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Secteur d'un cercle

Secteur d'un cercle est l'une des composantes d'un cercle comme un segment que les étudiants apprennent au cours de leurs années universitaires car c'est l'une des formes géométriques importantes. Le secteur de cercle est une section de cercle formée par l’arc et ses deux rayons et il est produit lorsqu’une section de la circonférence du cercle et deux rayons se rencontrent aux deux extrémités de l’arc. D’une part de pizza à une région située entre deux pales de ventilateur, nous pouvons partout voir des secteurs du cercle dans notre vie quotidienne.

Dans cet article, nous explorerons les forme géométrique du secteur dérivée du cercle en détail, y compris ses aires, son périmètre et toutes les formules liées au secteur d'un cercle.



Table des matières

Qu’est-ce que le secteur d’un cercle ?

Un secteur est un segment de cercle qui comprend un arc et les deux rayons qui relient les extrémités de l’arc au centre du cercle. Il représente une fraction du cercle, définie par l’arc (une partie du périmètre du cercle) et les rayons aux extrémités de l’arc. Visuellement, un secteur ressemble à un morceau de pizza ou de tarte, soulignant sa nature de partie du cercle entier.

Définition du secteur d'un cercle

Un secteur de cercle est une partie de cercle entourée de deux rayons et de l'arc qu'ils forment.



En d'autres termes, un secteur de cercle est une section en forme de tarte d'un cercle formé par l'arc et ses deux rayons et il est produit lorsqu'une section de la circonférence du cercle (également appelée arc) et deux rayons se rencontrent aux deux endroits. extrémités de l'arc. Le demi-cercle, qui représente la moitié d'un cercle, est le secteur de cercle le plus fréquent.

Secteur d'un cercle

Nous pouvons voir dans le diagramme illustré ci-dessus qu’il y a toujours deux secteurs formés dans le cercle.



  • Secteur majeur : Le secteur avec une plus grande longueur d’arc est appelé secteur majeur.
  • Secteur mineur : Le secteur avec une longueur d’arc plus petite est appelé secteur mineur.

Angle du secteur

L'angle sous-tendu par l'arc au centre du cercle est appelé angle de secteur ou angle central du secteur. Dans le diagramme ci-dessus, nous pouvons voir que le l'angle sous-tendu par le secteur mineur est θ , donc θ est l'angle du secteur pour le secteur mineur. Comme nous le savons, l'angle total sous-tendu en tout point est de 360°, donc le l’angle sous-tendu par le secteur majeur est de 360° – θ .

Exemples de secteurs d'un cercle

Quelques exemples de secteurs de cercles sont des tranches de pizza ou de tarte, un cadran d'horloge, une pale de ventilateur, etc. Quelques exemples de secteurs de cercle sont présentés dans l'illustration suivante :

Exemples de secteur d'un cercle

Secteur d'une zone circulaire

L’aire d’un secteur de cercle est la quantité d’espace occupé à l’intérieur d’un secteur de la bordure d’un cercle. Un secteur commence toujours au centre du cercle. Le demi-cercle est également un secteur de cercle ; dans ce cas, un cercle comporte deux secteurs de taille égale.

Formule pour la superficie d'un secteur

La formule pour la superficie d’un secteur est donnée comme suit :

A = (θ/360°) × pr 2

Où,

  • je est l'angle du secteur sous-tendu par les arcs au centre (en degrés),
  • r est le rayon du cercle.

Une autre formule

Si l'angle sous-tendu θ est en radians, l'aire est donnée par,

UNE = 1/2 × r 2 × je

En savoir plus,

  • Cercle
  • Rayon du cercle
  • Aire du cercle

Dérivation de la formule pour la superficie d'un secteur

Considérons un cercle de centre O et de rayon r, supposons que OAPB soit son secteur et θ (en degrés) soit l'angle sous-tendu par les arcs au centre.

Dérivation de la formule pour la superficie d'un secteur

Nous savons que l’aire de toute la région circulaire est donnée par πr2.

Si l'angle sous-tendu est de 360°, l'aire du secteur est égale à celle du cercle entier, c'est-à-dire πr2.

Appliquez la méthode unitaire pour trouver l’aire du secteur pour n’importe quel angle θ.

Si l'angle sous-tendu est de 1°, l'aire du secteur est donnée par, πr2/360°.

Par conséquent, lorsque l’angle est θ, l’aire du secteur, OAPB = (θ/360°) × pr 2

On obtient ainsi la formule de l'aire d'un secteur de cercle.

