Grandeurs scalaires et vectorielles sont utilisés pour décrire le mouvement d’un objet. Quantités scalaires sont définis comme des grandeurs physiques qui n'ont qu'une ampleur ou une taille. Par exemple, distance, vitesse, masse, densité, etc.

Cependant, quantités vectorielles sont ces grandeurs physiques qui ont à la fois une ampleur et une direction comme le déplacement, la vitesse, l'accélération, la force, etc. Il convient de noter que lorsqu'une grandeur vectorielle change, sa grandeur et sa direction changent également de la même manière, lorsqu'une grandeur scalaire change, seule sa grandeur change.

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Table des matières

• Définition des quantités scalaires
• Quantités vectorielles
• Notation vectorielle
• Quantité scalaire et vectorielle
• Égalité des vecteurs
• Multiplication de vecteurs avec scalaire
• Ajout de vecteurs
• Loi triangulaire de l'addition de vecteurs
• Loi du parallélogramme d'addition de vecteurs
• Exemples sur Scalaire et Vecteur

Définition des quantités scalaires

Une grandeur scalaire est une grandeur physique qui n’a qu’une grandeur et aucune direction.

En d’autres termes, une quantité scalaire est décrite uniquement par un nombre et une unité, et elle n’a aucune direction ni vecteur associé.

Exemples de quantités scalaires

Des exemples de quantités scalaires incluent la température, la masse, le temps, la distance, la vitesse et l'énergie. Ces quantités peuvent être mesurées à l'aide d'instruments tels que des thermomètres, des balances, des chronomètres, des règles, des compteurs de vitesse et des wattmètres.

En dehors de ceux-ci, d'autres scalaires sont :

• Zone
• Volume
• Densité
• Température
• Charge électrique
• Force gravitationnelle

Les quantités scalaires peuvent être ajoutées, soustraites, multipliées et divisées à l'aide d'opérations mathématiques standard. Par exemple, si une voiture parcourt 100 kilomètres en 2 heures, sa vitesse moyenne peut être calculée à 50 kilomètres par heure (km/h) en divisant la distance parcourue par le temps mis.

Les quantités scalaires sont souvent comparées aux quantités vectorielles, qui ont à la fois une ampleur et une direction, telles que la vitesse, l'accélération, la force et le déplacement. Les quantités vectorielles sont généralement représentées graphiquement à l'aide de flèches pour indiquer leur direction et leur ampleur, tandis que les quantités scalaires sont représentées en utilisant uniquement un nombre et une unité.

Quantités vectorielles

Une grandeur vectorielle est une grandeur physique qui a à la fois une ampleur et une direction.

En d’autres termes, une quantité vectorielle est décrite par un nombre, une unité et une direction.

Par exemple, si une voiture roule à une vitesse de 50 km/h vers l’est, sa vitesse peut être représentée par un vecteur avec une flèche pointant vers la droite (est) et une longueur de 50 km/h.

Exemples de quantités vectorielles

Des exemples de quantités vectorielles incluent la vitesse, l'accélération, la force, le déplacement et l'élan. Ces quantités sont généralement représentées graphiquement à l'aide de flèches pour indiquer à la fois leur direction et leur ampleur.

Il existe d’innombrables exemples de quantités vectorielles dans la vie quotidienne. La liste de certains d’entre eux se trouve ci-dessous !

• Forcer
• Pression
• Poussée
• Champ électrique
• Polarisation
• Poids

Les quantités vectorielles peuvent être ajoutées, soustraites, multipliées et divisées à l'aide de l'algèbre vectorielle. Par exemple, si une force de 10 N est appliquée à un objet dans la direction nord et qu'une force de 5 N est appliquée dans la direction est, la force résultante peut être calculée en utilisant l'addition vectorielle comme une force de √125 N vers le direction nord-est.

Les quantités vectorielles sont utilisées dans de nombreux domaines scientifiques et techniques, tels que la mécanique, l'électromagnétisme, la dynamique des fluides et la mécanique quantique. Ils sont essentiels pour décrire le comportement des systèmes physiques et faire des prédictions sur leurs états futurs.

Notation vectorielle

La notation vectorielle est une manière ou une notation utilisée pour représenter une quantité qui est un vecteur, via une flèche (⇢) au-dessus de son symbole, comme indiqué ci-dessous :

Quantité scalaire et vectorielle

Les différences entre les quantités scalaires et vectorielles sont indiquées dans le tableau ajouté ci-dessous,

Égalité des vecteurs

Deux vecteurs sont considérés comme égaux lorsqu’ils ont la même amplitude et la même direction. La figure ci-dessous montre deux vecteurs égaux, notez que ces vecteurs sont parallèles entre eux et ont la même longueur. La deuxième partie de la figure montre deux vecteurs inégaux qui, même s'ils ont la même grandeur, ne sont pas égaux car ils ont des directions différentes.

Multiplication de vecteurs avec scalaire

Multiplier un vecteur a par un scalaire constant k donne un vecteur dont la direction est la même mais dont l'amplitude est modifiée d'un facteur k. La figure montre le vecteur après et avant sa multiplication par la constante k. En termes mathématiques, cela peut être réécrit comme suit :

|kvec{v}| = k|vec{v}|

si k> 1, la grandeur du vecteur augmente alors qu'elle diminue lorsque k <1.

