Triangles similaires sont des triangles de même forme mais pouvant avoir des tailles variables. Des triangles similaires ont des côtés correspondants proportionnellement les uns aux autres et des angles correspondants égaux les uns aux autres. Les triangles semblables sont différents des triangles congrus. Deux figures congruentes sont toujours similaires, mais deux figures similaires ne sont pas nécessairement congruentes.

Deux triangles sont considérés comme semblables lorsque leurs angles correspondants correspondent et que leurs côtés sont proportionnels. Cela signifie que des triangles similaires ont la même forme, même si leurs tailles peuvent différer. D’un autre côté, les triangles sont définis comme congrus lorsqu’ils partagent non seulement la même forme, mais ont également des côtés correspondants de longueur identique.

Maintenant, apprenons-en davantage sur triangles similaires et leurs propriétés avec des exemples résolus et d'autres en détail dans cet article.

Table des matières

• Que sont les triangles similaires ?
• Définition de triangles similaires
• Exemples de triangles similaires
• Théorème de proportionnalité de base (théorème de Thales)
• Critères de triangles similaires
• Formule de triangles similaires
• Formule pour des triangles similaires en géométrie
• Règles triangulaires similaires
• Théorème de similarité angle-angle (AA) ou AAA
• Théorème de similarité côté-angle-côté ou SAS
• Théorème de similarité côté-côté-côté ou SSS
• Comment trouver des triangles similaires ?
• Aire de triangles similaires – Théorème
• Différence entre les triangles similaires et les triangles congruents
• Applications de triangles similaires
• Remarques importantes sur les triangles similaires
• Questions résolues sur des triangles similaires
• Questions pratiques Triangles similaires

Quels sont les similaires Triangles?

Les triangles similaires sont des triangles qui se ressemblent, mais leurs tailles peuvent être différentes. Des objets similaires ont la même forme mais des tailles différentes. Cela implique que des formes similaires, lorsqu'elles sont agrandies ou réduites, doivent se superposer les unes aux autres. Cette propriété des formes similaires est connue sous le nom Similarité .

Il existe trois théorèmes triangulaires similaires :

• AA (ou AAA) ou théorème de similarité angle-angle
• Théorème de similarité SAS ou côté-angle-côté
• Théorème de similarité SSS ou côté-côté-côté

Définition de triangles similaires

Deux triangles sont dits semblables si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont dans la même proportion. Les angles correspondants de deux triangles similaires doivent être égaux. Des triangles similaires peuvent avoir des longueurs respectives différentes des côtés du triangle, mais le rapport des longueurs des côtés correspondants doit être le même.

Lorsque deux triangles sont semblables, cela implique que :

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• Toutes les paires d’angles correspondants dans les triangles sont égales.
• Toutes les paires de côtés correspondants du triangle sont proportionnelles.

Le symbole ∼ est utilisé pour représenter la similitude entre des triangles similaires. Ainsi, lorsque deux triangles sont semblables, nous l’écrivons sous la forme △ABC ∼ △DEF.

Exemples de triangles similaires

Divers exemples de triangles similaires sont :

• Si nous prenons deux triangles qui ont des côtés dans le rapport, alors ce sont des triangles similaires.
• Les mâts de drapeau et leurs ombres représentent des triangles similaires.

Les triangles montrés dans l'image ci-dessous sont similaires et nous les représentons comme △ABC ∼ △PQR.

Théorème de proportionnalité de base (théorème de Thales)

Le théorème de base de proportionnalité, également connu sous le nom de théorème de Thales, est un concept fondamental en géométrie lié à la similitude des triangles. Il stipule que si une ligne est tracée parallèlement à un côté d’un triangle, elle divise proportionnellement les deux autres côtés. En termes plus simples, si une ligne parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés, elle divise ces côtés proportionnellement.

