La règle du quotient est une méthode permettant de trouver la dérivée d'une fonction qui est le quotient de deux autres fonctions. C'est une méthode utilisée pour différencier des problèmes où une fonction est divisée par une autre. On utilise la règle du quotient lorsqu'on doit trouver la dérivée d'une fonction de la forme : f(x)/g(x).

Découvrons la règle du quotient en calcul, sa formule et sa dérivation, à l'aide d'exemples résolus.

Définition de la règle de quotient

La règle du quotient est la règle de différenciation de ces fonctions qui sont données sous la forme de fractions , où les deux numérateur et dénominateur sont des fonctions individuelles. La règle du quotient est une technique fondamentale dans calcul pour trouver la dérivée d'une fonction qui est le quotient (rapport) de deux fonctions différenciables . Il fournit une méthode pour différencier les expressions où une fonction est divisée par une autre.

Supposons qu'on nous donne une fonction f(x) = g(x)/h(x) alors le différenciation de f(x), f'(x) se trouve comme,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Formule de règle de quotient

La formule de la règle du quotient est la formule utilisée pour trouver la différenciation de la fonction qui est exprimée sous forme de fonction quotient. Vous trouverez ci-dessous la formule de la règle du quotient :

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Où,

• u(x) est la première fonction qui est une fonction différentiable,
• tu'(x) est la dérivée de la fonction u(x),
• v(x) est la deuxième fonction qui est une fonction différentiable, et
• v'(x) est la dérivée de la fonction v(x).

Preuve de la règle du quotient

Nous pouvons dériver la règle du quotient en utilisant les méthodes suivantes :

• Utiliser la règle de chaîne
• Utiliser la différenciation implicite
• Utilisation des propriétés de dérivée et de limite

Découvrons-les maintenant en détail.

Dérivation d'une règle de quotient à l'aide d'une règle de chaîne

Prouver: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Donné: H(x) = f(x)/g(x)

Preuve:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

En utilisant la règle du produit,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

En appliquant la règle de puissance,

qu'est-ce qu'un double Java

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (X)

Ainsi, la règle du quotient est prouvée.

En savoir plus:

• Règle de la chaîne

Dérivation d'une règle de quotient à l'aide de la différenciation implicite

Prenons une fonction différentiable f(x), telle que f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

en utilisant la règle du produit,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Maintenant, nous résolvons f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

En remplaçant la valeur de f(x) par, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (X)

Ainsi, la règle du quotient est prouvée.

En savoir plus

• Différenciation implicite

Dérivation d'une règle de quotient à l'aide des propriétés de dérivée et de limite

Prenons une fonction différentiable f(x) telle que f(x) = u(x)/v(x),

Nous savons que,

f'(x) = lim_{h → 0}[f(x+h) – f(x)] / h

Remplacer la valeur de f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_{h → 0}[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lim_{h → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Distribuer la limite,

f'(x) = {lim_{h → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_{h → 0}1/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_{h → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_{h → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_{h → 0}[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/po²(X)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_{h → 0}[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_{h → 0}[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1/po²(X)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (X)

Quelle est la règle du quotient requis.

En savoir plus

• Propriétés des limites
• Règles des produits dérivés

Comment utiliser la règle du quotient dans la différenciation ?

Pour appliquer la règle du quotient, nous suivons les étapes suivantes,

remplacement de la chaîne Java

Étape 1: Écrivez les fonctions individuelles sous la forme u(x) et v(x).

Étape 2: Trouvez la dérivée de la fonction individuelle u(x) et v(x), c'est-à-dire trouvez u'(x) et v'(x). Appliquez maintenant la formule de la règle du quotient,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Étape 3: Simplifiez l'équation ci-dessus et elle donne la différenciation de f(x).

Nous pouvons comprendre ce concept à l'aide d'un exemple.

