Le tronc d'un cône est une forme spéciale qui se forme lorsque l'on coupe le cône avec un plan parallèle à sa base. Le cône est une forme tridimensionnelle ayant une base circulaire et un sommet. Ainsi, le tronc de cône est un volume solide formé en supprimant une partie du cône avec un plan parallèle à la base circulaire. Le tronc de tronc n'est pas seulement défini pour les cônes mais peut également être défini pour les différents types de pyramides (pyramide carrée, pyramide triangulaire, etc.).

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Certaines des formes courantes d'un tronc de cône que nous découvrons dans notre vie quotidienne sont les seaux, les abat-jour et autres. Apprenons-en davantage sur le tronc de cône dans cet article.

Qu’est-ce que le tronc de cône ?

Frustum est un mot latin qui signifie morceaux, donc le tronc de cône est un morceau solide du cône. Lorsqu'un cône circulaire droit est coupé par un plan parallèle à la base du cône, la forme ainsi obtenue est appelée tronc de cône. La figure ci-dessous nous montre comment un plan coupe le cône parallèlement à sa base pour former le tronc de cône.

Maintenant, le tronc de cône est facilement défini comme suit :

Si un cône circulaire droit est coupé par un plan parallèle à sa base, la forme de la partie située entre le plan de coupe et le plan de base est appelée tronc de cône.

Filet de Morceau de Cône

Si une forme tridimensionnelle (3D) est découpée et transformée en une forme bidimensionnelle, la forme ainsi obtenue est appelée le filet. On peut supposer que lorsque le filet de la figurine est correctement plié, il forme la forme 3D souhaitée. L'image ci-dessous montre le filet du tronc de cône.

Propriétés d'un morceau de cône

Les propriétés d'un tronc de cône sont très similaires à celles du cône, certaines des propriétés importantes du tronc de cône sont,

• Base du cône : le cône d'origine est contenu dans le tronc de cône mais son sommet n'est pas contenu dans le tronc de cône.
• Les formules du tronc de cône dépendent de sa hauteur et de deux rayons (correspondant aux bases supérieure et inférieure).
• La hauteur du tronc de cône est la distance perpendiculaire entre les centres de ses deux bases.

Formules de Morceau de Cône

Le tronc de cône est une forme que l'on voit fréquemment dans notre vie quotidienne, par exemple les lampes de table, les seaux, etc. Les formules importantes pour le tronc de cône sont :

• Volume du morceau de cône
• Superficie du tronc de cône

Découvrons ces formules en détail ci-dessous,

Volume du morceau de cône

Le tronc de cône est une partie tranchée d'un cône, où un petit cône est retiré du plus grand cône. Par conséquent, pour calculer le volume du tronc de cône, il suffit de calculer la différence entre le volume du cône le plus grand et celui du cône le plus petit.

Assumons,

• La hauteur totale du cône doit être H + h
• La hauteur totale de l'inclinaison doit être l' + L
• Le rayon d'un cône complet est r
• Le rayon du cône tranché est r’

Puisque le volume du cône est donné par V = 1/3πr²h

Volume du cône complet V₁= 1/3πr²(H+h)

Volume du petit cône V₂=1/3πr'²(h)

Maintenant, le volume du tronc de cône (V) peut être calculé à l'aide de la formule,

V=V₁- DANS₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(h)

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²h)]…(1)

En utilisant la propriété de similarité des triangles de △OCD et △OAB, on peut écrire,

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

H + h = h / r'

Remplacez cette valeur de (H+h) dans l'équation (1) et simplifiez,

V = 1/3π[r²(rh / r') – r'²(h)}

= 1/3π[{h³– heure’³} /r’]…(2)

En utilisant à nouveau la propriété du triangle similaire dans △OCD et △OAB, nous trouverons la valeur de h

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

rh = (H + h)r’

rh = Hr' + hr'

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

En substituant ces valeurs dans l'équation (2),

V = 1/3π[{r³h – r³h}/r']

= 1/3π[{r³-r'³}h / r']

= 1/3π[{r³-r'³}{Hr' / (r – r')} / r']

= 1/3πH(r²+ r'²+rr')

Ainsi,

Volume du tronc de cône = 1/3 πH(r ² + r' ² + rr')

Superficie du tronc de cône

La surface du tronc de cône peut être calculée par la différence entre la superficie du cône complet et le plus petit cône (retiré du cône complet). La surface du tronc de cône peut être calculée à l'aide du diagramme ci-dessous, où il faut résumer les surfaces des surfaces courbes et les surfaces des surfaces supérieure et inférieure du tronc de cône.

Semblable au volume du tronc de cône, la surface incurvée sera également égale à la différence entre les surfaces du plus grand cône et du plus petit cône.