Mathématiquement, si une ligne DE est tracée parallèlement à un côté du triangle ABC, coupant les côtés AB et AC aux points D et E respectivement, alors selon le théorème de proportionnalité de base :

BD/DA = CE/ELLE

Ce théorème est une conséquence de la similitude des triangles formés par la droite parallèle et les côtés du triangle original. Plus précisément, les triangles ADE et ABC, ainsi que les triangles ADC et AEB, sont similaires car les angles correspondants sont égaux. Par conséquent, les rapports des côtés correspondants dans des triangles similaires sont égaux, ce qui conduit à la relation de proportionnalité décrite par le théorème de base de la proportionnalité.

Le théorème de proportionnalité de base est largement utilisé en géométrie et en trigonométrie pour résoudre divers problèmes impliquant des lignes parallèles et des triangles. Il sert de principe fondamental pour comprendre les propriétés de triangles similaires et les relations entre leurs côtés et angles correspondants. De plus, il constitue la base de concepts géométriques plus avancés, tels que le théorème des lignes parallèles et des applications dans diverses constructions et preuves géométriques.

Critères de triangles similaires

Si deux triangles sont semblables, ils doivent répondre à l'une des règles suivantes,

• Deux paires d'angles correspondants sont égales. (Règle AA)
• Trois paires de côtés correspondants sont proportionnelles. (Règle SSS)
• Deux paires de côtés correspondants sont proportionnelles et les angles correspondants entre eux sont égaux. (Règle SAS)

Lire en détail : Critères pour les triangles similaires

Formule de triangles similaires

Dans la dernière section, nous avons étudié deux conditions permettant de vérifier si les triangles donnés sont similaires ou non. Les conditions sont les suivantes: deux triangles sont semblables ; leurs angles correspondants sont égaux, ou les côtés correspondants sont proportionnels. En utilisant l’une ou l’autre condition, nous pouvons prouver que △PQR et △XYZ sont similaires à partir de l’ensemble suivant de formules triangulaires similaires.

Formule pour des triangles similaires en géométrie

Dans △PQR et △XYZ si,

1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Les deux triangles ci-dessus sont similaires, c'est-à-dire △PQR ∼ △XYZ.

Règles triangulaires similaires

Les théorèmes de similarité nous aident à déterminer si les deux triangles sont semblables ou non. Lorsqu’on n’a pas la mesure des angles ou des côtés des triangles, on utilise les théorèmes de similarité.

Il existe trois grands types de règles de similarité, indiquées ci-dessous :

• AA (ou AAA) ou théorème de similarité angle-angle
• Théorème de similarité SAS ou côté-angle-côté
• Théorème de similarité SSS ou côté-côté-côté

Théorème de similarité angle-angle (AA) ou AAA

Le critère de similarité AA stipule que si deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles d'un autre triangle, alors ils doivent être des triangles similaires. Une règle de similarité s’applique facilement lorsque l’on connaît seulement la mesure des angles et n’a aucune idée de la longueur des côtés du triangle.

Dans l'image ci-dessous, si l'on sait que ∠B = ∠G et ∠C = ∠F :

Et on peut dire que d'après le critère de similarité AA, △ABC et △EGF sont similaires ou △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF et ∠A = ∠E.

Théorème de similarité côté-angle-côté ou SAS

Selon le théorème de similarité SAS, si deux côtés du premier triangle sont exactement proportionnels aux deux côtés du deuxième triangle et que l'angle formé par ces deux côtés des triangles individuels est égal, alors ils doivent être des triangles similaires. Cette règle est généralement appliquée lorsque l’on connaît seulement la mesure de deux côtés et l’angle formé entre ces deux côtés dans les deux triangles respectivement.

Dans l’image ci-dessous, si l’on sait que AB/DE = AC/DF et ∠A = ∠D

Et on peut dire que d'après le critère de similarité SAS, △ABC et △DEF sont similaires ou △ABC ∼ △DEF.

Théorème de similarité côté-côté-côté ou SSS

Selon le théorème de similarité SSS, deux triangles seront semblables si les rapports correspondants de tous les côtés des deux triangles sont égaux. Ce critère est couramment utilisé lorsque l'on dispose uniquement de la mesure des côtés du triangle et que l'on a moins d'informations sur les angles du triangle.

