Différenciation des fonctions trigonométriques est le dérivé des fonctions trigonométriques telles que sin, cos, tan, cot, sec et cosec. La différenciation est une partie importante du calcul. Il est défini comme le taux de variation d’une quantité par rapport à une autre quantité. La différenciation des fonctions trigonométriques est utilisée dans la vie réelle dans divers domaines comme l'informatique, l'électronique et les mathématiques.

Dans cet article, nous découvrirons la différenciation des fonctions trigonométriques ainsi que les formules, leurs preuves associées et leurs applications. Nous résoudrons également quelques exemples et obtiendrons des réponses à certaines FAQ sur la différenciation des fonctions trigonométriques. Commençons notre apprentissage sur le thème de la différenciation des fonctions trigonométriques.

Qu’est-ce que la différenciation ?

La différenciation d'une fonction est le taux de changement d'une fonction par rapport à n'importe quelle variable. Le dérivé de f(x) est noté f'(x) ou (d /dx)[f(x)].

La procédure de différenciation des fonctions trigonométriques s'appelle la différenciation des fonctions trigonométriques. En d’autres termes, trouver le taux de changement des fonctions trigonométriques par rapport aux angles est appelé différenciation des fonctions trigonométriques.

Les six fonctions trigonométriques de base sont sin, cos, tan, cosec, sec et cot. Nous retrouverons les dérivées de toutes les fonctions trigonométriques avec leurs formules et preuves.

Règle de différenciation pour les fonctions trigonométriques

La différenciation des six fonctions trigonométriques de base est la suivante :

Vous pouvez vérifier la preuve de la dérivée de ces six fonctions trigonométriques dans les liens ci-dessous :

Formule de preuve de différenciation des fonctions trigonométriques

Comme indiqué ci-dessus pour les formules de toutes les fonctions trigonométriques, nous allons maintenant prouver les formules ci-dessus de différenciation des fonctions trigonométriques en utilisant le premier principe de dérivée, la règle du quotient et la règle de la chaîne à l'aide de limites.

Différenciation du péché(x)

Pour prouver la dérivée de sin x, nous utiliserons le premier principe de la différenciation et quelques formules trigonométriques de base des identités et des limites. Les formules d'identités et de limites trigonométriques utilisées dans la preuve sont données ci-dessous :

1. péché (X + Y) = péché X cos Y + péché Y cos X
2. lim_{x → 0}[sinx/x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Commençons la preuve de la différenciation de la fonction trigonométrique sin x

Par le premier principe de différenciation

(d/dx) péché x = lim_{h → 0}[{sin(x + h) – péché x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) péché x = lim_{h → 0}[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) péché x = lim_{h → 0}[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) péché x = lim_{h → 0}[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_{h → 0}[(péché h/h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [En utilisant 2 et 3]

⇒ (d/dx) péché x = cos x

Par conséquent, la différenciation de sin x est cos x.

Différenciation de cos(x)

Pour prouver la dérivée de cos x, nous utiliserons le premier principe de la différenciation et quelques identités et limites trigonométriques de base. Les formules d'identités et de limites trigonométriques utilisées dans la preuve sont données ci-dessous :

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – péché X péché Y
2. lim_{x → 0}[sinx/x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Commençons la preuve de la différenciation de la fonction trigonométrique cos x

Par le premier principe de différenciation

(d/dx) cosx = lim_{h → 0}[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cosx = lim_{h → 0}[{cos x cos h – péché h péché x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cosx = lim_{h → 0}[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cosx = lim_{h → 0}[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_{h → 0}[(sans h/h) sans x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [En utilisant 2 et 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Par conséquent, la différenciation de cos x est -sin x.

Différenciation de tan(x)

Pour prouver la dérivée de tan x, nous utiliserons la règle du quotient et quelques formules trigonométriques de base des identités et des limites. Les formules d'identités et de limites trigonométriques utilisées dans la preuve sont données ci-dessous :

1. tan x = péché x / cos x
2. sec x = 1 / cos x
3. parce que²x + péché²x = 1
4. (d/dx) péché x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Commençons la preuve de la différenciation de la fonction trigonométrique tan x

Puisque, par (1)

bronzage x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

En utilisant la règle du quotient

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [Par 4 et 5]

⇒ (d/dx) tanx = [cos²x + péché²x] / cos²X

⇒ (d/dx) tanx = 1 / cos²x [Par 3]

⇒ (d/dx) tanx = sec ² X [Par 2]

Par conséquent, la différenciation de tan x est sec ² X.

