Une quantité caractérisée non seulement par sa grandeur mais aussi par sa direction est appelée un vecteur. La vitesse, la force, l'accélération, l'élan, etc. sont des vecteurs.

Les vecteurs peuvent être multipliés de deux manières :

• Produit scalaire ou produit scalaire
• Produit vectoriel ou produit croisé

Table des matières

• Produit scalaire/produit scalaire de vecteurs
• Projection d'un vecteur sur un autre
• Propriétés du produit scalaire
• Inégalités basées sur le produit scalaire
• Produit croisé/produit vectoriel de vecteurs
• Propriétés du produit croisé
• Produit croisé sous forme déterminante
• Produit scalaire et croisé
• FAQ sur les produits scalaires et croisés sur les vecteurs

Produit scalaire/produit scalaire de vecteurs

Le produit scalaire/produit scalaire résultant de deux vecteurs est toujours une quantité scalaire. Considérons deux vecteurs un et b . Le produit scalaire est calculé comme le produit des grandeurs de a, b et du cosinus de l'angle entre ces vecteurs.

Produit scalaire = |a||b| cosα

Ici,

• |une| = grandeur du vecteur un,
• |b| = grandeur du vecteur b , et
• α = angle entre les vecteurs.

Vecteurs a et b avec un angle α entre eux

Projection d'un vecteur sur un autre

Vecteur un peut être projeté sur la ligne l comme indiqué ci-dessous :

CD = projection du vecteur a sur le vecteur b

Il ressort clairement de la figure ci-dessus que nous pouvons projeter un vecteur sur un autre vecteur. AC est la norme du vecteur A. Dans la figure ci-dessus, AD est tracé perpendiculairement à la ligne l. CD représente la projection du vecteur un sur le vecteur b .

Le triangle ACD est donc un triangle rectangle, et on peut lui appliquer des formules trigonométriques.

Si α est la mesure de l’angle ACD, alors

cosα = CD/AC

Ou, CD = CA cos a

D'après la figure, il est clair que CD est la projection du vecteur a sur le vecteur b.

Ainsi, nous pouvons conclure qu’un vecteur peut être projeté sur l’autre vecteur par le cosinus de l’angle qui les sépare.

Propriétés du produit scalaire

• Le produit scalaire de deux vecteurs est toujours un nombre réel (scalaire).
• Le produit scalaire est commutatif, c'est-à-dire a.b =b.a= |a||b| cosα
• Si α est de 90° alors le produit scalaire est nul car cos(90) = 0. Ainsi, le produit scalaire des vecteurs unitaires dans les directions x, y est 0.
• Si α vaut 0° alors le produit scalaire est le produit des grandeurs de un et b |une||b|.
• Le produit scalaire d'un vecteur unitaire avec lui-même est 1.
• Le produit scalaire d'un vecteur a avec lui-même est |a|²
• Si α vaut 180⁰, le produit scalaire des vecteurs a et b est -|a||b|
• Le produit scalaire est distributif sur l'addition

un. ( b + c ) = un B + a.c.

• Pour tout scalaire k et m alors,

je un. (m b ) = km un B

• Si la forme composante des vecteurs est donnée comme suit :

un = un₁x + un₂et + un₃Avec

b =b₁x + b₂y + b₃Avec

alors le produit scalaire est donné par

un B = un₁b₁+ un₂b₂+ un₃b₃

• Le produit scalaire est nul dans les cas suivants :
  • La norme du vecteur a est nulle
  • La norme du vecteur b est nulle
  • Les vecteurs a et b sont perpendiculaires l'un à l'autre

Inégalités basées sur le produit scalaire

Il existe diverses inégalités basées sur le produit scalaire des vecteurs, telles que :

• Inégalité de Cauchy – Schwartz
• Inégalité triangulaire

Discutons-en en détail comme suit :

Inégalité de Cauchy – Schwartz

D’après ce principe, pour deux vecteurs quelconques un et b , la grandeur du produit scalaire est toujours inférieure ou égale au produit des grandeurs du vecteur a et du vecteur b

|ab| ≤ |une| |b|

Preuve:

Puisque, a.b = |a| |b| cosα

Nous savons que 0

Nous concluons donc que |a.b| ≤ |une| |b|

Inégalité triangulaire

Pour deux vecteurs quelconques un et b , nous avons toujours

| un + b | ≤ | un | + | b |

Inégalité triangulaire

Preuve:

| un + b |²=| un + b || un + b |

= a.a + un B + b.a + b.b

= | un |²+ 2 un B +| b |²(le produit scalaire est commutatif)

combien y a-t-il de villes aux États-Unis d'Amérique

≤ | un |²+ 2| une||b | + | b |²

≤ ( |une | + | b| )²

Cela prouve que | un + b | ≤ | un | + | b|

Exemples de produit scalaire de vecteurs

Exemple 1. Considérons deux vecteurs tels que |a|=6 et |b|=3 et α = 60°. Trouvez leur produit scalaire.

Solution:

un B = |une| |b| cosα

Donc, un B = 6,3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Exemple 2. Montrer que les vecteurs a = 3i+j-4k et b = 8i-8j+4k sont perpendiculaires.