Dans l'image ci-dessous, si l'on sait que PQ/ED = PR/EF = QR/DF

Et on peut dire que d'après le critère de similarité SSS, △PQR et △EDF sont similaires ou △PQR ∼ △EDF.

Propriétés de triangles similaires

Des triangles similaires ont diverses propriétés largement utilisées pour résoudre divers problèmes géométriques. Certaines des propriétés communes d'un triangle similaire :

• La forme des triangles similaires est fixe mais leurs tailles peuvent être différentes.
• Les angles correspondants de triangles similaires sont égaux.
• Les côtés correspondants de triangles similaires sont dans des raisons communes.
• Le rapport de l'aire de triangles semblables est égal au carré du rapport de leur côté correspondant.

Comment trouver des triangles similaires ?

Deux triangles donnés peuvent être prouvés comme des triangles similaires en utilisant les théorèmes donnés ci-dessus. Nous pouvons suivre les étapes ci-dessous pour vérifier si les triangles donnés sont similaires ou non :

Étape 1: Notez les dimensions données des triangles (côtés correspondants ou angles correspondants).

Étape 2: Vérifiez si ces dimensions suivent l'une des conditions des théorèmes des triangles similaires (AA, SSS, SAS).

Étape 3 : Les triangles donnés, s'ils satisfont à l'un des théorèmes de similarité, peuvent être représentés en utilisant le ∼ pour désigner la similarité.

Cela peut être mieux compris à l’aide de l’exemple suivant :

Exemple : Vérifiez si △ABC et △PQR sont des triangles similaires ou non en utilisant les données données : ∠A = 65°, ∠B = 70º et ∠P = 70°, ∠R = 45°.

En utilisant des mesures d'angles données, nous ne pouvons pas conclure si les triangles donnés suivent ou non le critère de similarité AA. Trouvons la mesure du troisième angle et évaluons-la.

On sait, en utilisant la propriété de somme des angles d'un triangle, ∠C dans △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

De même, ∠Q dans △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

On peut donc conclure que dans △ABC et △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P et ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Aire de triangles similaires – Théorème

Le théorème de l'aire d'un triangle similaire stipule que pour deux triangles similaires, le rapport de l'aire des triangles est proportionnel au carré du rapport de leurs côtés correspondants. Supposons que l’on nous donne deux triangles similaires, ΔABC et ΔPQR alors

D'après le théorème du triangle similaire :

(Aire de ΔABC)/(Aire de ΔPQR) = (AB/PQ) ² = (BC/QR) ² = (CA/RP) ²

Différence entre les triangles similaires et les triangles congruents

Les triangles similaires et les triangles congruents sont deux types de triangles largement utilisés en géométrie pour résoudre divers problèmes. Chaque type de triangle a des propriétés différentes et la différence fondamentale entre eux est discutée dans le tableau ci-dessous.

Applications de triangles similaires

Diverses applications du triangle similaire que nous voyons dans la vie réelle sont :

• L'ombre et la hauteur de divers objets sont calculées en utilisant le concept de triangles similaires.
• Map Scaling utilise le concept du triangle similaire.
• Les appareils photographiques utilisent les propriétés triangulaires similaires pour capturer diverses images.
• Le modélisme utilise le concept de triangles similaires.
• La navigation et la trigonométrie utilisent également l'approche triangulaire similaire pour résoudre divers problèmes, etc.

Remarques importantes sur les triangles similaires :

• Le rapport des aires de triangles semblables est égal au carré du rapport de leurs côtés correspondants.
• Tous les triangles congrus sont semblables, mais tous les triangles semblables ne sont pas nécessairement congrus.
• Ce ' ~ Le symbole est utilisé pour désigner des triangles similaires.

Questions résolues sur des triangles similaires

Question 1 : Dans la figure 1 donnée, DE || AVANT JC. Si AD = 2,5 cm, DB = 3 cm et AE = 3,75 cm. Trouver la climatisation ?

Solution:

Dans △ABC, DE || AVANT JC.

