Identités trigonométriques sont diverses identités utilisées pour simplifier diverses équations complexes impliquant des fonctions trigonométriques. La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite de la relation entre les côtés et les angles d'un triangle. Ces relations sont définies sous la forme de six rapports appelés rapports trigonométriques – sin, cos, tan, cot, sec et cosec.

De manière étendue, l'étude porte également sur les angles formant les éléments d'un triangle. Logiquement, une discussion sur les propriétés d'un triangle ; la résolution d'un triangle et les problèmes physiques dans le domaine des hauteurs et des distances en utilisant les propriétés d'un triangle constituent tous une partie de l'étude. Il fournit également une méthode de résolution des équations trigonométriques.

Table des matières

• Que sont les identités trigonométriques ?
• Liste des identités trigonométriques
• Identités trigonométriques réciproques
• Identités trigonométriques pythagoriciennes
• Identités de rapport trigonométrique
• Identités trigonométriques des angles opposés
• Identités d'angles complémentaires
• Identités d'angles supplémentaires
• Périodicité de la fonction trigonométrique
• Identités de somme et de différence
• Identités à double angle
• Formules demi-angle
• Quelques identités supplémentaires en demi-angle
• Identités produit-somme
• Identités des produits
• Formules triple angle
• Preuve des identités trigonométriques
• Relation entre les angles et les côtés du triangle
• FAQ sur les identités trigonométriques

Que sont les identités trigonométriques ?

Une équation impliquant des rapports trigonométriques d'un angle est appelée identité trigonométrique si elle est vraie pour toutes les valeurs de l'angle. Celles-ci sont utiles chaque fois que des fonctions trigonométriques sont impliquées dans une expression ou une équation. Les six rapports trigonométriques de base sont sinus, cosinus, tangente, cosécante, sécante et cotangente . Tous ces rapports trigonométriques sont définis en utilisant les côtés du triangle rectangle, comme le côté adjacent, le côté opposé et le côté hypoténuse.

Identités trigonométriques

Liste des identités trigonométriques

Il existe de nombreuses identités dans l’étude de la trigonométrie, qui implique tous les rapports trigonométriques. Ces identités sont utilisées pour résoudre divers problèmes dans le paysage académique ainsi que dans la vie réelle. Apprenons toutes les identités trigonométriques fondamentales et avancées.

Identités trigonométriques réciproques

Dans tous les rapports trigonométriques, il existe une relation réciproque entre une paire de rapports, qui est donnée comme suit :

• péché θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/sec θ
• sec θ = 1/cos θ
  
• bronzage θ = 1/lit bébé θ
• lit bébé θ = 1/tan θ

Identités trigonométriques pythagoriciennes

Les identités trigonométriques pythagoriciennes sont basées sur le théorème du triangle rectangle ou Théorème de Pythagore , et sont les suivants :

• sans²θ + cos²θ = 1
• 1 + donc²θ = seconde²je
• cosec²θ = 1 + lit bébé²je

En savoir plus sur Identités trigonométriques pythagoriciennes .

Identités de rapport trigonométrique

As tan et cot sont définis comme le rapport sin et cos, qui est donné par les identités suivantes :

• tan θ = péché θ/cos θ
• lit bébé θ = cos θ/sin θ

Identités trigonométriques des angles opposés

En trigonométrie, l'angle mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre est mesuré en parité négative et tous les rapports trigonométriques définis pour une parité d'angle négative sont définis comme suit :

• péché (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• bronzage (-θ) = -tan θ
• lit bébé (-θ) = -lit bébé θ
• sec (-θ) = sec θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Identités d'angles complémentaires

Angles complémentaires sont la paire d’angles dont la mesure totalise 90°. Or, les identités trigonométriques des angles complémentaires sont les suivantes :

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = péché θ
• bronzage (90° – θ) = lit bébé θ
• lit bébé (90° – θ) = bronzage θ
• sec (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sec θ

Identités d'angles supplémentaires

Les angles supplémentaires sont la paire d'angles dont la mesure totalise 180°. Or, les identités trigonométriques des angles supplémentaires sont :

• péché (180°- θ) = péchéθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• sec (180°- θ)= -sec θ
• tan (180°- θ) = -tan θ
• lit bébé (180°- θ) = -lit bébé θ

Périodicité de la fonction trigonométrique

Fonctions trigonométriques tels que sin, cos, tan, cot, sec et cosec sont tous périodiques par nature et ont une périodicité différente. Les identités suivantes pour le rapport trigonométrique expliquent leur périodicité.

