La connaissance des matrices est nécessaire pour diverses branches des mathématiques. Les matrices sont l’un des outils les plus puissants en mathématiques. Des matrices naissent les Déterminants. Nous voyons maintenant l'une des propriétés du Déterminant dans cet article.
Dans cet article, nous voyons comment trouver le Adjoint d'une matrice. Pour connaître le Adjoint d'une matrice nous devons connaître le Cofacteur d'une matrice.
Table des matières
- Adjoint d'une définition matricielle
- Mineur d'une matrice
- Cofacteur d'une matrice
- Transposition de la matrice
- Comment trouver l'adjoint d'une matrice ?
- Propriétés du Adjoint d'une matrice
- Trouver l'inverse à l'aide de l'adjoint d'une matrice
Adjoint d'une définition matricielle
L'adjoint d'une matrice est la matrice transposée du cofacteur de la matrice donnée. Pour toute matrice carrée A, calculer son adj. matrice, nous devons d'abord calculer la matrice des cofacteurs de la matrice donnée, puis trouver son déterminant. Pour calculer l'Ajoint d'une matrice, suivez les étapes suivantes :
Étape 1 : Calculez le mineur de tous les éléments de la matrice donnée A.
Étape 2: Trouvez la matrice cofacteur C en utilisant les éléments mineurs.
Étape 3: Trouvez la matrice Adjointe de A en prenant la transposée de la matrice cofacteur C.
Pour toute matrice 2 × 2 A, l'image de son Adjoint est présentée ci-dessous,
Découvrons maintenant le mineur, le cofacteur et la transposition de la matrice.
Mineur d'une matrice
Le mineur de la matrice est la matrice ou l'élément qui est calculé en masquant la ligne et la colonne de la matrice de l'élément pour lequel le mineur est calculé. Pour la matrice 2×2, le mineur est l'élément affiché en masquant la ligne et la colonne de l'élément pour lequel le mineur est calculé.
En savoir plus sur, Mineurs et cofacteurs
Cofacteur d'une matrice
Le cofacteur est le nombre que nous obtenons lorsque nous supprimons la colonne et la ligne d'un élément désigné dans une matrice. Cela signifie prendre un élément d'une matrice et supprimer toute la ligne et la colonne de cet élément de la matrice, puis quels éléments sont présents dans cette matrice, c'est ce qu'on appelle le cofacteur.
Comment trouver le cofacteur d'une matrice
Pour trouver le cofacteur d’un élément d’une matrice, on peut utiliser les étapes suivantes :
Étape 1: Supprimez toute la ligne et la colonne contenant l’élément considéré.
Étape 2: Prenez les éléments restants tels quels dans la matrice après l'étape 1.
Étape 3: Trouvez le déterminant de la matrice formée à l'étape 2 qui est appelé le mineure de l'élément.
Étape 4: Utilisez maintenant la formule du cofacteur de l'élément ajec'est-à-dire (-1)je+jMjeoù Mij est le mineur de l'élément du ièmerangée et jèmecolonne qui est déjà calculée à l’étape 3.
Étape 5 : Le résultat de l'étape 4 est le cofacteur de l'élément considéré, et de même, nous pouvons calculer le cofacteur de chaque élément de la matrice pour trouver la matrice de cofacteur de la matrice donnée.
Exemple : Trouver la matrice des cofacteurs de
Solution:
La matrice donnée est
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Trouvons le cofacteur de l'élément dans la troisième colonne de la première ligne, c'est-à-dire 3.
Étape 1: Supprimez toute la ligne et la colonne contenant l’élément considéré.
c'est à dire.,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} Étape 2: Prenez les éléments restants tels quels dans la matrice après l'étape 1.
c'est à dire.,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} Étape 3: Trouvez le déterminant de la matrice formée à l'étape 2 qui est appelé le mineur de l'élément.
Mineur de 3 po
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 Étape 4: Utilisez maintenant la formule du cofacteur de l'élément ajec'est-à-dire (-1)je+jMje
Cofacteur de l'élément 3 = (-1)1+3(32) = 32
Étape 5 : Continuez la procédure pour tous les éléments pour trouver la matrice cofacteur de A,
c'est-à-dire, matrice de cofacteur de A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Transposition de la matrice
La transposition d'une matrice est la matrice formée en changeant les lignes et les colonnes de la matrice les unes par rapport aux autres. La transposée de la matrice A est notée ATou un'. Si l'ordre de la matrice A est m×n, alors l'ordre de la matrice de transposition est n×m.
En savoir plus sur, Transposition d'une matrice
Comment trouver l'adjoint d'une matrice ?
Pour trouver l'adjoint d'une matrice, nous devons d'abord trouver le cofacteur de chaque élément, puis trouver 2 étapes supplémentaires. voir ci-dessous les étapes,
Étape 1: Trouvez le cofacteur de chaque élément présent dans la matrice.
Étape 2: Créez une autre matrice avec les cofacteurs comme éléments.
Étape 3: Trouvez maintenant la transposée de la matrice qui vient après l'étape 2.
Comment trouver l'adjoint d'une matrice 2 × 2
Considérons un exemple pour comprendre la méthode permettant de trouver l'adjoint de la matrice 2 × 2.
Exemple : Trouver le adjoint de
Solution:
La matrice donnée est
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} Étape 1: Trouvez le cofacteur de chaque élément.
