La dérivée de la fonction trigonométrique inverse fait référence au taux de changement des fonctions trigonométriques inverses. Nous savons que la dérivée d'une fonction est le taux de variation d'une fonction par rapport à la variable indépendante. Avant d'apprendre cela, il faut connaître les formules de différenciation des fonctions trigonométriques. Pour trouver la dérivée de la fonction trigonométrique inverse, nous allons d'abord assimiler la fonction trigonométrique à une autre variable pour trouver son inverse, puis la différencier à l'aide de la formule de différenciation implicite.

Dans cet article, nous apprendrons le D dérivée des fonctions trigonométriques inverses, formules de différenciation des fonctions trigonométriques inverses, et résolvez quelques exemples basés sur cela. Mais avant d’aller plus loin, revenons sur le concept de je Fonctions trigonométriques inverses et différenciation implicite.

• Fonctions trigonométriques inverses
• Qu’est-ce que la différenciation implicite ?
• Qu'est-ce que la dérivée des fonctions trigonométriques inverses ?
• Preuve de dérivée des fonctions trigonométriques inverses
• Formule dérivée de déclenchement inverse
• Exemples de dérivées trigonométriques inverses

Fonctions trigonométriques inverses

Fonctions trigonométriques inverses sont les fonctions inverses des rapports trigonométriques, c'est-à-dire sin, cos, tan, cot, sec et cosec. Ces fonctions sont largement utilisées dans des domaines tels que la physique, les mathématiques, l'ingénierie et d'autres domaines de recherche. Tout comme l’addition et la soustraction sont les inverses l’une de l’autre, il en va de même pour l’inverse des fonctions trigonométriques.

sans θ = x

⇒ je ​= s dans ⁻¹ X ​

Représentation des fonctions trigonométriques inverses

Ils sont représentés en ajoutant arc en préfixe ou en ajoutant -1 à la puissance.

Le sinus inverse peut s’écrire de deux manières :

• sans^-1X
• arcsin x

Il en va de même pour le cos et le bronzage.

Note: Ne confondez pas le péché^-1x avec (péché x)^-1. Ils sont différents. Écrire le péché^-1x est une façon d'écrire le sinus inverse alors que (sin x)^-1signifie 1/péché x.

Domaine des fonctions trigonométriques inverses

Nous savons qu'une fonction n'est différentiable que si elle est continue en ce point et si une fonction est continue en un point donné alors ce point est le domaine de la fonction. Par conséquent, nous devrions apprendre le domaine des fonctions trigonométriques inverses pour celui-ci.

Apprenons maintenant brièvement la technique de différenciation implicite.

Qu’est-ce que la différenciation implicite ?

Différenciation implicite est une méthode qui utilise la règle de chaîne pour différencier les fonctions implicitement définies. Une fonction implicite est la fonction qui contient deux variables plutôt qu'une variable. Dans ce cas, nous pouvons parfois convertir explicitement la fonction en une variable, mais ce n'est pas toujours le cas. Depuis, il n’est généralement pas facile de trouver explicitement la fonction puis de la différencier. Au lieu de cela, nous pouvons différencier totalement f(x, y), c'est-à-dire les deux variables, puis résoudre le reste de l'équation pour trouver la valeur de f'(x).

Lire en détail : Calcul en mathématiques

Qu'est-ce que la dérivée des fonctions trigonométriques inverses ?

Les dérivées trigonométriques inverses sont les dérivées des fonctions trigonométriques inverses. Il y a six fonctions trigonométriques et il existe des inverses pour chacune de ces fonctions trigonométriques. Ce sont des péchés^-1x, parce que^-1x, donc^-1x, cosec^-1x, seconde^-1x, lit bébé^-1X. Nous pouvons trouver la dérivée des fonctions trigonométriques inverses en utilisant la méthode de différenciation implicite. Apprenons d’abord quelles sont les dérivées des fonctions trigonométriques inverses.