Exemple : Trouver f'(x) si f(x) = 2x ³ /(x+2)

Donné,

f(x) = 2x³/(x + 2)

En comparant avec f(x) = u(x)/v(x), nous obtenons

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Maintenant, différencier u(x) et v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

En utilisant la règle du quotient,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+12x²​​​​)/(x + 1)²

Règle du produit et du quotient

La règle de différenciation du produit est utilisée pour trouver la différenciation d'une fonction lorsque la fonction est donnée comme produit de deux fonctions.

Règle de différenciation des produits déclare que, si P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Tandis que le règle de différenciation du quotient est utilisé pour différencier une fonction représentée par une division de deux fonctions, c'est-à-dire f(x) = p(x)/q(x).

Ensuite, la dérivation de f(x) en utilisant le règle de quotient est calculé comme,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (X)

Doit lire

• Règle de produit dans le calcul
• Règle de la chaîne
• Formule de différenciation et d'intégration
• Différenciation logarithmique
• Fondamentaux du calcul
• Application de produits dérivés

Exemples de règles de quotient

Résolvons quelques exemples de questions sur la règle du quotient.

Exemple 1 : Différencier old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Solution:

Les fonctions du numérateur et du dénominateur sont différenciables.

Application de la règle du quotient,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Exemple 2 : Différencier, f(x) = tan x.

Solution:

tan x s'écrit sinx/cosx, c'est-à-dire

tan x = (péché x) / (cos x)

Les fonctions du numérateur et du dénominateur sont différenciables.

convertir un entier en chaîne en Java

Application de la règle du quotient,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Exemple 3 : Différencier, f(x)= e ^X /X ²

Solution:

Les fonctions du numérateur et du dénominateur sont différenciables.

Application de la règle du quotient,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Exemple 4 : Différencier, y=frac{cosx}{x^2}

Solution:

Les fonctions du numérateur et du dénominateur sont différenciables.

Application de la règle du quotient,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

qu'est-ce qui rend un PC rapide

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Exemple 5 : Différencier, f(p) = p+5/p+7

Solution:

Les fonctions du numérateur et du dénominateur sont différenciables.

Application de la règle du quotient,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Problèmes de pratique

Voici quelques problèmes pratiques sur la règle du quotient à résoudre.

P1. Trouver la dérivée de f(x) = (x ² + 3)/(sans x)

P2. Trouver la dérivée de f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Trouver la dérivée de f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Trouver la dérivée de f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Règle de quotient de dérivée – FAQ

Qu’est-ce que la règle de différenciation du quotient ?

La règle de différenciation du quotient est la règle utilisée pour trouver la différenciation de la fonction donnée sous la forme du quotient, c'est-à-dire une fonction donnée comme la division de deux fonctions.

Qu'est-ce que la formule de la règle du quotient ?

La formule de la règle du quotient est :

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Cette formule donne la différenciation de la fonction représentée par f(x)/g(x).

Comment dériver la formule de la règle du quotient ?

La règle du quotient peut être dérivée en utilisant trois méthodes,

• Par propriétés dérivées et limites
• Par différenciation implicite
• Par règle de chaîne

Comment utiliser la règle du quotient ?

La règle du quotient est utilisée pour trouver la différenciation de la fonction exprimée comme la division de deux fonctions qui comprend toutes les fonctions de forme f(x) et g(x) telles qu'une différenciation individuelle de f(x) et g(x) existe et g(x) ne peut jamais être nul.

Comment trouver la dérivée d’une fonction de division ?

La dérivée de la fonction de division est facilement trouvée en utilisant la formule de la règle du quotient, c'est-à-dire si nous devons trouver la différenciation de H(x) telle que H(x) soit exprimé par H(x) = f(x)/g(x) alors sa dérivée s'exprime comme suit,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Quelle est la règle de la limite du quotient ?

La règle du quotient pour les limites stipule que la limite d'une fonction quotient est égale au quotient de la limite de chaque fonction.