• péché (n × 360° + θ) = péché θ
• péché (2nπ + θ) = péché θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• bronzage (n × 180° + θ) = bronzage θ
• bronzage (nπ + θ) = bronzage θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• sec (n × 360° + θ) = sec θ
• sec (2nπ + θ) = sec θ
  
• lit bébé (n × 180° + θ) = lit bébé θ
• lit bébé (nπ + θ) = lit bébé θ

Où, n ∈ AVEC, (Z = ensemble de tous les entiers)

Note: sin, cos, cosec et sec ont une période de 360° ou 2π radians, et pour tan et cot la période est de 180° ou π radians.

Identités de somme et de différence

Identités trigonométriques pour la somme et la différence d'angle incluent les formules telles que sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B), etc.

• péché (A+B) = péché A cos B + cos A péché B
• péché (A-B) = péché A cos B – cos A péché B
• cos (A+B) = cos A cos B – péché A péché B
• cos (A-B) = cos A cos B + péché A péché B
• bronzage (A+B) = (bronzage A + bronzage B)/(1 – bronzage A bronzage B)
• bronzage (A-B) = (bronzage A – bronzage B)/(1 + bronzage A bronzage B)

Note: Les identités pour sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) et cos (A-B) sont appelées Les identités de Ptolémée .

Identités à double angle

En utilisant les identités trigonométriques de la somme des angles, nous pouvons trouver une nouvelle identité appelée identité à double angle. Pour trouver ces identités, nous pouvons mettre A = B dans la somme des identités d’angle. Par exemple,

a nous savons, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Remplacez ici A = B = θ des deux côtés, et nous obtenons :

péché (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• péché 2θ = 2 sinθ cosθ

De la même manière,

• cos 2θ = cos ² θ – péché ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – péché ² je
• bronzage 2θ = (2tanθ)/(1 – bronzage ² je)

En savoir plus sur Identités à double angle .

Formules demi-angle

À l’aide de formules à double angle, des formules à demi-angle peuvent être calculées. Pour calculer les formules de demi-angle, remplacez θ par θ/2 puis,

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

En savoir plus sur Identités demi-angle .

Quelques identités supplémentaires en demi-angle

Outre les identités mentionnées ci-dessus, il existe d'autres identités demi-angle qui sont les suivantes :

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Identités produit-somme

Les identités suivantes indiquent la relation entre la somme de deux rapports trigonométriques et le produit de deux rapports trigonométriques.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Identités des produits

Les identités de produit sont formées lorsque nous additionnons deux de la somme et de la différence des identités d'angle et sont les suivantes :

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Formules triple angle

Outre les formules de double et demi-angle, il existe des identités pour les rapports trigonométriques qui sont définies pour le triple angle. Ces identités sont les suivantes :

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

En savoir plus sur Identités à triple angle .

Preuve des identités trigonométriques

Pour tout angle aigu θ, prouver que

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ . lit bébéθ = 1
4. sans ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + donc ² θ = seconde ² je
6. 1 + lit bébé ² θ = cosec ² je

Preuve:

Considérons un △ABC rectangle dans lequel ∠B = 90°

Soit AB = x unités, BC = y unités et AC = r unités.

Alors,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) lit bébéθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . lit bébéθ = 1

Alors, d’après le théorème de Pythagore, on a

X²+ et²=r².

Maintenant,

(4) sans²θ + cos²θ = (o/r)²+ (x/r)²= ( et²/r²+x²/r²)

= (x²+ et²)/r²=r²/r²= 1 [x²+ et²=r²]

sans ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + donc²θ = 1 + (y/x)²= 1 + oui²/X²= (et²+x²)/X²=r²/X²[X²+ et²=r²]

(r/x)²= seconde²je

∴ 1 + bronzage ² θ = seconde ² je.

(6) 1 + lit bébé²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/et²= (x²+ et²)/et²=r²/et²[X²+ et²=r²]

(r²/et²) = cosec²je

∴ 1 + lit bébé ² θ = cosec ² je

Relation entre les angles et les côtés du triangle

Trois règles qui relient les côtés des triangles aux angles intérieurs des triangles sont :

• Sa règle
• Règle du cosinus
• Règle de tangente

Si un triangle ABC a des côtés a, b et c qui sont des côtés opposés aux ∠A, ∠B et ∠C respectivement, alors

Sa règle

Ses règles indique la relation entre les côtés et les angles du triangle, qui est le rapport du côté et du sinus de l'angle opposé au côté, qui reste toujours le même pour tous les angles et côtés du triangle et est donnée comme suit :

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Règle du cosinus

Règle du cosinus implique tous les côtés, et un angle intérieur du triangle est donné comme suit :

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

OU

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

OU

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Règle de tangente

• La règle de la tangente indique également la relation entre les côtés et l'angle intérieur d'un triangle, en utilisant le rapport trigonométrique tan, qui est le suivant :

