Les symboles d'ensemble sont un terme collectif utilisé pour tous les symboles utilisés dans la théorie des ensembles, la branche des mathématiques qui traite de la collection d'objets et de leurs diverses propriétés. Un ensemble est une collection bien définie d'objets où chaque objet de la collection est appelé un élément et chaque élément de l'ensemble suit une règle très spécifique. Généralement, les lettres majuscules des alphabets anglais sont utilisées pour désigner des ensembles et certaines lettres désignent des ensembles spécifiques dans la théorie des ensembles.
De nombreux symboles sont utilisés tout au long de l'étude de cette branche des mathématiques, certains des symboles courants sont {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø, etc. Nous discuterons de tous ces symboles en détail dans l'article. y compris l'histoire de ces symboles également. Commençons donc notre voyage d’apprentissage des différents symboles d’ensembles utilisés dans la théorie des ensembles.
Table des matières
- Que sont les symboles définis ?
- Histoire des symboles définis
- Concepts de base des symboles d'ensemble
- Définir des symboles en mathématiques
- Définir les symboles de la théorie
- Exemples résolus sur les symboles définis
- Question pratique pour les symboles définis
- FAQ
Que sont les symboles définis ?
Les symboles d’ensemble sont des éléments de base des mathématiques utilisés pour représenter et décrire des groupes d’objets, de nombres ou d’éléments ayant des propriétés similaires. Ces symboles offrent une approche claire et cohérente pour communiquer des idées difficiles sur les ensembles et leurs interactions. Le symbole d'ensemble le plus typique est ∈, qui représente l'appartenance et se prononce comme appartenant à. ∈ indique qu'un élément fait partie d'un ensemble spécifique.
En revanche, ∉ signifie qu’un élément ne fait pas partie d’un ensemble. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅, etc. sont quelques-uns des exemples courants de symboles dans la théorie des ensembles. Ces symboles et d'autres permettent aux mathématiciens de définir des opérations, de spécifier des opérations et de formuler des assertions mathématiques exactes, jetant ainsi les bases d'une variété de spécialités mathématiques et d'utilisations pratiques.
En savoir plus sur Théorie des ensembles .
Exemple de symboles définis
Utilisons le symbole, qui représente l’intersection des ensembles, à titre d’illustration. Soient E et F deux ensembles tels que Set E = {1, 3, 5, 7} et Set F = {3, 6, 9}. Alors le symbole ∩ représente l'intersection entre les deux ensembles, c'est-à-dire E ∩ F.
Ici, E ∩ F contient tous les éléments qui sont en commun dans les deux ensembles E et F, c'est-à-dire {3}.
En conclusion, le symbole ∩ est utilisé pour identifier les éléments partagés par deux ou plusieurs ensembles. L'intersection produit uniquement des ensembles dont les éléments sont partagés par tous les ensembles intersectés.
En savoir plus sur Intersection d'ensembles .
Histoire des symboles définis
Entre 1874 et 1897, un mathématicien allemand appelé Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor a développé une théorie abstraite nommée Set Theory. Il l'a proposé lors de recherches sur des problèmes factuels impliquant des formes spécifiques d'ensembles infinis de nombres réels. Un ensemble, selon la notion, est un regroupement de certains objets d'observation définis et distincts. Toutes ces choses sont appelées membres ou composants de l’ensemble. La propriété des combinaisons de nombres algébriques réels est au fondement de la théorie de Cantor.
Concepts de base des symboles d'ensemble
Diverses idées sont abordées à différents niveaux de scolarité dans la théorie des ensembles. La représentation des ensembles, les types d'ensembles, les opérations d'ensembles (telles que l'union et l'intersection), la cardinalité et les relations d'ensembles, etc. font partie des concepts essentiels. Certains des concepts essentiels de la théorie des ensembles sont les suivants :
Ensemble universel
La lettre majuscule « U » est couramment utilisée pour représenter un ensemble universel. Il est aussi parfois symbolisé par ε(epsilon). C'est un ensemble qui contient tous les éléments des autres ensembles ainsi que le sien.
Complément d'Ensemble
Le complément d’un ensemble comprend tous les constituants de l’ensemble universel à l’exception des éléments de l’ensemble examiné. Si A est un ensemble, alors ses compléments contiendront tous les membres de l'ensemble universel spécifié (U) qui ne sont pas inclus dans A. Le complément d’un ensemble est indiqué ou exprimé par A’ ou Acet est défini comme :
A'= {x ∈ U : x ≠ A}
En savoir plus sur Complément d'Ensemble .
