Sommet d'une formule de parabole : Le point d’intersection de la parabole et de son axe de symétrie est appelé sommet d’une parabole. Il permet de déterminer les coordonnées du point sur l’axe de symétrie de la parabole où elle la traverse. Pour l'équation standard d'une parabole y = ax²+ bx + c, le point sommet est la coordonnée (h, k). Si le coefficient de x²dans l'équation est positif (a> 0), alors le sommet se trouve en bas, sinon il se trouve en haut.

Dans cet article, nous discuterons le sommet d'une parabole, sa formule, la dérivation de la formule et des exemples résolus à ce sujet.

Table des matières

• Propriétés du sommet d'une parabole
• Sommet d'une formule de parabole
• Dérivation du sommet d'une formule de parabole
• Exemples de problèmes sur le sommet d'une formule de parabole

Sommet d'une parabole

Propriétés du sommet d'une parabole

• Le sommet de chaque parabole est son point tournant.
• La dérivée de la fonction parabole en son sommet est toujours nulle.
• Une parabole ouverte en haut ou en bas a un maximum ou un minimum à son sommet.
• Le sommet d'une parabole ouverte gauche ou droite n'est ni un maxima ni un minima de la parabole.
• Le sommet est le point d'intersection entre la parabole et son axe de symétrie.

Sommet d'une formule de parabole

Pour la forme du sommet de la parabole, y = a(x – h)²+ k, les coordonnées (h, k) du sommet sont,

(h, k) = (-b/2a, -D/4a)

où,

a est le coefficient de x²,

b est le coefficient de x,

ré = b²– 4ac est le discriminant de la forme standard y = ax²+ bx + c.

Dérivation du sommet d'une formule de parabole

Supposons que nous ayons une parabole avec l'équation standard telle que y = ax²+ bx + c.

Cela peut s'écrire ainsi,

y – c = hache²+ boîte

y – c = une (x²+ boîte/a)

Ajouter et soustraire b²/4a²sur le RHS, on obtient

y – c = une (x²+ bx/a + b²/4a²–b²/4a²)

y – c = une ((x + b/2a)²–b²/4a²)

y – c = une (x + b/2a)²–b²/4a

y = une (x + b/2a)²–b²/4a + c

y = une (x + b/2a)²– (b²/4a – c)

y = une (x + b/2a)²– (b²– 4ac)/4a

On sait, D = b²– 4ac, donc l’équation devient,

y = une (x + b/2a)²– J/4a

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En comparant l'équation ci-dessus avec la forme du sommet y = a(x – h)²+ k, on obtient

h = -b/2a et k = -D/4a

Cela dérive la formule des coordonnées du sommet d’une parabole.

Les gens lisent également :

• Graphique, propriétés, exemples et équation de parabole
• Équation standard d'une parabole avec exemples

Exemples de problèmes sur le sommet d'une formule de parabole

Problème 1. Trouver les coordonnées du sommet de la parabole y = 2x ² + 4x – 4.

Solution:

Nous avons l’équation suivante : y = 2x²+ 4x – 4.

Ici, a = 2, b = 4 et c = -4.

Or, on sait que les coordonnées du sommet sont données par, (-b/2a, -D/4a) où D = b²– 4ac.

ré = (4)²– 4 (2) (-4)

= 16 + 32

= 48

Donc, x – coordonnée du sommet = -4/2(2) = -4/4 = -1.

y – coordonnée du sommet = -48/4(2) = -48/8 = -6

Le sommet de la parabole est donc (-1, -6).

Problème 2. Trouver les coordonnées du sommet de la parabole y = 3x ² + 5x – 2.

Solution:

Nous avons l’équation suivante : y = 3x²+ 5x – 2.

Ici, a = 3, b = 5 et c = -2.

Or, on sait que les coordonnées du sommet sont données par, (-b/2a, -D/4a) où D = b²– 4ac.

ré = (5)²– 4 (3) (-2)

= 25 + 24

= 49

Donc, x – coordonnée du sommet = -5/2(3) = -5/6

y – coordonnée du sommet = -49/4(3) = -49/12

Le sommet de la parabole est donc (-5/6, -49/12).

Problème 3. Trouver les coordonnées du sommet de la parabole y = 3x ² – 6x + 1.

Solution:

Nous avons l’équation suivante : y = 3x²– 6x + 1.

Ici, a = 3, b = -6 et c = 1.

Or, on sait que les coordonnées du sommet sont données par, (-b/2a, -D/4a) où D = b²– 4ac.