Cofacteur de l'élément en A[1,1] : 5
Cofacteur de l'élément en A[1,2] : -4
Cofacteur de l'élément en A[2,1] : -3
Cofacteur de l'élément en A[2,2] : 2
Étape 2: Créer une matrice à partir de cofacteurs
c'est à dire.,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} Étape 3: Transposition de la matrice Cofactor,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Comment trouver l'adjoint d'une matrice 3×3
Prenons un exemple d'une matrice 3×3 pour comprendre comment calculer l'Adjoint de cette matrice.
Exemple : Trouver le adjoint de
Solution:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Étape 1: Trouvez le cofacteur de chaque élément.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 Étape 2: Créer une matrice à partir de cofacteurs
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C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} Étape 3: Transposer la matrice C en adjoint d'une matrice donnée.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Qui est adjoint d’une matrice A donnée.
Propriétés du Adjoint d'une matrice
Les adjoints d'une matrice ont diverses propriétés, certaines de ces propriétés sont les suivantes :
- UNE(Adj A) = (Adj A)A = |A| jen
- Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
- |Adj A| = |UNE|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Modification A)
Trouver l'inverse à l'aide de l'adjoint d'une matrice
Trouver l'inverse est l'une des applications importantes de l'Adjoint de la Matrice. Pour trouver l'inverse d'une matrice à l'aide d'Adjoint, nous pouvons utiliser les étapes suivantes :
Étape 1: Trouvez le déterminant de la matrice .
Étape 2: Si le déterminant est nul, alors la matrice n’est pas inversible et il n’y a pas d’inverse.
Étape 3: Si le déterminant est non nul, alors trouvez l'adjoint de la matrice.
Étape 4: Divisez l'adjoint de la matrice par le déterminant d'une matrice.
Étape 5 : Le résultat de l'étape 4 est l'inverse de la matrice donnée.
Exemple : Trouver l'inverse de
Solution:
Matrice donnée
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |UNE| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |UNE| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |UNE| = -3 + 12 – 9 = 0
Ainsi, l’inverse de A n’existe pas.
En savoir plus sur, Inverse d'une matrice
Exemples résolus d'adjoint d'une matrice
Exemple 1 : Trouver l'adjoint de la matrice donnée
Solution:
Étape 1 : Trouver le cofacteur de chaque élément
Pour trouver le cofacteur de chaque élément, il faut supprimer la ligne et la colonne de chaque élément une par une et reprendre les éléments présents après suppression.
Cofacteur des éléments à A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Cofacteur des éléments à A[0,1] = 2 :
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Cofacteur des éléments à A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Cofacteur des éléments à A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6Cofacteur des éléments en A[2,1] = 4 :
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Cofacteur des éléments en A[2,2] = 5 :
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4Cofacteur des éléments à A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Cofacteur des éléments en A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16Cofacteur des éléments en A[3,2] = 9 :
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10La matrice ressemble à ceci avec les cofacteurs :
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} La matrice finale des cofacteurs :
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} Étape 2 : Trouver la transposée de la matrice obtenue à l'étape 1
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} C'est le Adjoint de la matrice.
Exemple 2 : Trouver l'adjoint de la matrice donnée
Solution:
Étape 1 : Trouver le cofacteur de chaque élément
Pour trouver le cofacteur de chaque élément, il faut supprimer la ligne et la colonne de chaque élément une par une et reprendre les éléments présents après suppression.
Cofacteur de l'élément en A[0,0] = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Cofacteur des éléments en A[0,1] = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Cofacteur des éléments en A[0,2] = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Cofacteur des éléments en A[2,0] = 2 :
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Cofacteur des éléments en A[2,1] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Cofacteur des éléments en A[2,2] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofacteur des éléments en A[3,0] = 2 :
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Cofacteur des éléments en A[3,1] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofacteur des éléments en A[3,2] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3La matrice finale des cofacteurs :
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} Étape 2 : Trouver la transposée de la matrice obtenue à l'étape 1
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} C'est le Adjoint de la matrice.
FAQ sur Adjoint d'une matrice
Qu’est-ce que l’adjoint d’une matrice ?
L'adjoint d'une matrice carrée est la transposée de la matrice de cofacteurs de la matrice d'origine. Elle est également connue sous le nom de matrice adjugée.
Comment l’adjoint d’une matrice est-il calculé ?
Pour calculer l'adjoint d'une matrice, vous devez trouver la matrice cofacteur de la matrice donnée puis la transposer.
Quelle est l’utilisation du adjoint d’une matrice ?
L'application ou l'utilisation clé de l'adjoint d'une matrice est de trouver l'inverse des matrices inversibles.
Quelle est la relation entre l’inverse d’une matrice et son adjoint ?
L'inverse d'une matrice s'obtient en divisant son adjoint par son déterminant. Autrement dit, si A est une matrice carrée et que det(A) est non nul, alors
UN -1 = adj(A)/dét(A)
Qu'est-ce que la matrice d'adjugate ?
La matrice adjointe est également appelée matrice adjugée. C'est la transposée du cofacteur de la matrice donnée.
Quelle est la différence entre adjoint et transposé d’une matrice ?
L'adjoint d'une matrice est la transposée de la matrice de cofacteurs, tandis que la transposée d'une matrice est obtenue en interchangeant ses lignes et ses colonnes.
Une matrice carrée est-elle toujours inversible ?
Non, les matrices carrées ne sont pas toujours inversibles. Une matrice carrée n’est inversible que si elle a un déterminant non nul.
L’adjoint d’une matrice non carrée peut-il être calculé ?
Non, l'adjoint d'une matrice ne peut être calculé que pour une matrice carrée en raison de la définition de celle-ci.