Notation du constructeur de jeux
La notation Set Builder est la méthode pour représenter les ensembles de telle manière que là où nous n'avons pas besoin de lister tous les éléments de l'ensemble, nous avons simplement besoin de spécifier la règle qui est suivie par tous les éléments de l'ensemble. Voici quelques exemples de ces notations :
Si A est une collection de nombres réels.
UNE = {x : x ∈ R}
Si A est une collection de nombres naturels.
A = {x : x> 0 et x ∈ Z]
Où AVEC est un ensemble d’entiers.
En savoir plus, Représentation des ensembles .
Définir des symboles en mathématiques
Pour faire référence à diverses choses et montants, le symbole d'ensemble utilise fréquemment une liste prédéfinie de symboles variables. Pour lire et créer une notation définie, vous devez d'abord comprendre comment utiliser des symboles dans diverses situations. Examinons toutes les notations et symboles de la théorie des ensembles relatifs aux opérations, relations, etc., ainsi que leurs significations et exemples, dans cette catégorie.
Symboles utilisés dans le système numérique
Les symboles utilisés dans les systèmes numériques sont inclus dans le tableau ci-dessous :
| Symbole | Nom | Signification/Définition | Exemple |
|---|---|---|---|
| W ou 𝕎 | Nombres entiers | Ce sont les nombres naturels. | On sait N = {1, 2, 3, . . . } 1 ∈N |
| N ou ℕ | Nombres naturels | Les nombres naturels sont parfois appelés nombres à compter commençant par 1. | Nous savons W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z ou ℤ | Entiers | Les nombres entiers sont comparables aux nombres entiers, sauf qu'ils incluent également des valeurs négatives. | On sait Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .} -6 ∈Z |
| Q ou ℚ | Nombres rationnels | Les nombres rationnels sont ceux qui sont indiqués par a/b. Dans ce cas, a et b sont des entiers avec b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z et b ≠ 0 2/6 ∈Q |
| P ou ℙ | Nombres irrationnels | Les nombres qui ne peuvent pas être représentés sous la forme a/b sont appelés nombres irrationnels, c'est-à-dire tous les nombres réels qui ne sont pas rationnels. entier pour doubler | P = x π, et ∈ P |
| R ou ℝ | Nombres réels | Les nombres entiers, les nombres rationnels et les nombres irrationnels constituent les nombres réels. | R = x 6,343434 ∈R |
| C ou ℂ | Nombres complexes | Un nombre complexe est une combinaison d’un nombre réel et d’un nombre imaginaire. | C= z = une + bi, une, b ∈ R 6 + 2 je ∈C |
Définir les symboles de la théorie
Les délimiteurs sont des caractères spéciaux ou des séquences de caractères qui indiquent le début ou la fin d'une certaine instruction ou d'un corps de fonction d'un ensemble spécifié. Voici les délimiteurs, les symboles et les significations de la théorie des ensembles :
| Symbole | Nom | Signification/Définition | Exemple |
|---|---|---|---|
| {} | Ensemble | Entre ces parenthèses se trouve un tas d’éléments/chiffres/alphabets dans un ensemble. | {15, 22, c, d} |
| | | Tel que | Ceux-ci sont utilisés pour construire un ensemble en spécifiant ce qu’il contient. | q> 6 L’instruction spécifie la collection de tous les q tels que q soit supérieur à 6. |
| : | Tel que | Le symbole : est parfois utilisé à la place du | symbole. | La phrase ci-dessus peut également être écrite sous la forme q . |
Ensembles et symboles relationnels dans la théorie des ensembles
Les symboles de la théorie des ensembles sont utilisés pour identifier un ensemble spécifique ainsi que pour déterminer/montrer une relation entre des ensembles distincts ou des relations à l'intérieur d'un ensemble, comme la relation entre un ensemble et son constituant. Le tableau ci-dessous décrit ces symboles de relation, ainsi que leurs significations et exemples :
| Symbole | Nom | Signification/Définition | Exemple |
|---|---|---|---|
| une ∈ UNE | Est un composant de | Ceci spécifie qu'un élément est membre d'un ensemble spécifique. | Si un ensemble A={12, 17, 18, 27} on peut dire que 27 ∈ a. |
| b ∉ B | N'est pas un composant de | Cela indique qu'un élément n'appartient pas à un ensemble particulier. | Si un ensemble B={c, d, g, h, 32, 54, 59} alors tout élément autre que celui de l'ensemble n'appartient pas à cet ensemble. A titre d'exemple, 18 ∉ B. |