Ajout de vecteurs

Les vecteurs ne peuvent pas être ajoutés par les règles algébriques habituelles. Lors de l'ajout de deux vecteurs, l'amplitude et la direction des vecteurs doivent être prises en compte.

Loi triangulaire est utilisé pour ajouter deux vecteurs, le schéma ci-dessous montre deux vecteurs a et b et la résultante est calculée après leur addition. L'addition de vecteurs suit la propriété commutative, cela signifie que le vecteur résultant est indépendant de l'ordre dans lequel les deux vecteurs sont ajoutés.

vec{a} + vec{b} = vec{c}

vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a} – (Propriété commutative)

Loi triangulaire de l'addition de vecteurs

Considérez les vecteurs donnés dans la figure ci-dessus. La droite PQ représente le vecteur p et QR représente le vecteur q. La ligne QR représente le vecteur résultant. La direction de AC va de A vers C.

La ligne AC représente,

vec{p} + vec{q}

La norme du vecteur résultant est donnée par,

sqrtcos( heta)

θ représente l'angle entre les deux vecteurs. Soit φ l'angle que fait le vecteur résultant avec le vecteur p.

tan (phi) = dfrac{qsin heta}{p + qcos heta}

La formule ci-dessus est connue sous le nom de loi triangulaire d’addition de vecteurs.

Loi du parallélogramme d'addition de vecteurs

Cette loi n’est qu’une autre façon de comprendre l’addition de vecteurs. Cette loi stipule que si deux vecteurs agissant sur le même point sont représentés par les côtés du parallélogramme, alors le vecteur résultant de ces vecteurs est représenté par les diagonales des parallélogrammes.

La figure ci-dessous montre ces deux vecteurs représentés du côté du parallélogramme.

Vérifiez également :

• Algèbre vectorielle
• Produit scalaire et croisé des vecteurs

Exemples sur Scalaire et Vecteur

Exemple 1 : Trouvez la norme de v = i + 4j.

Solution:

|dans| =sqrt{a^2 + b^2}

une = 1, b = 4

|dans| =sqrt{1^2 + 4^2}

|dans| =sqrt{1^2 + 4^2}

|dans| = √17

Exemple 2 : Un vecteur est donné par v = i + 4j. Trouvez la norme du vecteur lorsqu'il est mis à l'échelle par une constante de 5.

Solution:

|dans| =sqrt{a^2 + b^2}

5|v| = |5v|

une = 1, b = 4

|5v|

|5(je + 4j)|

|5i + 20j|

|dans| =sqrt{5^2 + 20^2}

|dans| =sqrt{25 + 400}

|dans| = √425

Exemple 3 : Un vecteur est donné par v = i + j. Trouvez la norme du vecteur lorsqu'il est mis à l'échelle par une constante de 0,5.

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Solution:

|dans| =sqrt{a^2 + b^2}

0,5|v| = |0,5v|

une = 1, b = 1

|0,5v|

|0,5(je + j)|

|0,5i + 0,5j|

|dans| =sqrt{0.5^2 + 0.5^2}

|dans| =sqrt{0.25 + 0.25}

|dans| = √0,5

Exemple 4 : Deux vecteurs de magnitude 3 et 4. Ces vecteurs ont un angle de 90° entre eux. Trouvez la norme des vecteurs résultants.

Solution:

Soit les deux vecteurs donnés par p et q. Alors le vecteur résultant r est donné par,

|r| = sqrtp

|p| = 3, |q| = 4 et heta = 90^o

|r| = sqrtp

|r| = sqrt^2 + 2

|r| = sqrt^2

|r| = sqrt{9 + 16}

|r| = sqrt{9 + 16}

|r| = 5

Exemple 5 : Deux vecteurs de magnitude 10 et 9. Ces vecteurs ont un angle de 60° entre eux. Trouvez la norme des vecteurs résultants.

Solution:

Soit les deux vecteurs donnés par p et q. Alors le vecteur résultant r est donné par,

|r| = sqrtp

|p| = 10, |q| = 9 et heta = 60^o

|r| = sqrtp

|r| = sqrt

|r| = sqrt^2 +

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|r| = sqrt{100 + 81 + 90}

|r| = sqrt{271}

Scalaires et vecteurs-FAQ

Qu'entendez-vous par scalaires et vecteurs, en physique ?

Les scalaires sont les grandeurs physiques qui n'ont qu'une ampleur ou une taille. Alors que les vecteurs sont des grandeurs physiques qui ont à la fois une ampleur et une direction.

Quels sont des exemples de quantités vectorielles ?

Voici quelques exemples importants de quantités de vecteurs :

• Rapidité
• Forcer
• Pression
• Déplacement
• Accélération
• Poussée

Que sont les grandeurs scalaires ?

Voici quelques exemples importants de scalaires :

• Masse
• Vitesse
• Distance
• Temps
• Zone
• Volume

La force est-elle une quantité scalaire ou vectorielle ?

Puisque la force est une grandeur physique qui a à la fois une ampleur et une direction. C’est donc une quantité vectorielle.

Quelle est la différence entre la distance et le déplacement ?

La principale différence entre la distance et le déplacement est que la distance n'a qu'une magnitude et est une quantité scalaire. Cependant, le déplacement a à la fois une ampleur et une direction, il s’agit donc d’une quantité vectorielle.