Dans la figure ci-dessus, les triangles OAB et OCD sont similaires. Ainsi, en utilisant les critères de similarité, on peut écrire :

l’ / l = r’ / r…(1)

Puisque l’ = l – L, donc d’après l’équation (1),

(l – L) / l = r’ / r

Après multiplication croisée,

arrière-plan CSS

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

La surface courbe d'un cône complet = πrl

La surface courbe du plus petit cône = πr’l’

Différence entre les surfaces courbes du cône complet et du cône plus petit = π (rl – r’l’)

Ainsi, la surface courbe (CSA) du tronc de cône = πl (r – r’l’/l)

Utilisez l’équation (1) pour remplacer la valeur de l’/l dans l’équation ci-dessus et simplifiez,

CSA du tronc de cône = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²-r'²)/r

Maintenant, remplacez la valeur de l de l'équation (2) et simplifiez,

CSA du tronc de cône = πlr/(r – r’)× (r²-r'²)/r = πl (r + r')

Ainsi, on peut écrire,

Surface incurvée du tronc de cône = πl (r + r’)

Maintenant, calculons la surface des bases supérieure et inférieure du tronc de cône, telle que :

La surface de la base supérieure du tronc de cône ayant un rayon r' = πr'²

La surface de la base inférieure du tronc de cône ayant un rayon r = πr²

Donc,

Surface totale du tronc de cône = Surface incurvée du tronc de cône + surface de la base supérieure + surface de la base inférieure

Donc,

La surface totale du tronc de cône = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Ainsi, la surface totale du tronc de cône est = πl (r + r’) + π (r²+ r'²)

Cette formule peut également s'écrire :

La surface totale du tronc de cône est = πl (r²-r'²)/r + π (r²+ r'²)

Alors, on peut écrire,

Surface totale du tronc de cône = πl(r + r’) + π (r ² + r' ² )

ou

Surface totale du tronc de cône = πl (r ² -r' ² )/r + π (r ² + r' ² )

Notez que l est la hauteur inclinée du plus petit cône qui peut être donnée par

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

En savoir plus

• Volume du cône
• Volume du cylindre
• Volume de la sphère

Exemples résolus sur un fragment de cône

Exemple 1 : Découvrez le volume d'un tronc de cône de 15 cm de haut et les rayons des deux bases sont de 5 cm et 8 cm.

Solution:

En utilisant la formule étudiée ci-dessus, on peut écrire,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr')

Donné,

H = 15 cm
r'= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

Exemple 2 : Découvrez la surface et la surface totale d'un tronc de cône mesurant 10 cm de haut et les rayons des deux bases sont de 4 cm et 8 cm.

Solution:

Nous connaissons la formule de la surface et de la surface totale du tronc. Nous devons brancher les valeurs requises.

Surface incurvée du tronc = πl(r+r’)

où,
L = √ [H²+ (R – r)²]

Donné,
H = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Calculer la valeur de L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Surface incurvée du tronc = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Surface totale = Surface incurvée du tronc + Surface des deux bases

= 48π√(29) + π(8)²+p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Exemple 3 : Disons que nous avons un seau métallique ouvert dont la hauteur est de 50 cm et les rayons des bases sont de 10 cm et 20 cm. Trouver la zone du tôle métallique utilisée pour fabriquer le seau.

Solution:

Le seau est en forme de tronc de tronc fermé par le bas. Nous devons calculer la surface totale de ce tronc de tronc.

Donné
H = 50 cm
r' = 10 cm
r = 20 cm

Surface incurvée du tronc = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

méthodes de liste de tableaux

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Surface incurvée du tronc = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Surface totale = Surface incurvée du tronc + Surface des deux bases

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Exemple 4 : Découvrez l'expression du volume d'un frustum si sa hauteur est de 6y et ses rayons sont respectivement y et 2y.

Solution:

En utilisant la formule étudiée ci-dessus,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr')

Donné,

H = 6 ans
r'= y
r = 2 ans

V = 1/3 π6[(2y)²+ (et)²+ (o)(2a)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³unité³

FAQ sur les morceaux de cône

Question 1 : Qu'est-ce que le tronc d'un cône ?

Répondre:

Quand on coupe un cône de telle manière que le plan de coupe soit parallèle à la base du cône. Le chiffre résultant ainsi obtenu est appelé le tronc du cône.

Question 2 : Que sont les formules du tronc de cône ?

Répondre:

Les formules du tronc de cône sont discutées ci-dessous. Prenons alors un tronc de rayon de base « R » et un rayon supérieur « r », une hauteur « H » et une hauteur inclinée,

• Volume d'un morceau de cône (V) = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)
• Surface totale du tronc de cône = πl (r + r’) + π (r’²+r²).

Question 3 : Qu'est-ce que le CSA d'un frustum ?

Répondre:

La surface incurvée du tronc de cône est calculée à l'aide de la formule :

CSA = πl (r + r')

où,
r' est le rayon du cercle supérieur du tronc de tronc
r est le rayon de base
je est la hauteur de l'inclinaison

Question 4 : Quelle est la superficie du tronc de cône ?

Répondre:

La surface du tronc d'un cône est calculée à l'aide de la formule,

• CSA de morceau de cône = πl [ (r²-r'²) / r’ ]
• TSA du tronc de cône = π (r²+ r'²) + πl [ (r²-r'²) /r’]

Question 5 : Quel est le volume du tronc de cône ?

Répondre:

Le volume du tronc de cône est calculé à l’aide de la formule :

• V = 1/3πh[ (r³-r'³) /r’]
• V = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)