| A = B | Relation d'égalité | Les ensembles fournis sont équivalents dans le sens où ils comportent les mêmes composants. | Si vous mettez P={16, 22, a} et Q={16, 22, a} alors P=Q. |
| UNE⊆B | Sous-ensemble | Lorsque tous les éléments de A sont présents dans B, A est un sous-ensemble de B. | UNE= {31, b} et B={une, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {une, b, 31, 54} |
| UNE⊂B | Sous-ensemble approprié | P est dit un sous-ensemble propre de B lorsqu’il est un sous-ensemble de B et n’est pas égal à B. | A= {24, c} et B={a, c, 24, 50} UNE⊂B |
| UNE⊄B | Pas un sous-ensemble | Par conséquent, l’ensemble A n’est pas un sous-ensemble de l’ensemble B. | A = {67,52} et B = {42,34,12} UNE⊄B |
| UNE ⊇ B | Surensemble | A est un sur-ensemble de B si l'ensemble B est un sous-ensemble de A. L'ensemble A peut être identique ou supérieur à l'ensemble B. | A = {14, 18, 26} et B={14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| UNE⊃B | Surensemble approprié | L’ensemble A contient plus d’éléments que l’ensemble B puisqu’il s’agit d’un sur-ensemble de B. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| UNE⊅B | Pas un surensemble | Lorsque tous les éléments de B ne sont pas présents dans A, A n’est pas un véritable sur-ensemble de B. | A = {11, 12, 16} et B = {11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| Ø | Ensemble vide | Un ensemble vide ou nul est un ensemble qui n’inclut aucun élément. | {22, y} ∩ {33, une} = Ø |
| DANS | Ensemble universel | Un ensemble qui contient des éléments de tous les ensembles pertinents, y compris le sien. | Si, A = {a,b,c} et B = {1,2,3,b,c}, alors U = {1,2,3,a,b,c} |
| |UNE| ou n{A} | Cardinalité d'un ensemble | La cardinalité fait référence au nombre d'éléments dans une collection particulière. | Si A= {17, 31, 45, 59, 62}, alors |A|=5. |
| P(X) | Ensemble de puissance | Un ensemble puissant est l’ensemble de tous les sous-ensembles de l’ensemble X, y compris l’ensemble lui-même et l’ensemble nul. | Si, X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Symboles basés sur des opérateurs dans la théorie des ensembles
Avec des exemples, nous étudierons les symboles et les significations de la théorie des ensembles pour de nombreuses opérations telles que l'union, le complément, l'intersection, la différence et autres.
| Symbole | Nom | Signification/Définition | Exemple |
|---|---|---|---|
| UNE∪B | Union d'ensembles | L'union des ensembles crée un ensemble entièrement nouveau en combinant tous les composants des ensembles fournis. | UNE = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (Une union B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| UNE∩B | Intersection d'ensembles | La composante commune aux deux ensembles est incluse dans l’intersection. | A = { 4, 8, a, b} et B = {3, 8, c, b}, alors statut git UNE ∩ B = {8, b} |
| XcOUX' | Complément d'un ensemble | Le complément d’un ensemble comprend tout ce qui n’appartient pas à l’ensemble fourni. | Si A est un ensemble universel et A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} et B = {13, 15, 17, 18, 19} alors X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A-B | Définir la différence | L'ensemble de différences est un ensemble qui contient des éléments d'un ensemble introuvables dans un autre. | A = {12, 13, 15, 19} et B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} |
| A × B | Produit cartésien des ensembles | Un produit cartésien est le produit des composants ordonnés des ensembles. | A = {4, 5, 6} et B = {r} Maintenant, A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)} |
| UNE∆B | Différence symétrique des ensembles | A Δ B = (A – B) U (B – A) désigne la différence symétrique. | A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31} UNE ∆B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
En savoir plus
- Types d'ensembles
- Opération sur les décors
Exemples résolus sur les symboles définis
Exemple 1 : Étant donné deux ensembles avec P={21, 32, 43, 54, 65, 75} et Q={21, 43, 65, 75, 87, 98} quelle est la valeur de P∪Q ?
Répondre:
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} et Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
Exemple 2 : Quelle est la valeur de |Y| si Y={13, 19, 25, 31, 42, 65} ?
Répondre:
|Y| = Cardinalité de l'ensemble = le nombre d'éléments dans l'ensemble est la solution.
|Y| = n(Y)=6, puisque l'ensemble Y comporte 6 éléments.