• Dérivé du péché^-1x est d(péché^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) pour tout x ϵ (-1, 1)
• Dérivée de cos^-1x est d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) pour tout x ϵ (-1, 1)
• Dérivé du bronzage^-1x est d(bronzage^-1x)/dx = 1/(1 + x²) pour tout x ϵ R
• Dérivé de cosec^-1x est d(cosec^-1x)/dx = -1/ pour tout x ϵ R – [-1, 1]
• Dérivée de sec^-1x est d(sec^-1x)/dx = 1/x pour tout x ϵ R – [-1, 1]
• Dérivé de lit bébé^-1x est d(lit bébé^-1x)/dx = -1/(1 + x²) pour tout x ϵ R

L'image de la dérivée trigonométrique inverse est jointe ci-dessous :

Maintenant que nous avons appris quelles sont les dérivées des six fonctions trigonométriques inverses, nous allons maintenant apprendre comment trouver la dérivée des six fonctions trigonométriques inverses.

Preuve de dérivée des fonctions trigonométriques inverses

Nous pouvons différencier les fonctions trigonométriques inverses en utilisant le premier principe et également en utilisant une formule de différenciation implicite qui implique également l'utilisation d'une règle de chaîne. Trouver la dérivée des fonctions trigonométriques inverses en utilisant le premier principe est un long processus. Dans cet article, nous apprenons à différencier les fonctions trigonométriques inverses en utilisant la différenciation implicite. Nous pouvons trouver la dérivée (dy/dx) des fonctions trigonométriques inverses en utilisant les étapes suivantes

Étape 1 : Supposons les fonctions trigonométriques sous la forme sin y = x

Étape 2 : Trouvez la dérivée de la fonction ci-dessus en utilisant la différenciation implicite

Étape 3 : Calculer dy/dx

Étape 4 : Remplacez la valeur de la fonction trigonométrique présente à l'étape 3 par des identités trigonométriques.

Dérivée du péché inverse x

Supposons sin y = x

Différencier les deux côtés par rapport à x

⇒ cos et. jour/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Puisque nous savons que Sin²et + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – péché²et

comment convertir str en int

⇒ confortable = √(1 – péché²y) = √(1 – x²) puisque nous avons sin y = x

Mettre cette valeur de cos y dans l'équation (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²) où y = péché^-1X

Dérivée du cos inverse X

Supposons que cos y = x

Différencier les deux côtés par rapport à x

⇒ -sans et. jour/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Puisque nous savons que Sin²et + Cos²y = 1

⇒ sans²y = 1 – cos²et

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²) comme on a cos y = x

Mettre cette valeur de sin y dans l'équation (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²) où y = cos^-1X

Dérivée de tan inverse X

Supposons que tan y = x

Différencier les deux côtés par rapport à x

⇒ seconde²y. jour/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec²et →(je)

Puisque nous savons que sec²et ainsi²y = 1

⇒ seconde²y = 1 + bronzage²et

⇒ seconde²y = (1 + bronzage²y) = (1 + x²) comme on a tan y = x

En mettant cette valeur de sec²y dans l'équation (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) où y = bronzage^-1X

Dérivée de cot inverse X

Supposons que cot y = x

Différencier les deux côtés par rapport à x

⇒ -cosec²y. jour/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²et →(je)

Puisque nous savons que csec²et – lit bébé²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + lit bébé²et

⇒ cosec²y = (1 + lit bébé²y) = (1 + x²) puisque nous avons lit bébé y = x

Mettre cette valeur de cosec²y dans l'équation (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) où y = lit bébé^-1X

Dérivée de sec inverse X

Supposons que sec y = x

Différencier les deux côtés par rapport à x

⇒ sec y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec y.tan y →(i)

Puisque nous savons que sec²et ainsi²y = 1

⇒ donc²y = seconde²et 1

⇒ tan y = √(sec²y – 1) = √(x²– 1)comme on a sec y = x

Mettre cette valeur de tan y dans l'équation (i)

dy/dx = 1/x où sec y = x et y = sec^-1X

Dérivée du cosec inverse X

Supposons cosec y = x

Différencier les deux côtés par rapport à x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Puisque nous savons que c'est cosec²et – lit bébé²y = 1

⇒ lit bébé²y = cosec²et 1

⇒ lit bébé y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1)comme on a cosec y = x

Mettre cette valeur de tan y dans l'équation (i)

dy/dx = -1/x où cosec y = x et y = cosec^-1X

Formule dérivée de déclenchement inverse

Nous avons maintenant appris à différencier les fonctions trigonométriques inverses, nous allons donc maintenant examiner les formules de dérivée des fonctions trigonométriques inverses qui peuvent être utilisées directement dans les problèmes. Vous trouverez ci-dessous le tableau des dérivées de la formule de la fonction trigonométrique inverse.

