Transposition d'une matrice est une méthode très courante utilisée pour la transformation matricielle en algèbre linéaire. La transposition d'une matrice est obtenue en interchangeant les lignes et les colonnes de la matrice donnée ou vice versa. La transposition d'une matrice peut être utilisée pour obtenir l'adjoint et l'inverse des matrices.

Avant d'en apprendre davantage sur les détails de la transposition d'une matrice, apprenons d'abord Qu'est-ce qu'une matrice ?. Une matrice n’est rien d’autre que la représentation de l’ensemble de données sous forme de tableau rectangulaire. Dans une matrice, les données sont organisées en lignes et colonnes spécifiques. Différents types de matrices existent en mathématiques et sont présentés dans l’ordre lignes × colonnes. Prenons un exemple de la matrice d'ordre 3 × 2 (disons A).

UNE =egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}

Dans cet article, nous découvrirons la transposition d'une matrice, ses types, propriétés, symboles et ordre, comment trouver la transposition d'une matrice et des exemples de celle-ci.

Table des matières

• Qu'est-ce qu'une matrice ?
• Types de matrices
• Qu’est-ce que la transposition d’une matrice ?
• Symbole de la matrice de transposition | Transposer la notation
• Ordre de transposition de la matrice
• Comment trouver la transposée d’une matrice ?
• Transposition de la matrice de lignes et de colonnes
• Transposition de matrices horizontales et verticales
• Transposition d'une matrice symétrique
• Transposition d'une matrice diagonale
• Transposition d'une matrice transposée
• Transposition d'une matrice carrée
• Transposition d'une matrice 3 × 3
• Déterminant de transposition d'une matrice
• Transposition d'une propriété matricielle

Qu'est-ce qu'une matrice ?

Un tableau rectangulaire de nombres, de symboles ou de caractères attribués à une ligne et une colonne particulières est appelé une matrice. Les nombres, symboles ou caractères présents dans la matrice sont appelés éléments de la matrice. Le nombre de lignes et de colonnes présentes dans une matrice détermine l'ordre de la matrice. Par exemple, si une matrice « A » contient des lignes « i » et des colonnes « j », alors la matrice est représentée par [A]i⨯j. Ici, i⨯j détermine l’ordre de la matrice. Voyons un exemple de matrice.

egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}_{3 imes2}

Dans l’exemple ci-dessus, il y a trois lignes et deux colonnes, l’ordre de la matrice est donc 3⨯2.

Types de matrices

Il existe différents types de matrices en fonction du nombre de lignes et de colonnes dont elles disposent et également en raison de leurs caractéristiques spécifiques. Voyons quelques-uns d'entre eux

• Matrice de lignes : Une matrice dans laquelle il n’y a qu’une seule ligne et aucune colonne est appelée une matrice de lignes.
• Matrice de colonnes : Une matrice dans laquelle il n’y a qu’une seule colonne et maintenant une ligne est appelée une matrice de colonnes.
• Matrice horizontale : Une matrice dans laquelle le nombre de lignes est inférieur au nombre de colonnes est appelée une matrice horizontale.
• Matrice verticale : Une matrice dans laquelle le nombre de colonnes est inférieur au nombre de lignes est appelée matrice verticale.
• Matrice rectangulaire : Une matrice dans laquelle le nombre de lignes et de colonnes est inégal est appelée une matrice rectangulaire.
• Matrice Carrée: Une matrice dans laquelle le nombre de lignes et de colonnes est le même est appelée matrice carrée.
• Matrice diagonale: Une matrice carrée dans laquelle les éléments non diagonaux sont nuls est appelée matrice diagonale.
• Matrice zéro : Une matrice dont tous les éléments sont nuls est appelée matrice zéro.
• Matrice d'unité : Une matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont 1 est appelée matrice unitaire.
• Matrice symétrique : Une matrice carrée est dite symétrique si la transposée de la matrice d’origine est égale à sa matrice d’origine. c'est-à-dire (Un^T) = A.
• Symétrique : Une matrice asymétrique (ou antisymétrique ou antimétrique [1]) est une matrice carrée dont la transposée est égale à sa valeur négative, c'est-à-dire (UN^T) = -UNE.

Lire aussi , Types de matrices

Qu’est-ce que la transposition d’une matrice ?

La transposition d'une matrice est une matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice donnée ou vice versa, c'est-à-dire que pour la matrice donnée, les éléments des lignes sont interchangés avec les éléments des colonnes. Pour toute matrice A donnée, sa transposée est notée A^t, ou A^T.