Différenciation du cosec(x)

Pour prouver la dérivée de cosec x, nous utiliserons la règle de la chaîne et quelques formules d'identités et de limites trigonométriques de base. Les formules d'identités et de limites trigonométriques utilisées dans la preuve sont données ci-dessous :

1. lit bébé x = cos x / péché x
2. cosec x = 1 / péché x
3. (d/dx) péché x = cos x

Commençons la preuve de la différenciation de la fonction trigonométrique cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [Par 2]

Utiliser la règle de chaîne

(d/dx) cosec x = [-1 / péché²x] (d/dx) péché x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / péché²x] parce que x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / péché x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [Par 1 et 2]

Par conséquent, la différenciation de cosec x est – cosec x cot x.

Différenciation de sec(x)

Pour prouver la dérivée de sec x, nous utiliserons la règle du quotient et quelques notions de base identités trigonométriques et formule de limites . Les formules d'identités et de limites trigonométriques utilisées dans la preuve sont données ci-dessous :

1. tan x = péché x / cos x
2. sec x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Commençons la preuve de la différenciation de la fonction trigonométrique sec x

(d/dx) sec x = (d/dx) [1 / cos x] [Par 2]

Utiliser la règle de chaîne

(d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (d/dx) cosx

⇒ (d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (-sans x)

⇒ (d/dx) sec x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sec x = sec x tan x [Par 1 et 2]

Par conséquent, la différenciation de sec x est sec x tan x.

Différenciation du lit bébé(x)

Pour prouver la dérivée de cot x, nous utiliserons la règle du quotient et quelques formules trigonométriques de base des identités et des limites. Les formules d'identités et de limites trigonométriques utilisées dans la preuve sont données ci-dessous :

1. lit bébé x = cos x / péché x
2. cosec x = 1 / péché x
3. parce que²x + péché²x = 1
4. (d/dx) péché x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Commençons la preuve de la différenciation de la fonction trigonométrique cot x

Puisque, par (1)

lit bébé x = cos x / péché x

(d/dx) lit bébé x = (d/dx)[cosx / sin x]

En utilisant la règle du quotient

(d/dx) cot x = [{(d/dx)cosx} péché x – {(d/dx) sin x} cos x] / péché²X

⇒ (d/dx) cot x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / péché²x [Par 4 et 5]

⇒ (d/dx) lit bébé x = [ -sin²x – cos²x] / péché²X

⇒ (d/dx) lit bébé x = -[ péché²x + cos²x] / péché²X

⇒ (d/dx) lit bébé x = -1 / péché²x [Par 3]

⇒ (d/dx) lit bébé x = -cosec ² X [Par 2]

Par conséquent, la différenciation de cot x est -cosec ² X.

Quelques autres dérivés de fonction trigonométrique

La différenciation des fonctions trigonométriques peut être facilement effectuée à l'aide d'une règle de chaîne. Les fonctions trigonométriques complexes et les fonctions trigonométriques composites peuvent être résolues en appliquant règle de la chaîne de différenciation. Dans les titres suivants, nous étudierons plus en détail la différenciation de la règle de chaîne et des fonctions trigonométriques composites.

• Différenciation à l'aide de la règle de chaîne
• Différenciation de la fonction de déclenchement composite

Discutons de ces sujets en détail.

Règle de chaîne et fonction trigonométrique

La règle de la chaîne stipule que si p(q(x)) est une fonction alors, la dérivée de cette fonction est donnée par le produit de la dérivée de p(q(x)) et de la dérivée de q(x). La règle de la chaîne est utilisée pour différencier fonctions composites . La règle de chaîne est principalement utilisée pour différencier facilement les fonctions trigonométriques composites.

Exemple : Trouver la dérivée de f(x) = tan 4x

Solution:

f(x) = bronzage 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

En appliquant la règle de la chaîne

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sec²4x)(4)

Différenciation de la fonction de déclenchement composite

Pour évaluer la différenciation des fonctions trigonométriques composites, nous appliquons la règle de différenciation en chaîne. Les fonctions trigonométriques composites sont les fonctions dans lesquelles l'angle de la fonction trigonométrique est lui-même une fonction. La différenciation des fonctions trigonométriques composites peut être facilement évaluée en appliquant la règle de la chaîne et les formules de différenciation des fonctions trigonométriques.

Exemple : Trouver la dérivée de f(x) = cos(x ² +4)

Solution:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

En appliquant la règle de la chaîne

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Que sont les fonctions trigonométriques inverses ?

Le fonctions trigonométriques inverses sont les fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Il existe six fonctions trigonométriques inverses : sin^-1, parce que^-1, donc^-1, cosec^-1, seconde^-1, lit bébé^-1. Les fonctions trigonométriques inverses sont également appelées fonctions d'arc.