En savoir plus,

• Dérivée sous forme paramétrique
• Formules dérivées
• Application du dérivé
• Dérivée de la fonction exponentielle

Exemples de dérivées trigonométriques inverses

Exemple 1 : Différencier le péché ^-1 (X)?

Solution:

Laisser, et = sans ⁻¹( X )

Prendre le sinus des deux côtés de l'équation donne,

péché y = péché(péché^-1X)

Par la propriété de la trigonométrie inverse nous savons, péché(péché^-1x) = x

péché y = x

Maintenant, en différenciant les deux côtés par rapport à x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Nous pouvons le simplifier davantage en utilisant l'observation ci-dessous :

sans²et + parce que²y = 1

X²+ parce que²y = 1 {Comme péché y = x}

parce que²y = 1-x²

cosy = √(1 – x²)

En substituant la valeur, on obtient

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Exemple 2 : Différencier cos ^-1 (X)?

Solution:

Laisser,

et = parce que⁻¹( X )

Prendre le cosinus des deux côtés de l'équation donne,

cosy = cos(cos^-1X)

Par la propriété de la trigonométrie inverse nous savons, cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Maintenant, en différenciant les deux côtés par rapport à x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

type de date dactylographié

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Nous pouvons le simplifier davantage en utilisant l'observation ci-dessous :

sans²et + parce que²y = 1

sans²y + x²= 1 {Comme cos y = x}

sans²y = 1-x²

péché y = √(1 – x²)

En substituant la valeur, on obtient

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Exemple 3 : Différencier le bronzage ^-1 (X)?

Solution:

Laisser, et = donc⁻¹( X )

Prendre le bronzage des deux côtés de l'équation donne,

bronzage y = bronzage(bronzage^-1X)

Par la propriété de la trigonométrie inverse, nous savons, tan(tan^-1x) = x

bronzage y = x

Maintenant, en différenciant les deux côtés par rapport à x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

seconde²(x).dy/dx= 1

scanner java

dy/dx = 1/s²X

Nous pouvons le simplifier davantage en utilisant l'observation ci-dessous :

seconde²et ainsi²y = 1

seconde²y–x²= 1

seconde²y = 1 + x²

En substituant la valeur, on obtient

dy/dx = 1/s²et

dy/dx = 1/(1 + x²)

Exemple 4 : y = cos ^-1 (-2x ² ). Trouver dy/dx à x = 1/2 ?

Solution:

Méthode 1 (Utilisation de la différenciation implicite)

Donné, et = parce que ⁻¹(−2 X ²)

⇒ parce que et = −2 X ²

Différencier les deux côtés par rapport à x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Simplifier

sans²et + parce que²y = 1

sans²et + (-2x²)²= 1 {Comme cos y = -2x²}

sans²y + 4x⁴= 1

sans²y = 1 – 4x⁴

péché y = √(1 – 4x⁴)

En mettant la valeur obtenue, nous obtenons,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Méthode 2 (Utilisation de la règle de chaîne car nous connaissons la différenciation du cos inverse x)

Donné, et = parce que ⁻¹(−2 X ²)

Différencier les deux côtés par rapport à x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Exemple 5 : Différencier egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Solutions:

Laisser,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Différencier les deux côtés par rapport à x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Questions sur les dérivées trigonométriques inverses

Essayez les questions suivantes sur les questions dérivées trigonométriques inverses

Q1 : Différencier le péché ^-1 (3x – 4x ³ ) pour x ϵ -1/2