Transposition d'une définition matricielle

La transposition d'une matrice est une opération mathématique qui consiste à inverser les lignes et les colonnes de la matrice d'origine.

Représentation de la transposition de la matrice

UNE = [une _(ij) ] _{m × n}
UN ^t = [un _(du) ] _{n × m}

ici, i, j présentent la position d'un élément de la matrice, respectivement en ligne et en colonne, tel que 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n.

Exemple : Pour toute matrice A donnée de commande 2 × 3, sa transposition est-elle ?

A = egin{bmatrix} 2 & 5 & 3 4 & 7 & 0 end{bmatrix}

Solution:

Transposition de A

UN^t=egin{bmatrix} 2 & 4 5 & 7 3 & 0 end{bmatrix}

Ordre de A^test 3×2

Symbole de la matrice de transposition | Transposer la notation

La transposition d'une matrice est l'opération qui retourne la matrice sur sa diagonale principale et échange ses lignes avec des colonnes. La transposée d'une matrice A est notée A' ou A^Tou un^t.

Ordre de transposition de la matrice

L'ordre d'une matrice indique le nombre total d'éléments qu'une matrice contient. Il représente également le nombre de lignes et de colonnes dans une matrice. Les valeurs horizontales représentent les lignes de la matrice et les valeurs verticales représentent les colonnes de la matrice. Pour toute matrice A_m×n, l'ordre est m × n, c'est-à-dire qu'il comporte m lignes et n colonnes. Par conséquent, la transposée de la matrice A est A^tet son ordre est n×m, c’est-à-dire qu’il a n lignes et m colonnes.

Comment trouver la transposée d’une matrice ?

La transposition de n'importe quelle matrice peut facilement être trouvée en modifiant les valeurs des lignes avec les valeurs des colonnes. Prenons un exemple pour comprendre cela en détail.

Pour toute matrice A₂₃, l'ordre est 2×3, ce qui signifie qu'il comporte 2 lignes et 3 colonnes.

UNE = egin{bmatrix} a & b & c x & y & z end{bmatrix}

La transposée de la matrice A est A^tde l'ordre 3×2 ayant 3 lignes et 2 colonnes. Dans la matrice de transposition, les éléments de la première ligne de la matrice donnée sont modifiés avec la première colonne de la matrice de transposition. De même, les éléments de la deuxième ligne de la matrice A donnée sont permutés avec la deuxième colonne de la nouvelle matrice A.^tet ainsi de suite jusqu'à ce que toute la matrice soit échangée.

applications cachées

UN^t=egin{bmatrix} a & x b & y c & z end{bmatrix}

Transposition de la matrice de lignes et de colonnes

Une matrice comportant une seule ligne est appelée matrice de lignes, tandis qu'une matrice comportant une seule colonne est appelée matrice de colonnes. La transposition d'une matrice ligne est une matrice colonne et vice versa. Par exemple, si P est une matrice de colonnes d’ordre 4 × 1, alors sa transposée est une matrice de lignes d’ordre 1 × 4. Si Q est une matrice de lignes d’ordre 1 × 3, alors sa transposée est une matrice de colonnes d’ordre 3. ×1.

P = left[egin{array}{cccc} a & b & c & dend{array} ight]⇒ P^{t} = left[egin{array}{c} a b c d end{array} ight]

Q = left[egin{array}{c} p q r end{array} ight]⇒ Q^{t} = left[egin{array}{ccc} p & q & rend{array} ight]

Transposition de matrices horizontales et verticales

Si le nombre de lignes dans une matrice est inférieur au nombre de colonnes, alors la matrice est appelée matrice horizontale, et si le nombre de colonnes dans une matrice est inférieur au nombre de lignes, alors la matrice est appelée matrice horizontale. matrice verticale. La transposée d'une matrice horizontale est une matrice verticale et vice versa. Par exemple, si M est une matrice horizontale d’ordre 2 × 3, alors sa transposée est une matrice verticale d’ordre 3 × 2.

M = left[egin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 0 & 3 & 4 end{array} ight]_{2 imes3}⇒ M^{t} = left[egin{array}{cc} 2 & 0 0 & 3 -1 & 4 end{array} ight]_{3 imes2}

N = left[egin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 4 & 6 & 8 6 & 9 & 12 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{4 imes3}⇒ N^{t} = left[egin{array}{cccc} 2 & 4 & 6 & 8 3 & 6 & 9 & 12 4 & 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{3 imes4}

Transposition d'une matrice symétrique

Une matrice symétrique est comme un type particulier de motif dans lequel les nombres sont disposés de manière à se refléter sur la ligne diagonale allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit. La transposition d'une matrice signifie retourner la matrice sur cette ligne diagonale.