Solution :

On sait que les vecteurs sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul

un B = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

Puisque le produit scalaire est nul, on peut conclure que les vecteurs sont perpendiculaires les uns aux autres.

Produit croisé/produit vectoriel de vecteurs

Les lecteurs connaissent déjà un système de coordonnées rectangulaires tridimensionnel droitier. Dans ce système, une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de l'axe x vers l'axe y positif indique qu'une vis à droite (standard) avancerait dans la direction de l'axe z positif, comme indiqué sur la figure.

Système de coordonnées rectangulaires 3D

Le produit vectoriel ou produit croisé, de deux vecteurs un et b avec un angle α entre eux est calculé mathématiquement comme

une × b = |une| |b| sans α

Il convient de noter que le produit vectoriel est un vecteur avec une direction spécifiée. La résultante est toujours perpendiculaire à a et à b.

De plus, si on lui donne deux vecteurs,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)etmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), leur produit vectoriel, noté a × b, est calculé comme suit :

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

Dans le cas où a et b sont des vecteurs parallèles, la résultante doit être nulle car sin(0) = 0

Propriétés du produit croisé

• Cross Product génère une quantité vectorielle. La résultante est toujours perpendiculaire à a et à b.
• Le produit vectoriel des vecteurs parallèles/vecteurs colinéaires est nul lorsque sin(0) = 0.

je × je = j × j = k × k = 0

• Le produit vectoriel de deux vecteurs mutuellement perpendiculaires de magnitude unitaire est chacun l’unité. (Puisque sin(0)=1)
• Le produit croisé n’est pas commutatif.

a × b n'est pas égal à b × a

• Le produit croisé est distributif par rapport à l'addition

un × ( b + c ) = un ×b + un × c

• Si k est un scalaire alors,

k(une × b) = k(une) × b = une × k(b)

• En vous déplaçant dans le sens des aiguilles d’une montre et en prenant le produit vectoriel de deux paires quelconques de vecteurs unitaires, nous obtenons la troisième et dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous obtenons la résultante négative.

Produit croisé dans le sens horaire et antihoraire

Les résultats suivants peuvent être établis :

Produit croisé sous forme déterminante

Si le vecteur un est représenté comme une = a1x + a2y + a3z et vecteur b est représenté comme b = b1x + b2y + b3z

Alors le produit vectoriel une × b peut être calculé en utilisant la forme déterminante

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Alors, une × b = x(une₂b₃–b₂un₃) + y(une₃b₁- un₁b₃) + z(une₁b₂- un₂b₁)

Si a et b sont les côtés adjacents du parallélogramme OXYZ et α est l'angle entre les vecteurs a et b.

Alors l’aire du parallélogramme est donnée par | une × b | = |une| |b|péché.a

Vecteurs a et b comme côtés adjacents d'un parallélogramme

Exemples de C produit rouge des vecteurs

Exemple 1. Trouvez le produit vectoriel de deux vecteurs a et b si leurs magnitudes sont respectivement de 5 et 10. Étant donné que l'angle entre alors est de 30°.

Solution:

une × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 perpendiculaire à un et b

Exemple 2. Trouver l'aire d'un parallélogramme dont les côtés adjacents sont

une = 4i+2j -3k

b= 2 je +j-4k

Solution :

L'aire est calculée en trouvant le produit vectoriel des côtés adjacents

une × b = x(une₂b₃–b₂un₃) + y(une₃b₁- un₁b₃) + z(une₁b₂- un₂b₁)

= je(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

comment déterminer la taille du moniteur

= -5i +10j

La grandeur de la superficie est doncsqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Produit scalaire et croisé

Certaines des différences courantes entre le produit scalaire et le produit vectoriel de vecteurs sont :

En savoir plus,

• Algèbre vectorielle
• Scalaire et vectoriel
• Produit scalaire de deux vecteurs
• Produit de vecteurs

FAQ sur les produits scalaires et croisés sur les vecteurs

Que représente géométriquement le produit scalaire ?

Le produit scalaire de deux vecteurs représente la projection d'un vecteur sur l'autre, mise à l'échelle par leurs magnitudes et le cosinus de l'angle qui les sépare.

Comment le produit scalaire est-il utilisé en géométrie ?

Il est utilisé pour trouver des angles entre des vecteurs, déterminer des vecteurs orthogonaux, calculer des projections et mesurer la similarité entre des vecteurs.

Que se passe-t-il si le produit scalaire de deux vecteurs est nul ?

Si le produit scalaire est nul, cela signifie que les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) les uns aux autres.

Que représente géométriquement le produit vectoriel ?

Le produit vectoriel de deux vecteurs représente un vecteur perpendiculaire au plan contenant les vecteurs d'origine. Sa grandeur est égale à l’aire du parallélogramme formé par les vecteurs.

Comment trouver la direction du produit vectoriel ?

Utilisez la règle de la main droite : pointez votre pouce droit dans la direction du premier vecteur, votre index dans la direction du deuxième vecteur et votre majeur pointe dans la direction du produit vectoriel.