Zone de secteur mineur

La formule dérivée de la section ci-dessus est généralement utilisée comme superficie du secteur mineur. Comme θ est principalement la représentation générale de l'angle du secteur mineur. Ainsi

old{ ext{Zone du secteur mineur} = frac{ heta}{360} imes πr^2}

Superficie du secteur majeur

L’angle du secteur principal est généralement représenté par 360° – θ. Ainsi, l’aire du secteur majeur est donnée par

série de Fibonacci en c

old{ ext{Zone du secteur majeur } = frac{360- heta}{360} imes πr^2}

Longueur de l'arc du secteur d'un cercle

La longueur de l'arc d'un secteur est la longueur de l'arc entouré par le secteur. En d’autres termes, un arc est la sous-longueur de la circonférence du cercle. C'est une croyance générale que la longueur de l'arc est le périmètre du secteur, mais il ne s'agit que de la partie circulaire du secteur et non du périmètre complet. Nous discuterons du périmètre dans l’article à venir.

Formule pour la longueur de l'arc d'un secteur

La formule pour la longueur de l'arc d'un secteur avec un angle de secteur θ est donnée comme suit :

Longueur de l'arc d'un secteur = θ°/360° × 2πr

Où,

  • je est l'angle du secteur sous-tendu par les arcs au centre (en degrés),
  • r est le rayon du cercle.

Dérivation de la formule pour la longueur de l'arc d'un secteur

Considérons un cercle de centre O et de rayon r. Soit OAPB un secteur du cercle, et θ° l'angle sous-tendu par l'arc au centre O.

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Dérivation de la formule pour la longueur de l'arc d'un secteur

Nous savons que la circonférence du cercle entier est donnée par 2πr. Si l'angle sous-tendu est de 360°, la longueur de l'arc du secteur est égale à la circonférence du cercle entier, soit 2πr.

Pour trouver la longueur de l'arc pour n'importe quel angle θ, nous pouvons établir une proportion en utilisant la méthode unitaire :

Si l'angle sous-tendu est de 360°, la longueur d'arc du secteur est de 2πr.

Si l'angle sous-tendu est θ°, la longueur de l'arc du secteur est x.

En utilisant les proportions on obtient

θ°/360° = x/2pr

⇒ x = θ°/360° × 2πr

x = θ°/360° × πd

Où d = 2r est le diamètre du cercle.

On obtient ainsi la formule de la longueur de l'arc d'un secteur de cercle.

En savoir plus,

  • Circonférence du cercle
  • Secteur de Cercle
  • Tangente du cercle

Secteur d'un périmètre de cercle

Le périmètre de toute forme géométrique est sa limite. Ainsi, pour le secteur d'un cercle, le périmètre est également la limite du cercle qui comprend la longueur de l'arc ainsi que le rayon du cercle qui entoure le secteur.

Périmètre d'une formule de secteur

La formule du périmètre d’un cercle est donnée par :

Périmètre du secteur = Longueur de l'arc + 2 × r

Périmètre du secteur = (θ/360) × 2πr + 2 × r

Où,

  • je est la mesure de l'angle au centre en degrés,
  • Pi est une constante mathématique (π≈3,14), et
  • r est le rayon du cercle.

Sommaire – Secteur d’un Cercle

  • Le secteur est la région délimitée par deux rayons et une longueur d'arc dans le cercle.
  • L'angle sous-tendu par l'arc au centre est appelé angle central.
  • L'aire d'un secteur du cercle est
  • La longueur de l'arc du secteur du cercle est
  • Le périmètre du secteur du cercle est

Voici quelques points clés concernant le secteur d'un cercle :

  • La somme des angles de n'importe quel secteur d'un cercle est toujours de 360 ​​​​degrés.
  • L'aire d'un secteur est toujours inférieure à l'aire du cercle entier.
  • La longueur de l'arc du secteur est également toujours inférieure à la circonférence du cercle.
  • Le périmètre d'un secteur peut être supérieur à la circonférence du cercle entier.

Les gens lisent aussi

  • Équation d'un cercle
  • Aire d'un cercle
  • Circonférence du cercle

Exemples de problèmes secteur d'un cercle

Problème 1 : Trouver l'aire du secteur pour un cercle donné de rayon 5 cm si l'angle de son secteur est de 30°.

Solution:

Nous avons r = 5 et θ = 30°.

Utilisez la formule A = (θ/360°) × πr2pour trouver la zone.

UNE = (30/360) × (22/7) × 52

⇒ A = 550/840

⇒ A = 0,65 cm²

Problème 2 : Trouver l'aire du secteur pour un cercle donné de rayon 9 cm si l'angle de son secteur est de 45°.

Solution:

Nous avons r = 9 et θ = 45°.

Utilisez la formule A = (θ/360°) × πr2pour trouver la zone.

UNE = (45/360) × (22/7) × 92

⇒ A = 1782/56

⇒ A = 31,82 cm²

Problème 3 : Trouver l'aire du secteur pour un cercle donné de rayon 15 cm si l'angle de son secteur est de π/2 radians.