Par exemple,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Les nombres de chaque côté de la diagonale sont les mêmes : 2 est en face de 2, 3 est en face de 3, et ainsi de suite. Maintenant, si nous prenons la transposée de cette matrice, nous la retournons simplement sur la diagonale. Ainsi, les nombres qui étaient initialement en lignes deviennent des colonnes et vice versa.

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Ici, la matrice originale et sa transposition sont exactement les mêmes. En effet, lorsque vous transposez une matrice symétrique, vous récupérez la même matrice ! C'est une propriété particulière des matrices symétriques.

Transposition d'une matrice diagonale

Une matrice diagonale est comme un motif dans lequel les nombres n'apparaissent que le long de la ligne diagonale allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit, tandis que toutes les autres entrées sont des zéros. La transposition d'une matrice signifie retourner la matrice sur cette ligne diagonale.

Par exemple,

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Ici, les chiffres 2, 3 et 5 apparaissent le long de la diagonale, tandis que toutes les autres entrées sont des zéros. Puisqu’une matrice diagonale est déjà symétrique sur sa diagonale, la transposée d’une matrice diagonale est simplement elle-même :

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Transposition d'une matrice transposée

Lorsque vous transposez une matrice, vous la retournez essentiellement sur sa ligne diagonale. Ainsi, transposer une matrice qui a déjà été transposée signifie la retourner dans son orientation d’origine.

Par exemple,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix}

Maintenant, si l'on prend la transposée de cette matrice transposée :

left( egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix} ight)^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix}

Transposition d'une matrice carrée

Les matrices carrées sont des matrices comportant un nombre égal de lignes et de colonnes. pour toute matrice carrée A_n×n, sa transposition a le même ordre, c'est-à-dire la transposition de A, A^ta l'ordre n × n. Les lignes et les colonnes sont interchangées dans la transposition d'une matrice carrée.

Transposition d'une matrice 2 × 2

Pour toute matrice 2 × 2 A,

UNE =egin{bmatrix} a & x b & y end{bmatrix}

sa transposée est A^t,

UN^t= egin{bmatrix} a & b x & y end{bmatrix}

Exemple : Trouver la transposée de la matrice A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}

Solution:

Transposée de la matrice A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix} est

UN^t=egin{bmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{bmatrix}

Transposition d'une matrice 3 × 3

Pour toute matrice 3 × 3 A,

UNE =egin{bmatrix} a & x & p b & y & q c & z & r end{bmatrix}

sa transposée est A^t,

UN^t= egin{bmatrix} a & b & c x & y & z p & q & r end{bmatrix}

Exemple : Trouver la transposée de la matrice A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Solution:

Transposée de la matrice A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} est

UN^t=egin{bmatrix} 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end{bmatrix}

liste des états

Déterminant de transposition d'une matrice

Le déterminant de la transposée d'une matrice A est égal au déterminant de A lui-même, c'est-à-dire pour toute matrice carrée A

|UNE| = |UNE ^T |

Transposition d'une propriété matricielle

Découvrons les propriétés importantes de la transposée d'une matrice :

• Une matrice carrée A d’ordre n × n est dite orthogonale, si AA^T= Un^TA = I, où I est une matrice identité d'ordre n × n.
• Une matrice carrée A d'ordre n × n est dite une matrice symétrique si sa transposée est la même que la matrice d'origine, c'est-à-dire A^T= A.
• Une matrice carrée A d'ordre n × n est dite antisymétrique si sa transposée est égale au négatif de la matrice d'origine, c'est-à-dire A^T= –A.
• Double transposition d'une matrice : La transposition de la matrice de transposition est la matrice d'origine elle-même.

(UN ^t ) ^t = Un

• Transposition du produit des matrices : Cette propriété dit que

(UN B) ^t =B ^t UN ^t

Preuve:

Si les matrices A et B sont d'ordres m × n et n × p, respectivement.

et

UN^tet B^tsont la transposée des matrices A et B d'ordres n × m et p × n respectivement (à partir de la règle du produit des matrices).

