se croisent, ils sont donc représentés dans la région qui se croise. La région de couleur orange clair est l'union d'ensembles à l'exception de la région qui se croise. Cette région est la différence symétrique entre les deux ensembles A et B, et sera représentée par -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Question 3 - Supposons que vous ayez les ensembles A = {5, 6, 8, 9, 10} et B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Montrer que la différence symétrique est commutative en utilisant les ensembles donnés.
Solution - Étant donné, A = {5, 6, 8, 9, 10} et B = {2, 7, 8, 9, 10}
Prouver: UNEΔB = BΔUNE
Prenez LHS,
UNE Δ B = (UNE ∪ B) - (UNE ∩ B)
(UNE ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(UNE ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Donc, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Maintenant, prends RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Donc, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Par conséquent, A Δ B = B Δ A
La différence symétrique est donc commutative.