D = (-6)²– 4 (3) (1)

= 36 – 12

= 24

Donc, x – coordonnée du sommet = 6/2(3) = 6/6 = 1

y – coordonnée du sommet = -24/4(3) = -24/12 = -2

Le sommet de la parabole est donc (1, -2).

Problème 4. Trouver les coordonnées du sommet de la parabole y = 3x ² + 8x – 8.

Solution:

Nous avons l’équation suivante : y = 3x²+ 8x – 8.

Ici, a = 3, b = 8 et c = -8.

Or, on sait que les coordonnées du sommet sont données par, (-b/2a, -D/4a) où D = b²– 4ac.

D = (8)²– 4 (3) (-8)

= 64 + 96

= 160

Donc, x – coordonnée du sommet = -8/2(3) = -8/6 = -4/3

y – coordonnée du sommet = -160/4(3) = -160/12 = -40/3

Le sommet de la parabole est donc (-4/3, -40/3).

Problème 5. Trouver les coordonnées du sommet de la parabole y = 6x ² +12x+4.

Solution:

Nous avons l’équation suivante : y = 6x²+12x+4.

Ici, a = 6, b = 12 et c = 4.

Or, on sait que les coordonnées du sommet sont données par, (-b/2a, -D/4a) où D = b²– 4ac.

D = (12)²– 4 (6) (4)

= 144 – 96

= 48

Donc, x – coordonnée du sommet = -12/2(6) = -12/12 = -1

y – coordonnée du sommet = -48/4(6) = -48/24 = -2

Le sommet de la parabole est donc (-1, -2).

Problème 6. Trouver les coordonnées du sommet de la parabole y = x ² + 7x – 5.

Solution:

Nous avons l’équation suivante : y = x²+ 7x – 5.

Ici, a = 1, b = 7 et c = -5.

Or, on sait que les coordonnées du sommet sont données par, (-b/2a, -D/4a) où D = b²– 4ac.

ré = (7)²– 4 (1) (-5)

= 49 + 20

= 69

Donc, x – coordonnée du sommet = -7/2(1) = -7/2

y – coordonnée du sommet = -69/4(1) = -69/4

Le sommet de la parabole est donc (-7/2, -69/4).

Problème 7. Trouver les coordonnées du sommet de la parabole y = 2x ² + 10x – 3.

Solution:

Nous avons l’équation suivante : y = x2 + 7x – 5.

Ici, a = 1, b = 7 et c = -5.

Or, on sait que les coordonnées du sommet sont données par (-b/2a, -D/4a) où D = b2 – 4ac.

D = (7)2 – 4 (1) (-5)

= 49 + 20

= 69

Donc, x – coordonnée du sommet = -7/2(1) = -7/2

y – coordonnée du sommet = -69/4(1) = -69/4

Le sommet de la parabole est donc (-7/2, -69/4).

FAQ sur le sommet d'une formule de parabole

Qu'entendez-vous par sommet d'une parabole ?

Le point d’intersection de la parabole et de son axe de symétrie est appelé sommet d’une parabole. Il permet de déterminer les coordonnées du point sur l’axe de symétrie de la parabole où elle la traverse.

Comment calcule-t-on le sommet d’une parabole ?

Pour l'équation standard d'une parabole y = ax²+ bx + c, le point sommet est la coordonnée (h, k).

Écrivez les propriétés du sommet d'une parabole.

1. Le sommet de chaque parabole est son point tournant.

2. La dérivée de la fonction parabole en son sommet est toujours nulle.

3. Une parabole ouverte en haut ou en bas a un maximum ou un minimum à son sommet.

4. Le sommet d'une parabole ouverte gauche ou droite n'est ni un maximum ni un minimum de la parabole.

5. Le sommet est le point d'intersection entre la parabole et son axe de symétrie.

La forme du sommet d'une parabole est donnée. Comment trouveriez-vous son sommet ?

Pour l'équation standard d'une parabole y = ax²+ bx + c, le point sommet est la coordonnée (h, k).

Qu'entendez-vous par foyer d'une parabole ?

Une parabole est un ensemble de tous les points d'un plan qui sont à égale distance d'un point donné et d'une ligne donnée. Ce point s’appelle le foyer de la parabole.

Comment représenter graphiquement une parabole avec son sommet ?

1. Trouvez les coordonnées x et y.

2. Écrivez deux nombres plus petits et deux plus grands que le focus et marquez-les comme coordonnées x.

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3. Remplacez x par la valeur de la fonction et trouvez les coordonnées y.

4.Identifiez le foyer et le sommet de la parabole et tracez les coordonnées sur un papier millimétré.