Cela implique, si A = [a(ij)], et A^t= [c(de)]

Alors, [c(ji)] = [a(ij)]

et,

Si B = [b(jk)], et B^t= [d(kj)]

Alors, [d(kj)] = [b(jk)]

Maintenant, à partir de la règle du produit des matrices, nous pouvons écrire :

AB est une matrice m × p et (AB)^test une matrice p × m.

Aussi, B^test une matrice p × n, et A^test une matrice n × m.

Ceci implique que,

(B.^t)(UN^t) est une matrice p × m.

Donc,

(UN B)^tet B^t)(UN^t) sont tous deux des matrices p × m.

Maintenant nous pouvons écrire,

(k, je)^èmeélément de (AB)^t= (je,k)^èmeélément de AB

sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} sum_{j=1}^{n} c_{ji} d_{kj}

sum_{j=1}^{n} d_{kj} c_{ji}

(k, i)ème élément de (B. ^t )(UN ^t )

Donc,

les éléments de (UN B) ^t et (B. ^t )(UN ^t ) sont égaux.

Donc,

(UN B) ^t = (B. ^t )(UN ^t )

• Multiplication par constante : Si une matrice est multipliée par une valeur scalaire et que sa transposition est prise, alors la matrice résultante sera égale à la transposition de la matrice d'origine multipliée par la valeur scalaire, c'est-à-dire (kA)^t= kA^t, où k est une valeur scalaire.

Preuve:

Considérons une matrice A = [a_je]_{m × n}et un scalaire k.

L'ordre de la matrice A donnée est m × n.

Si la matrice A est multipliée par la valeur scalaire k, alors tous les éléments de la matrice sont multipliés par cette constante scalaire k, cependant, l'ordre de la matrice kA reste le même, c'est-à-dire m × n.

Maintenant, l'ordre de transposition de la matrice kA, c'est-à-dire (kA)^tsera n × m.

Comme l'ordre de la matrice A est m × n, l'ordre de sa matrice de transposition, c'est-à-dire A^tsera n × m.

Si la matrice A^test multiplié par la valeur scalaire k, puis l'ordre de la matrice kA^tsera également n × m.

Donc, l'ordre des matrices (kA)^tet kA^test le même, c'est-à-dire n × m.

Montrons maintenant que les éléments correspondants de (kA)^tet kA^tsont égaux.

Le (i, j)ème élément de (kA)^tsera égal au (j, i)ème élément de kA.

(je, j)^èmeélément de (kA)^t= (j, je)^èmeélément de kA

⇒ (je, j)^èmeélément de (kA)^t= (je, j)^èmeélément de kA^t

On dit donc que les éléments correspondants de (kA)^tet kA^tsont égaux.

Comme l’ordre et les éléments correspondants de (kA)^tet kA^tsont égaux,

Par conséquent, nous pouvons conclure que (kA) ^t = kA ^t .

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• Transposition de l'ajout de matrices : Cette propriété dit cela.

(A+B) ^t = Un ^t +B ^t

Preuve:

Ici A et B sont deux matrices d'ordre m × n

Laisser, UNE = [une(ij)] et B = [b(ij)] de commande m × n .

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Donc, (A+B) est également de l'ordre m × n matrice

Aussi, UN ^t et B ^t sont d'ordre n × m matrices.

Alors le Transposition de la matrice (A + B) ou (A+B) ^t est un n × m matrice.

Maintenant, nous pouvons dire, UN ^t +B ^t est aussi un n × m matrice.

Maintenant, à partir de la règle de transposition,
(j, i)ème élément de (A+B) ^t = (je, j)ème élément de (A+B)

= (je, j)ème élément de UN + (je, j)ème élément de B
= (j, i)ème élément de UN ^t + (j, i)ème élément de B ^t
= (j, i)ème élément de (UN ^t +B ^t )

Donc,

(A+B) ^t = Un ^t +B ^t

• Si A est une matrice carrée de tout ordre et est inversible, alors l'inverse de sa transposée est égal à la transposée de l'inverse de la matrice d'origine, c'est-à-dire (A^t)^-1= (UNE^-1)^t.

Preuve:

Pour prouver que (A^t)^-1= (UNE^-1)^t, considérons une matrice carrée non singulière A.

RHS = (A^-1)^t

Maintenant, multipliez (A^-1)^tpar un^t

= (UNE^-1)^t×A^t

Nous savons que (AB)^t=B^tUN^t

Ainsi, (Un^-1)^tUN^t= (AA^-1)^t

Nous savons que les AA^-1= I, où I est une matrice d'identité.

