Supposons qu'il existe deux énoncés composés, X et Y, qui seront appelés équivalence logique si et seulement si la table de vérité des deux contient les mêmes valeurs de vérité dans leurs colonnes. A l'aide du symbole = ou ⇔, nous pouvons représenter l'équivalence logique. Donc X = Y ou X ⇔ Y sera l'équivalence logique de ces affirmations.
À l’aide de la définition de l’équivalence logique, nous avons précisé que si les énoncés composés X et Y sont une équivalence logique, dans ce cas, X ⇔ Y doit être une tautologie.
Lois d'équivalence logique
Dans cette loi, nous utiliserons les symboles « ET » et « OU » pour expliquer la loi d'équivalence logique. Ici, AND est indiqué à l'aide du symbole ∧ et OR est indiqué à l'aide du symbole ∨. Il existe différentes lois d'équivalence logique, décrites comme suit :
Loi idempotente :
Dans la loi idempotente, nous n’utilisons qu’une seule affirmation. Selon cette loi, si nous combinons deux mêmes énoncés avec le symbole ∧(et) et ∨(ou), alors l’énoncé résultant sera l’énoncé lui-même. Supposons qu'il existe un énoncé composé P. La notation suivante est utilisée pour indiquer la loi idempotente :
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
La table de vérité de cette loi est décrite comme suit :
| P. | P. | P∨P | P∧P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de P, P ∨ P et P ∧ P.
On peut donc dire que P ∨ P = P et P ∧ P = P.
Lois commutatives :
Les deux énoncés sont utilisés pour montrer la loi commutative. Selon cette loi, si nous combinons deux énoncés avec le symbole ∧(et) ou ∨(ou), alors l'énoncé résultant sera le même même si nous changeons la position des énoncés. Supposons qu'il y ait deux affirmations, P et Q. La proposition de ces affirmations sera fausse lorsque les deux affirmations P et Q sont fausses. Dans tous les autres cas, ce sera vrai. La notation suivante est utilisée pour indiquer la loi commutative :
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
La table de vérité de ces notations est décrite comme suit :
| P. | Q | P∨Q | Q∨P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes P ∨ Q et Q ∨ P.
On peut donc dire que P ∨ Q ? Q∨P.
Comme nous pouvons le prouver P ∧ Q ? Q ∧ P.
Droit associatif :
Les trois énoncés sont utilisés pour montrer la loi associative. Selon cette loi, si nous combinons trois énoncés à l'aide de parenthèses par le symbole ∧(et) ou ∨(ou), alors l'énoncé résultant sera le même même si nous changeons l'ordre des parenthèses. Cela signifie que cette loi est indépendante de tout groupement ou association. Supposons qu'il y ait trois énoncés P, Q et R. La proposition de ces énoncés sera fausse lorsque P, Q et R sont faux. Dans tous les autres cas, ce sera vrai. La notation suivante est utilisée pour indiquer la loi associative :
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
La table de vérité de ces notations est décrite comme suit :
| P. | Q | R. | P∨Q | Q∨R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de P ∨ (Q ∨ R) et (P ∨ Q) ∨ R.
On peut donc dire que P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Comme nous pouvons le prouver P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Loi distributive :
Les trois énoncés sont utilisés pour montrer la loi distributive. Selon cette loi, si nous combinons une instruction par le symbole ∨(OR) avec les deux autres instructions qui sont jointes avec le symbole ∧(AND), alors l'instruction résultante sera la même même si nous combinons séparément les instructions avec le symbole ∨(OR) et en combinant les instructions jointes avec ∧(AND). Supposons qu'il y ait trois énoncés P, Q et R. La notation suivante est utilisée pour indiquer la loi distributive :
abstraction en java
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
La table de vérité de ces notations est décrite comme suit :
| P. | Q | R. | Q∧R | P∨(Q∧R) | P∨Q | P∨R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de P ∨ (Q ∧ R) et (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
On peut donc dire que P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Comme nous pouvons le prouver P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Droit de l'identité :
Une seule déclaration est utilisée pour montrer la loi d'identité. Selon cette loi, si nous combinons une instruction et une valeur vraie avec le symbole ∨(ou), alors cela générera la valeur vraie. Si nous combinons une instruction et une valeur False avec le symbole ∧(et), alors cela générera l'instruction elle-même. De même, nous ferons cela avec les symboles opposés. Cela signifie que si nous combinons une instruction et une valeur True avec le symbole ∧(and), alors cela générera l'instruction elle-même, et si nous combinons une instruction et une valeur False avec le symbole ∨(or), alors cela générera l'instruction. Fausse valeur. Supposons qu'il existe un énoncé composé P, une vraie valeur T et une fausse valeur F. La notation suivante est utilisée pour indiquer la loi d'identité :
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
La table de vérité de ces notations est décrite comme suit :
| P. | T | F | P∨T | P∨F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de P ∨ T et T. Par conséquent, nous pouvons dire que P ∨ T = T. De même, ce tableau contient également les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de P ∨ F et P. Par conséquent on peut dire que P ∨ F = P.