Exemple 3 : Étant donné deux ensembles de valeurs P={a,c,e} et Q={4,3}, déterminez leur produit cartésien.
Répondre:
Produit cartésien = P × Q
Si P={b, d, f} et Q={5, 6}
Alors P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}
Exemple 4 : Supposons que P = {x : x est un entier naturel et un multiple de 24, et Q = {x : x est un nombre naturel inférieur à 8}. Déterminez P ∪ Q.
Répondre:
Étant donné que
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
instruction java if elseQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Par conséquent, P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
Exemple 5 : Supposons que P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Trouver (P ∩ Q)’.
Répondre:
Étant donné, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Donc,
(P ∩ Q)’ = {3, 5, 6, 7, 8}
Exemple 6 : Si P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} et Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, déterminez
(i) P-Q et (ii) P-Q.
Répondre:
Donné,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} et Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(je) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Questions pratiques pour les symboles définis
Question 1: Compte tenu des ensembles :
- UNE = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Déterminez les éléments de l’union des ensembles A et B.
Question 2: Considérons les ensembles :
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Oui = {3, 4, 5, 6, 7}
Trouvez l'intersection des ensembles X et Y.
Question 3: Supposons que vous ayez les ensembles :
- P = {une, b, c, ré}
- Q = {c, d, e, f}
Calculez les éléments de l'ensemble P – Q ainsi que Q – P.
Question 4 : Disons que vous avez les ensembles :
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Découvrez si l’ensemble V est un sous-ensemble de l’ensemble U.
Question 5 : Considérez les ensembles :
- S = {pomme, banane, orange, poire}
- T = {poire, mangue, cerise}
Trouvez le produit cartésien des ensembles S et T.
Question 6 : Supposons que vous disposiez de l'ensemble universel :
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
Et les décors :
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {une, c, e, g, je}
Calculer le complément des ensembles E et F par rapport à l'ensemble universel U.
FAQ sur les symboles définis
1. Définissez le symbole de jeu.
Le symbole d'ensemble est une branche qui étudie les regroupements d'entités/nombres/objets, leurs relations avec d'autres ensembles, différentes opérations (union, intersection, complément et différence) et les caractéristiques associées.
2. Que représente ce symbole ⊆ ?
Le symbole ⊆ signifie est un sous-ensemble de. Un sous-ensemble est un ensemble dont les éléments ont été ajoutés comme s'ils étaient tous des éléments d'un autre ensemble.
3. Que signifie ∪ dans les ensembles ?
'∪' est le signe de l'union définie. A ∪ B est un ensemble qui contient tous les éléments des ensembles A et B.
4. Que représente P = Q ?
Si l’ensemble P est égal à l’ensemble Q, alors les membres de P et Q sont identiques. Par exemple:
P = {4,5,6} et Q = {6,5,4}
En conséquence, P = Q.
5. En mathématiques, que signifie ∩ ?
'∩' signifie l'union de deux ensembles. A ∩ B est un ensemble qui contient des éléments partagés par A et B.
6. Qu'est-ce que ∈ en ensembles ?
∈ est un signe qui signifie « appartient à ». Si b ∈ B, cela indique que b est un élément de B.
7. Quel est l'ensemble N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} connu comme?
L'ensemble des nombres naturels est défini comme N = {1, 2, 3, 4, 5,…} Il contient tous les nombres positifs, allant de 1 à un nombre infini. Cette collection est cruciale pour les mathématiques et fournit un cadre pour la commande et le comptage.
8. Qu'est-ce que A × B dans les ensembles ?
Le produit cartésien des ensembles A et B est représenté par A x B dans le symbole de l'ensemble. C'est l'ensemble qui comprend toutes les paires ordonnées possibles dans lesquelles le premier élément est tiré de l'ensemble A et le second de l'ensemble B.
9. Comment allez-vous lire A ∩ B ?
A∩B se prononce A intersection B. Il représente l’ensemble qui contient des éléments communs aux deux ensembles.
10. Que signifie le Ø dans la théorie des ensembles ?
Dans la théorie des ensembles, l'idée d'un ensemble vide, qui ne contient aucun élément, est désignée par le symbole Ø (prononcé ensemble vide).
11. Qu'est-ce que l'AUB ?
AUB en mathématiques signifie l'union des ensembles A et B. Il fait référence à l'ensemble qui comprend tous les éléments des ensembles A et B.
12. ∅ est-il identique à {} ?
Oui, ∅ et {} représentent tous deux l'ensemble vide en mathématiques. Ainsi, les deux sont des notations différentes de la même chose.