AD/DB = AE/EC (par le théorème de Thales)

2,5/3 = 3,75/x, où EC = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

CE = 4,5 cm

Ainsi, AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Question 2 : Dans la figure 1 DE || AVANT JC. Si AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm et AC = 9 cm. Trouver AE ?

Solution:

Soit AE = x cm.

Dans △ABC, DE || AVANT JC.

constante Java

Par le théorème de Thalès, nous avons,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7 × 9)/6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Donc AE = 2,25 cm

Question 3 : Montrer qu'une ligne passant par le milieu d'un côté d'un triangle (figure 1) parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en deux.

Solution:

Étant donné un ΔΑΒC dans lequel D est le milieu de AB et DE || BC, rencontrant AC à E.

POUR PROUVER AE = EC.

Preuve: Depuis DE || BC, d’après le théorème de Thalès, on a :

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, donné)

AE/CE = 1

AE = CE

Question 4 : Dans la figure 2 donnée, AD/DB = AE/EC et ∠ADE = ∠ACB. Montrer que ABC est un triangle isocèle.

Solution:

On a AD/DB = AE/EC DE || BC [par l’inverse du théorème de Thalès]

∠ADE = ∠ABC (∠s correspondant)

Mais, ∠ADE = ∠ACB (donné).

Par conséquent, ∠ABC = ∠ACB.

Donc AB = AC [côtés opposés à des angles égaux].

Par conséquent, △ABC est un triangle isocèle.

Question 5 : Si D et E sont des points des côtés AB et AC respectivement de △ABC (figure 2) tels que AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm et AE = 1,8 cm, montrer que DE | | AVANT JC.

Solution:

Étant donné, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm et AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 et AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

contrôle du programme stocké

AD/AB = AE/AC

Par conséquent, à l’inverse du théorème de Thales, DE || AVANT JC.

Question 6 : Prouver que le segment de droite joignant les milieux de deux côtés quelconques d'un triangle (figure 2) est parallèle au troisième côté.

Solution:

Dans △ABC où D et E sont respectivement les milieux de AB et AC.

Puisque D et E sont respectivement les milieux de AB et AC, on a :

AD = DB et AE = EC.

AD/DB = AE/EC (chacun étant égal à 1)

Par conséquent, à l’inverse du théorème de Thales, DE || avant JC

Liens importants liés aux mathématiques :

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Questions pratiques Triangles similaires

T1. Dans deux triangles semblables △ABC et △ADE, si DE || BC et AD = 3 cm, AB = 8 cm et AC = 6 cm. Trouvez AE.

Q2. Dans deux triangles similaires △ABC et △PQR, si QR || BC et PQ = 2 cm, AB = 12 cm et AC = 9 cm. Trouvez des relations publiques.

Q3. Dans deux triangles similaires ΔABC et ΔAPQ, les longueurs des côtés sont données par AP = 9 cm, PB = 12 cm et BC = 24 cm. Trouvez le rapport des aires de ΔABC et ΔAPQ.

Q4. Dans deux triangles similaires ΔABC et ΔAPQ, les longueurs des côtés sont données par AP = 3 cm, PB = 4 cm et BC = 8 cm. Trouvez le rapport des aires de ΔABC et ΔAPQ.

Résumé – Triangles similaires

Les triangles similaires sont des figures géométriques qui partagent la même forme mais diffèrent en taille, caractérisées par des angles correspondants égaux et des côtés correspondants proportionnels. Des théorèmes clés comme Angle-Angle (AA), Side-Angle-Side (SAS) et Side-Side-Side (SSS) établissent des critères de similarité triangulaire.

Ces principes sont fondamentaux dans des domaines tels que l'ingénierie, l'infographie et l'architecture en raison de leur capacité à maintenir l'intégrité de la forme sous mise à l'échelle. Le théorème de Thales, ou théorème de proportionnalité de base, illustre comment une ligne parallèle à un côté d'un triangle divise les deux autres proportionnellement, démontrant ainsi le concept de similarité dans les triangles.