Solution:

Nous avons r = 15 et θ = π/2.

Utilisez la formule A = 1/2 × r2× θ pour trouver l’aire.

UNE = 1/2 × 152×p/2

⇒ A = 1/2 × 225 × 11/7

⇒ A = 2475/14

⇒ A = 176,78 cm²

caractère à chaîne

Problème 4 : Trouvez l'angle sous-tendu au centre du cercle si l'aire de son secteur est de 770 cm² et son rayon est de 7 cm.

Solution:

Nous avons r = 7 et A = 770.

Utilisez la formule A = (θ/360°) × πr2pour trouver la valeur de θ.

=> 770 = (θ/360) × (22/7) × 72

=> 770 = (θ/360) × 154

=> θ/360 = 5

=> θ = 1800°

Problème 5 : Trouvez l'aire d'un cercle si l'aire de son secteur est de 132 cm² et que l'angle sous-tendu au centre du cercle est de 60°.

Solution:

Nous avons θ = 60° et A = 132.

Utilisez la formule A = (θ/360°) × πr2pour trouver la valeur de θ.

=> 132 = (60/360) × (22/7) × r2

=> 132 = (1/6) × (22/7) × r2

=> r2= 252

=> r = 15,87 cm

Maintenant, Aire du cercle = πr2

= (22/7) × 15,87 × 15,87

= 5540,85/7

= 791,55 cm²

Problème 6 : Calculez la longueur de l'arc lorsque r = 9 cm et θ = 45°.

Solution:

Donné,

  • r = 9 cm
  • je = 45°

L = (45/360) × 2π × 9

L = (1/8) × (2 × 22/7) × 9

L = (1/8) × (44/7) × 9

L = (1/8) × 44 × 9

L = 44/8 × 9

L = 99/2 cm (arrondi à deux décimales)

La longueur de l’arc du secteur est donc de 49,5 cm.

Liens importants liés aux mathématiques :

  • Lemme d’Euclide
  • Le traitement des données
  • Problèmes de hauteurs et de distances
  • Donc 0
  • Matrice symétrique asymétrique
  • Aire de l'octogone
  • Diviseur
  • Table antilogique
  • Mathématiques 11e année

Résumer les formules importantes du secteur d'un cercle

  • Formule pour la superficie d'un secteur : A = (θ/360°) × pr2
  • Formule pour la longueur de l'arc d'un secteur : Longueur de l'arc = θ°/360° × 2pr
  • Formule pour le périmètre d'un secteur d'un cercle : P = (θ/360) × 2πr + 2 × r

Secteurs d'un cercle – FAQ

Que sont les secteurs d’un cercle ?

Les secteurs d'un cercle sont des parties ou des portions de cercle délimitées par deux rayons et l'arc correspondant entre eux.

Qu'est-ce qu'un angle central dans un secteur de cercle ?

Un angle central est un angle dont le sommet est au centre d'un cercle et dont les côtés s'étendent jusqu'aux extrémités d'un arc. Il détermine la taille du secteur et se mesure en degrés ou en radians.

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Comment est calculée l’aire d’un secteur d’un cercle ?

La superficie d'un secteur peut être calculée à l'aide de la formule suivante :

Superficie du secteur = (θ/360) × πr 2

Où,

  • je est la mesure de l'angle au centre en degrés,
  • Pi est une constante mathématique (π≈3,14), et
  • r est le rayon du cercle.

Quelle est la longueur de l’arc d’un secteur ?

La longueur de l'arc d'un secteur est la distance le long de la circonférence du cercle qui forme l'arc.

Quelle est la formule pour la longueur de l’arc d’un secteur ?

La longueur de l'arc d'un secteur est donnée par la formule suivante :

Longueur de l'arc du secteur = (θ/360) × 2πr

Où,

  • je est la mesure de l'angle au centre en degrés,
  • Pi est une constante mathématique (π≈3,14), et
  • r est le rayon du cercle.

Comment est calculé le périmètre d’un secteur de cercle ?

Le périmètre d'un secteur de cercle est la somme de la longueur de l'arc et des longueurs des deux rayons qui forment le secteur. La formule du périmètre d’un cercle est donnée par :

  • Périmètre du secteur = Longueur de l'arc + 2 × r
  • Périmètre du secteur = (θ/360) × 2πr + 2 × r

Où,

  • je est la mesure de l'angle au centre en degrés,
  • Pi est une constante mathématique (π≈3,14), et
  • r est le rayon du cercle.

La superficie du secteur peut-elle être plus grande que la superficie du cercle entier ?

Non, l’aire d’un secteur ne peut pas être plus grande que l’aire du cercle entier car il s’agit de la partie du cercle et elle peut être au maximum égale à l’aire d’un cercle car le plus grand secteur possible est un cercle complet.