Les formules de trigonométrie sont des équations qui relient les côtés et les angles des triangles. Ils sont essentiels pour résoudre un large éventail de problèmes en mathématiques, en physique, en ingénierie et dans d’autres domaines.

Voici quelques-uns des types de formules trigonométriques les plus courants :

• Définitions basiques: Ces formules définissent les rapports trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, etc.) en fonction des côtés d'un triangle rectangle.
• Théorème de Pythagore: Ce théorème relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.
• Relations d'angle : Ces formules relient les rapports trigonométriques de différents angles, tels que les formules de somme et de différence, les formules à double angle et les formules à demi-angle.
• Identités réciproques : Ces formules expriment un rapport trigonométrique par rapport à un autre, tel que sin(θ) = 1/coc(θ).
• Cercle unité : Le cercle unité est une représentation graphique des rapports trigonométriques et peut être utilisé pour dériver de nombreuses autres formules.
• Loi des sinus et loi des cosinus : Ces lois relient les côtés et les angles de n’importe quel triangle, pas seulement les triangles rectangles.

Poursuivez votre lecture pour en savoir plus sur les différentes formules et identités trigonométriques, les exemples résolus et les problèmes pratiques.

Table des matières

• Qu’est-ce que la trigonométrie ?
• Présentation de la formule de trigonométrie
• Rapports trigonométriques de base
• Identités trigonométriques
• Liste des formules de trigonométrie

Qu’est-ce que la trigonométrie ?

La trigonométrie est définie comme une branche des mathématiques qui se concentre sur l'étude des relations impliquant les longueurs et les angles des triangles. La trigonométrie comprend différents types de problèmes qui peuvent être résolus à l'aide de formules et d'identités trigonométriques.

Fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont des fonctions mathématiques qui relient les angles d'un triangle rectangle à la longueur de ses côtés. Ils ont de nombreuses applications dans divers domaines tels que la physique, l'ingénierie, l'astronomie, etc. Les principales fonctions trigonométriques comprennent le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante.

Présentation de la formule de trigonométrie

Les formules trigonométriques sont des expressions mathématiques qui relient les angles et les côtés d'un Triangle rectangle . Il y a 3 côtés un triangle rectangle est constitué de:

• Hypoténuse : C'est le côté le plus long d'un triangle rectangle.
• Côté perpendiculaire/opposé : C'est le côté qui forme un angle droit par rapport à l'angle donné.
• Base : La base fait référence au côté adjacent où l'hypoténuse et le côté opposé sont connectés.

Rapport trigonométrique

Tous les rapports trigonométriques, identités de produits, formules de demi-angle, formules d'angle double, identités de somme et de différence, identités de cofonction, signe de rapports dans différents quadrants, etc. sont brièvement donnés ici pour les élèves des classes 9, 10, 11, 12. .

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Voici la liste des formules en trigonométrie dont nous allons discuter :

• Formules de rapport trigonométrique de base
• Formules de cercle unitaire
• Identités trigonométriques

Rapports trigonométriques de base

Il existe 6 rapports en trigonométrie. Celles-ci sont appelées fonctions trigonométriques. Ci-dessous la liste des rapports trigonométriques , y compris sinus, cosinus, sécant, cosécant, tangente et cotangente.

Formule de cercle unitaire en trigonométrie

Pour un cercle unité, dont le rayon est égal à 1, je est l'angle. Les valeurs de l'hypoténuse et de la base sont égales au rayon du cercle unité.

Hypoténuse = Côté Adjacent (Base) = 1

Les rapports de trigonométrie sont donnés par :

• péché θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• bronzage θ = y/x
• lit bébé θ = x/y
• sec θ = 1/x
• cosec θ = 1/y

Diagramme des fonctions trigonométriques

Identités trigonométriques

La relation entre les fonctions trigonométriques est exprimée via des identités trigonométriques, parfois appelées identités trigonométriques ou formules trigonométriques. Ils restent vrais pour toutes les valeurs numériques réelles des variables qui leur sont assignées.