Comme nous pouvons le prouver P ∧ T ? P et P ∧ F ? F
Loi complémentaire :
Une instruction Single est utilisée dans la loi du complément. Selon cette loi, si nous combinons une instruction avec son instruction complémentaire avec le symbole ∨(ou), alors elle générera la valeur Vraie, et si nous combinons ces instructions avec le symbole ∧(et), alors elle générera la valeur Faux. valeur. Si nous annulons une vraie valeur, cela générera une fausse valeur, et si nous annulons une fausse valeur, cela générera la vraie valeur.
La notation suivante est utilisée pour indiquer la loi complémentaire :
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
La table de vérité de ces notations est décrite comme suit :
| P. | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de P ∨ ¬P et T. Par conséquent, nous pouvons dire que P ∨ ¬P = T. De même, ce tableau contient également les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de P ∧ ¬P et F. On peut donc dire que P ∧ ¬P = F.
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de ¬T et F. Par conséquent, nous pouvons dire que ¬T = F. De même, ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de ¬F et T. Nous pouvons donc dire que ¬F = T.
Loi de la double négation ou loi d'involution
Une seule instruction est utilisée pour montrer la loi de la double négation. Selon cette loi, si nous effectuons la négation d’un énoncé nié, alors l’énoncé résultant sera l’énoncé lui-même. Supposons qu’il existe une déclaration P et une déclaration négative ¬P. La notation suivante est utilisée pour indiquer la loi de la double négation :
¬(¬P) ? P
La table de vérité de ces notations est décrite comme suit :
égalité des objets Java
| P. | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de ¬(¬P) et P. On peut donc dire que ¬(¬P) = P.
De la loi de Morgan :
Les deux affirmations sont utilisées pour montrer la loi de De Morgan. Selon cette loi, si nous combinons deux énoncés avec le symbole ∧(AND) puis effectuons la négation de ces énoncés combinés, alors l'énoncé résultant sera le même même si nous combinons la négation des deux énoncés séparément avec le symbole ∨( OU). Supposons qu'il existe deux énoncés composés, P et Q. La notation suivante est utilisée pour indiquer la loi de De Morgan :
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
La table de vérité de ces notations est décrite comme suit :
| P. | Q | ¬P | ¬Q | P ∧Q | ¬(P ∧Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de ¬(P ∧ Q) et ¬ P ∨ ¬Q. On peut donc dire que ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Comme nous pouvons le prouver ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Loi d'absorption :
Les deux déclarations sont utilisées pour montrer la loi d’absorption. Selon cette loi, si nous combinons une instruction P par le symbole ∨(OR) avec la même instruction P et une autre instruction Q, qui sont jointes au symbole ∧(AND), alors l'instruction résultante sera la première instruction P. Le même résultat sera généré si nous échangeons les symboles. Supposons qu'il existe deux énoncés composés, P et Q. La notation suivante est utilisée pour indiquer la loi d'absorption :
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
La table de vérité de ces notations est décrite comme suit :
| P. | Q | P ∧Q | P∨Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de P ∨ (P ∧ Q) et P. On peut donc dire que P ∨ (P ∧ Q) ? P.
De même, ce tableau contient également les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de P ∧ (P ∨ Q) et P. On peut donc dire que P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Exemples d'équivalence logique
Il existe divers exemples d’équivalence logique. Certains d’entre eux sont décrits comme suit :
Exemple 1: Dans cet exemple, nous établirons la propriété d'équivalence pour une instruction, qui est décrite comme suit :
p → q ? ¬p ∨q
Solution:
Nous allons le prouver à l’aide d’une table de vérité, décrite comme suit :
| P. | Q | ¬p | p → q | ¬p ∨q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes de p → q et ¬p ∨ q. On peut donc dire que p → q ? ¬p ∨ q.
Exemple 2 : Dans cet exemple, nous établirons la propriété d'équivalence pour une instruction, qui est décrite comme suit :
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Solution:
| P. | Q | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Ce tableau contient les mêmes valeurs de vérité dans les colonnes P ↔ Q et (P → Q) ∧ (Q → P). On peut donc dire que P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Exemple 3 : Dans cet exemple, nous utiliserons la propriété équivalente pour prouver l’énoncé suivant :
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Solution:
Pour le prouver, nous utiliserons certaines des lois décrites ci-dessus et de cette loi nous avons :
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Nous allons maintenant utiliser la loi commutative dans l’équation ci-dessus et obtenir ce qui suit :
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Nous allons maintenant utiliser la loi distributive dans cette équation et obtenir ce qui suit :
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Nous allons maintenant utiliser la loi distributive dans cette équation et obtenir ce qui suit :
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Nous allons maintenant utiliser la loi du complément dans cette équation et obtenir ce qui suit :
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Nous allons maintenant utiliser la loi de l'identité et obtenir ce qui suit :
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Nous allons maintenant utiliser la loi commutative dans cette équation et obtenir ce qui suit :
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Finalement, l’équation (1) devient la suivante :
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Finalement, on peut dire que l'équation (1) devient p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)