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Lisez également

• Trigonométrie Hauteur et Distance
• Tableau trigonométrique

Exemple résolu sur les identités trigonométriques

Exemple 1 : Prouver que (1 – péché ² θ) seconde ² θ = 1

Solution:

Nous avons:

LHS = (1 – péché²θ) seconde²je

= parce que²θ. seconde²je

= parce que²θ. (1/cos²je)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Donc prouvé]

Exemple 2 : Prouver que (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

Solution:

Nous avons:

LHS = (1 + bronzage²θ)cos²je

⇒ LHS = seconde²θ. parce que²je

⇒ LHS = (1/cos²θ) . parce que²je

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Donc prouvé]

Exemple 3 : Prouver que (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Solution:

Nous avons:

LHS = (cosec²θ – 1) bronzage²je

⇒ LHS = (1 + lit bébé²θ – 1) donc²je

⇒ LHS = lit bébé²θ. donc²je

⇒ LHS = (1/bronzage²θ). donc²je

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⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Donc prouvé]

Exemple 4 : Prouver que (sec ⁴ θ – seconde ² θ) = (bronze ² θ + bronzage ⁴ je)

Solution:

Nous avons:

LHS = (sec⁴θ – seconde²je)

⇒ LHS = seconde²θ(sec²je – 1)

⇒ LHS = (1 + bronzage²θ) (1 + bronzage²je – 1)

⇒ LHS = (1 + bronzage²θ) donc²je

⇒ LHS = (bronze²θ + bronzage⁴θ) = droite

∴ LHS = RHS. [Donc prouvé]

Exemple 5 : Montrer que √(sec ² θ + cosec ² θ) = (tanθ + cotθ)

Solution:

Nous avons:

LHS = √(sec²θ + cosec²θ ) = √((1 + bronzage²i) + (1 + lit bébé²je))

⇒ LHS = √(bronzage²θ + lit bébé²je + 2)

⇒ LHS = √(bronzage²θ + lit bébé²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [Donc prouvé]

Questions pratiques sur les identités trigonométriques

T1 : Simplifier l'expressionfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

T2 : Prouver l'identité tan (x) . lit bébé(x) = 1.

T3 : Montre CAfrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

T4 : Simplifiersin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Q5 : Prouver l'identitécos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Q6 : Simplifierfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Q7 : Prouver l'identitésec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

FAQ sur les identités trigonométriques

Qu’est-ce que l’identité trigonométrique ?

L'identité trigonométrique est une équation qui relie différentes fonctions trigonométriques telles que sin, cos, tan, cot, sec et cosec.

Comment prouver les identités trigonométriques ?

Il existe différentes méthodes pour prouver les identités trigonométriques, l'une de ces méthodes consiste à utiliser les 6 principales identités trigonométriques connues pour réécrire une expression sous une forme différente. Comme toute autre preuve, nous travaillons avec un côté pour arriver à une expression identique à l’autre côté de l’équation.

Combien y a-t-il d’identités trigonométriques ?

Il existe de nombreuses identités trigonométriques, car toute identité peut être avec quelques variations et reste également une identité. Nous ne pouvons donc pas dire exactement combien d’identités il y a.

Comment mémoriser toutes les identités trigonométriques ?

La méthode la plus simple pour mémoriser toutes les identités est de pratiquer des problèmes liés à l’identité. Chaque fois que vous résolvez un problème en utilisant une certaine identité, vous révisez cette identité et cela finira par devenir une seconde nature pour vous.

Écrivez les trois fonctions trigonométriques principales.

Les trois fonctions principales utilisées en trigonométrie sont le sinus, le cosinus et la tangente.
sin θ = Perpendiculaire/ Hypoténuse
cos θ = Base/Hypotenuse
tan θ = Perpendiculaire/Base

Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore indique que dans un triangle rectangle dont les côtés sont l'hypoténuse (H), la perpendiculaire (P) et la base (B), la relation entre eux est donnée par :

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Écrivez les utilisations des identités trigonométriques.

Les identités trigonométriques sont utilisées pour résoudre divers problèmes impliquant des fonctions trigonométriques complexes. Ils sont utilisés pour calculer les équations d'onde, l'équation de l'oscillateur harmonique, résoudre des questions géométriques et d'autres problèmes.

Écrivez huit identités trigonométriques fondamentales.

Huit identités fondamentales en trigonométrie sont :

• péché θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sec θ
• bronzage θ = 1/lit bébé θ
• sans²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ donc²θ = seconde²je
• lit bébé θ = cosθ/sinθ
• 1+ lit bébé²θ = cosec²je