• Identités réciproques
• Identités pythagoriciennes
• Identités de périodicité (en radians)
• Formule d'angle pair et impair
• Identités de cofonction (en degrés)
• Identités de somme et de différence
• Identités à double angle
• Formules de trigonométrie inverse
• Identités à triple angle
• Identités demi-angle
• Somme aux identités de produits
• Identités de produits

Discutons de ces identités en détail.

Identités réciproques

Toutes les identités réciproques sont obtenues en utilisant un triangle rectangle comme référence. Les identités réciproques sont les suivantes :

• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• lit bébé θ = 1/tan θ
• péché θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sec θ
• bronzage θ = 1/lit bébé θ

Identités pythagoriciennes

Selon le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, si « c » est l’hypoténuse et « a » et « b » sont les deux branches alors c2 = a2 + b2. Nous pouvons obtenir des identités pythagoriciennes en utilisant ce théorème et des rapports trigonométriques. Nous utilisons ces identités pour convertir un rapport trigonométrique en un autre .

• sans²θ + cos²θ = 1
• 1 + donc²θ = seconde²je
• 1 + lit bébé²θ = cosec²je

Tableau des formules de trigonométrie

Identités de périodicité (en radians)

Ces identités peuvent être utilisées pour décaler les angles de π/2, π, 2π, etc. Elles sont également connues sous le nom d'identités de co-fonction.

Tous identités trigonométriques se répéter après une période donnée. Ils sont donc de nature cyclique. Cette période de répétition des valeurs est différente pour différentes identités trigonométriques.

• péché (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = péché A
• péché (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – péché A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• péché (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = péché A
• péché (π – A) = péché A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• péché (2π + A) = péché A & cos (2π + A) = cos A

Voici un tableau qui compare les propriétés trigonométriques dans différents quadrants :

Formule d'angle pair et impair

Les formules d'angle pair et impair, également connues sous le nom d'identités paires-impaires, sont utilisées pour exprimer les fonctions trigonométriques des angles négatifs en termes d'angles positifs. Ces formules trigonométriques sont basées sur les propriétés des fonctions paires et impaires.

• péché(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• bronzage(-θ) = -tanθ
• lit bébé(-θ) = -cotθ
• sec(-θ) = secθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Identités de cofonction (en degrés)

Les identités de cofonction nous donnent l'interrelation entre diverses fonctions trigonométriques. Les cofonctions sont répertoriées ici en degrés :

• sin(90°−x) = cosx
• cos(90°−x) = péché x
• tan(90°−x) = lit bébé x
• lit bébé(90°−x) = bronzage x
• sec(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sec x

Identités de somme et de différence

Les identités somme et différence sont les formules qui relient le sinus, le cosinus et la tangente de la somme ou la différence de deux angles aux sinus, cosinus et tangentes des angles individuels.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Identités à double angle

Les identités à double angle sont les formules qui expriment des fonctions trigonométriques d'angles qui sont le double de la mesure d'un angle donné en termes de fonctions trigonométriques de l'angle d'origine.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²X)]
• cos(2x) = cos²(x) – sans²(x) = [(1 – bronzage²x)/(1 + bronzage²x)] = 2 cos²(x) – 1 = 1 – 2péché²(X)
• bronzage (2x) = [2tan(x)]/ [1 – bronzage²(X)]
• seconde (2x) = seconde²x/(2 – s²X)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Formules de trigonométrie inverse

Les formules de trigonométrie inverse concernent les fonctions trigonométriques inverses, qui sont les inverses des fonctions trigonométriques de base. Ces formules permettent de trouver l'angle qui correspond à un rapport trigonométrique donné.