Différenciation des fonctions trigonométriques inverses

Les dérivées de six fonctions trigonométriques inverses sont les suivantes :

Exemple : Trouver la dérivée de f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 X

Solution:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1X]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [péché^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3.4)

fichier json

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Applications sur la différenciation des fonctions trigonométriques

Il existe de nombreuses applications différentes de la différenciation des fonctions trigonométriques dans la vie réelle. Voici les applications de la différenciation des fonctions trigonométriques.

• La pente de la tangente et de la normale à la courbe trigonométrique peut être déterminée en utilisant la différenciation des fonctions trigonométriques.
• Il peut également être utilisé pour déterminer les maxima et minima de la fonction.
• Il est également utilisé dans le domaine de l’informatique et de l’électronique.

Vérifiez également

• Dérivée de déclenchement inverse
• Primitive
• Formules de différenciation

Exemples de problèmes sur la différenciation des fonctions trigonométriques

Problème 1 : Trouvez la dérivée de f(x) = tan 2x.

Solution:

f(x) = bronzage 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

En appliquant la règle de la chaîne

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sec²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2sec²2x

Problème 2 : Trouver la dérivée de y = cos x / (4x ² )

Solution:

y = cos x / (4x²)

Application de la règle du quotient

y' = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Problème 3 : Évaluer la dérivée f(x) = cosec x + x tan x

Solution:

f(x) = cosec x + x tan x

En appliquant la formule et la règle du produit

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²X

Problème 4 : Trouver la dérivée de la fonction f(x) = 6x ⁴ parce que x

Solution:

f(x) = 6x⁴parce que x

En appliquant la règle du produit

f'(x) = (d/dx) [6x⁴parce que x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cosx)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cosx + x⁴(-sans x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cosx – x⁴sans x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x péché x]

Problème 5 : Évaluer la dérivée : f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Solution:

f(x) = (x + cos x) (1 – péché x)

En appliquant la règle du produit

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – péché x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + péché²x – 2 sinx – x cosx – cos²X

Problèmes pratiques sur la différenciation des fonctions trigonométriques

Problème 1 : Trouvez la dérivée de y = sin(x) + cos(x).

Problème 2 : Calculez la dérivée de y = 2sin(x) – 3cos(x).

Problème 3 : Trouvez la dérivée de y = 2sin(3x).

Problème 4 : Déterminez la dérivée de y = tan(5x).

Problème 5 : Trouvez la dérivée de y = sin(x) cos(x).

Problème 6 : Calculer la dérivée de y = cos²(X).

Problème 7 : Déterminer la dérivée de y = tan²(X).

Problème 8 : Déterminez la dérivée de y = tan(x) sec(x).

FAQ sur la différenciation des fonctions trigonométriques

Qu’est-ce que la différenciation ?

La différenciation est une opération mathématique qui calcule la vitesse à laquelle une fonction change par rapport à sa variable indépendante.

Qu’est-ce que la fonction trigonométrique ?

Les fonctions trigonométriques sont des fonctions mathématiques qui relient les angles d'un triangle rectangle aux rapports de ses côtés.

Que sont les fonctions trigonométriques courantes ?

Les fonctions trigonométriques courantes incluent le sinus (sin), le cosinus (cos), la tangente (tan), la cosécante (cosec), la sécante (sec) et la cotangente (cot).

Définir la différenciation des fonctions trigonométriques.

La méthode de différenciation des fonctions trigonométriques est appelée différenciation des fonctions trigonométriques.

Comment différencier la fonction sinus, c'est-à-dire sin (x) ?

La dérivée de sin (x) est cos (x). En notation mathématique, d/dx(sin(x)) = cos(x).

Qu'obtenons-nous après la différenciation de la fonction cosinus, c'est-à-dire cos (x) ?

La dérivée de cos (x) est -sin (x). En notation mathématique, d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Comment différencier la fonction tangente, c'est-à-dire tan (x) ?

La dérivée de tan(x) est sec²(x), où sec(x) est la fonction sécante. En notation mathématique, d/dx(tan(x)) = sec²(X).

Quelles sont les formules de différenciation des fonctions trigonométriques ?

Les formules de différenciation des fonctions trigonométriques sont :

• (d/dx) péché x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sec²X
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) lit bébé x = -cosec²X

Donnez un exemple de différenciation d’une fonction trigonométrique.

Considérons une fonction f(x) = 2sin(3x).

En utilisant la règle de la chaîne,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Quelles méthodes sont utilisées pour dériver la différenciation des fonctions trigonométriques ?

Les différentes façons dont la formule de différenciation des fonctions trigonométriques peut être dérivée sont :

• En utilisant le premier principe des dérivés
• En utilisant le Règle de quotient
• En utilisant la règle de chaîne

Qu’est-ce que l’anti-différenciation des fonctions trigonométriques ?

L'anti-différenciation des fonctions trigonométriques revient à trouver l'intégration des fonctions trigonométriques.