Des triangles similaires sont cruciaux pour des applications pratiques allant du calcul des hauteurs et des distances en navigation à l’optimisation des conceptions en technologie et en construction, démontrant leur grande pertinence dans des contextes académiques et réels.

Triangles similaires – FAQ

Que sont les triangles similaires de classe 10 ?

Les triangles similaires sont les triangles dont tous les angles sont égaux et dont les côtés sont dans une raison commune. Ils ont une forme similaire mais pas une surface similaire.

Que sont les formules de triangles similaires ?

Les formules de triangles similaires sont les formules qui nous indiquent si deux triangles sont similaires ou non. Pour deux triangles △ABC et △XYZ, la formule des triangles similaires est :

• ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y et ∠C = ∠Z
• AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Quel symbole est utilisé pour représenter des triangles similaires ?

Les triangles similaires sont représentés à l’aide du symbole « ~ ». Si deux triangles △ABC et △XYZ sont similaires, nous les représentons comme △ABC ~ △XYZ, il se lit comme le triangle ABC similaire au triangle XYZ.

Quels sont les 3 théorèmes triangulaires similaires ?

Nous pouvons facilement prouver que deux triangles sont similaires en utilisant le théorème des trois triangles qui sont :

• AA (ou AAA) ou théorème de similarité angle-angle
• Théorème de similarité SAS ou côté-angle-côté
• Théorème de similarité SSS ou côté-côté-côté

Quelles sont les propriétés des triangles similaires ?

Les propriétés importantes du triangle similaire sont :

• Des triangles similaires ont des formes fixes mais leurs tailles peuvent être différentes.
• Les angles correspondants sont égaux dans un triangle similaire.
• Les côtés correspondants sont en rapports communs dans un triangle similaire.

Comment savoir si deux triangles sont semblables ?

Si tous les angles d’un triangle sont égaux, alors on peut facilement dire que les triangles sont semblables.

Quels triangles sont toujours semblables ?

Le triangle toujours semblable est un triangle équilatéral. Comme tous les angles des triangles équilatéraux font toujours 60 degrés, deux triangles équilatéraux sont toujours similaires.

Qu’est-ce que la zone des triangles similaires ?

Le rapport des aires de deux triangles semblables est toujours égal au rapport des carrés de leurs côtés. Pour deux triangles △ABC et △XYZ, on peut dire que,

• zone △ABC / zone △XYZ = (AB / XY)²

Quels sont les critères du triangle similaire ?

Les critères de triangle similaire sont les critères dans lesquels nous pouvons déclarer trois triangles comme triangles similaires et ces trois critères sont :

• Critères AAA (angle-angle-critères)
• Critères SAS (critères côté-angle-côté)
• Critères SSS (critères côté-côté-côté)

Qui est le père des triangles similaires ?

Euclide, le mathématicien grec ancien souvent considéré comme le père de la géométrie, a fourni les principes fondamentaux pour comprendre des triangles similaires dans son ouvrage Elements.

Les triangles semblables sont-ils proportionnels ?

Oui, des triangles similaires sont proportionnels. Cela signifie que les côtés correspondants de triangles similaires sont proportionnels, ce qui implique que le rapport des côtés correspondants de triangles similaires reste constant.

Quels triangles sont toujours semblables ?

Les triangles qui ont les trois mêmes angles sont toujours semblables. Il s’agit d’une propriété fondamentale connue sous le nom de critère de similarité Angle-Angle (AA).

Tous les triangles rectangles sont-ils semblables ?

Non, tous les triangles rectangles ne sont pas semblables. Bien que les triangles rectangles ayant les mêmes angles aigus soient similaires, la longueur de l'hypoténuse et le rapport des longueurs des côtés peuvent différer, conduisant à une non-similarité entre les triangles rectangles.

Quel est le rapport de deux triangles semblables ?

Le rapport de deux côtés correspondants dans des triangles similaires reste constant. Cela signifie que si vous prenez les côtés correspondants de triangles similaires et formez un rapport, le résultat sera toujours le même, quelle que soit la longueur spécifique des côtés choisie.