• sans ^-1 (–x) = – péché ^-1 X
• parce que ^-1 (–x) = π – cos ^-1 X
• donc ^-1 (–x) = – bronzage ^-1 X
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 X
• seconde ^-1 (–x) = π – seconde ^-1 X
• lit bébé ^-1 (–x) = π – lit bébé ^-1 X

Identités à triple angle

Les identités à triple angle sont des formules utilisées pour exprimer les fonctions trigonométriques des angles triples (3θ) en termes de fonctions d'angles simples (θ). Ces formules trigonométriques sont utiles pour simplifier et résoudre des équations trigonométriques impliquant des angles triples.

péché 3x=3 péché x – 4 péché ³ X

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car 3x=4cos ³ x – 3 cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Identités demi-angle

Les identités de demi-angle sont ces formules trigonométriques utilisées pour trouver le sinus, le cosinus ou la tangente de la moitié d'un angle donné. Ces formules sont utilisées pour exprimer les fonctions trigonométriques des demi-angles en fonction de l'angle d'origine.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Aussi,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Somme aux identités de produits

Les identités Somme-Produit sont les formules trigonométriques qui nous aident à exprimer les sommes ou les différences de fonctions trigonométriques en tant que produits de fonctions trigonométriques.

convertir un tableau d'octets en chaîne

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + confortable = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − confortable = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Identités de produits

Les identités de produit, également connues sous le nom d'identités produit-somme, sont les formules qui permettent d'exprimer des produits de fonctions trigonométriques sous forme de sommes ou de différences de fonctions trigonométriques.

Ces formules trigonométriques sont dérivées des formules de somme et de différence pour le sinus et le cosinus.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Liste des formules de trigonométrie

Le tableau ci-dessous comprend les rapports trigonométriques de base pour des angles tels que 0°, 30°, 45°, 60° et 90° qui sont couramment utilisés pour résoudre des problèmes.

Questions résolues sur la formule de trigonométrie

Voici quelques exemples résolus de formules trigonométriques pour vous aider à mieux comprendre les concepts.

Question 1 : Si cosec θ + cot θ = x, trouvez la valeur de cosec θ – cot θ, en utilisant la formule trigonométrique.

Solution:

cosec θ + lit bébé θ = x

Nous savons que c'est parce que²θ+ lit bébé²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Question 2 : À l'aide de formules trigonométriques, montrez que tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Solution:

Nous avons,

L.H.S= beige 10 ° donc 15 ° donc 75 ° donc 80 °

= bronzage (90-80) ° donc 15 ° bronzage (90-15) ° donc 80 °

= lit bébé 80 ° donc 15 ° lit bébé 15 ° donc 80 °

=(lit bébé 80 ° *donc 80 ° )( lit bébé 15 ° *donc 15 ° )

= 1 = R.H.S.

Question 3 : Si sin θ cos θ = 8, trouvez la valeur de (sin θ + cos θ) ² en utilisant les formules de trigonométrie.

Solution:

(sin θ + cos θ)²

jvm

= sans²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Question 4 : À l’aide de formules trigonométriques, prouver que (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Solution:

L.H.S = (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1)

= [(tan θ + sec θ) – (sec²θ – donc²θ)]/(tan θ – sec θ + 1), [Depuis, sec²θ – donc²θ = 1]

fonction anonyme Java

= {(tan θ + sec θ) – (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (1 – sec θ + tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (tan θ – sec θ + 1)}/(tan θ – sec θ + 1)

= bronzage θ + sec θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Prouvé.

FAQ sur les formules et identités trigonométriques

Qu’est-ce que la trigonométrie ?

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui se concentre sur les relations entre les angles et les côtés des triangles, en particulier des triangles rectangles.

Quels sont les trois rapports trigonométriques de base ?

• Sin A = Perpendiculaire/Hypoténuse
• Cos A= Base/Hypoténuse
• Tan A = perpendiculaire/base

À quel triangle les formules trigonométriques sont-elles applicables ?

Les formules trigonométriques sont applicables aux triangles rectangles.

Quels sont les principaux rapports trigonométriques ?

Sinus, Cosinus, Tangente, Cotangente, Sécante et Cosécante.

Pour quel angle la valeur du rapport de bronzage est-elle égale au rapport de cot ?

Pour la valeur de 45°, tan 45°= cot 45° = 1.

Quelle est la formule de sin3x ?

La formule pour sin3x est 3sin x – 4 sin³X.