Ainsi, (Un^-1)^tUN^t= je^t

⇒ (Un^-1)^tUN^t= Je (Puisque, je^t= je)

⇒ (Un^-1)^t= (UNE^t)^-1= LHS

Donc prouvé.

Donc, (UN ^t ) ^-1 = (UNE ^-1 ) ^t

Les gens lisent également :

• Adjoint d'une matrice
• Déterminant d'une matrice
• Inverse d'une matrice

Exemples résolus sur la transposition d'une matrice

Exemple 1 : Trouver la transposée de la matrice A = egin{bmatrix} a & b & c p & q & r end{bmatrix}

Solution:

La transposée de la matrice A est A^t

UN^t=egin{bmatrix} a & p b & q c & r end{bmatrix}

Exemple 2 : Pour les matrices, A = egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} et B = egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

Montrer que pour ces matrices ont la propriété, (AB) ^t = (B ^t )(UN ^t )

Solution:

Ici A et B sont 23 et 3×2 matrices respectivement. Ainsi, par la règle du produit d'une matrice, on peut trouver leur produit et les matrices finales seraient de 2×2 matrice.

L.H.S.

Maintenant,

AB= egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

AB =egin{bmatrix} (-2)×2+1×(-3)+3×4 & (-2)×1+1×0+3×(-5) 0×2+4×(-3)+(-1)×4 & 0×1+4×0+(-1)×(-5) end{bmatrix}

AB= egin{bmatrix} 5 & -17 -16 & 5 end{bmatrix}

Ainsi, la transposition de la matrice AB est,

(AB)^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

R.H.S.

A^{t} = egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix}

et

B^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix}

Donc,

B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2×(-2)+(-3)×1+4×3 & 2×0+(-3)×4+4×(-1) 1×(-2)+0×1+(-5)×3 & 1×0+0×4+(-5)×(-1) end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

Donc,

(UN B) ^t =B ^t UN ^t

Exemple 3 : Vérifier si (Q ^T ) ^T = Q ou pas.

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Solution:

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Q^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]^{T}

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight] = Q

Donc vérifié.

Exemple 4 : Vérifiez si la matrice donnée ci-dessous est symétrique ou non.

P = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]

Solution:

Nous savons qu'une matrice carrée P d'ordre n × n est dite symétrique si sa transposée est la même que la matrice d'origine, c'est-à-dire P^T=P.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]^{T}

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Maintenant, P.^Test obtenu en intervertissant ses lignes en colonnes.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight] = P

Comme P^T= P, la matrice carrée donnée est symétrique.

Exemple 5 : Pour les matrices A= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} et B= egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix}

Montrer que ces matrices détiennent cette propriété, (A + B) ^t = Un ^t +B ^t

Solution:

L.H.S.

(A+B)= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 5+(-2) 3+5 & 2+4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 6 end{bmatrix}

Donc,

(A+B)^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

R.H.S.

A^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix}

et,

B^{t} = egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix}

Maintenant,

A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 3+5 5+(-2) & 2+4 end{bmatrix} A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

Donc,

(A+B) ^t = Un ^t +B ^t

FAQ sur la transposition d'une matrice

Qu'est-ce que la transposée d'une matrice ?

La transposition d'une matrice est une matrice obtenue en interchangeant les lignes et les colonnes de la matrice. La transposée de la matrice A est notée A^t. Pour une matrice donnée d'ordre m×n, la transposition de la matrice est d'ordre n×m.

Quel est l’ordre de la transposition d’une matrice carrée ?

Pour une matrice carrée, l'ordre de la matrice ne change pas lors de la transposition, donc pour une matrice d'ordre n×n, l'ordre de sa transposition est également n×n.

Quelle est la propriété d'addition de la matrice de transposition ?

La propriété d'addition de transposition de matrice indique que la somme de deux matrices de transposition est toujours égale à la somme des transpositions de matrices individuelles, c'est-à-dire :

(A+B)′ = A′+B′

Quelle est la propriété de multiplication de la matrice de transposition ?

La propriété de multiplication de transposition de matrice indique que le produit de la transposition de deux matrices est toujours égal au produit de la transposition de matrices individuelles dans l'ordre inverse, c'est-à-dire :

(A×B)′ = B′ × A′

Comment calculer la transposée d'une matrice ?

La transposition de n'importe quelle matrice peut facilement être trouvée en modifiant les valeurs des lignes avec les valeurs des colonnes.