Rang d'une matrice est défini comme la dimension de l'espace vectoriel formé par ses colonnes. Rang d'une matrice est un concept très important dans le domaine de l'algèbre linéaire, car il nous aide à savoir si nous pouvons ou non trouver une solution au système d'équations. Le rang d'une matrice nous aide également à connaître la dimensionnalité de son espace vectoriel.

Cet article explore en détail le concept de rang d'une matrice, y compris sa définition, comment calculer le rang de la matrice ainsi qu'une nullité et sa relation avec le rang. Nous apprendrons également comment résoudre certains problèmes basés sur le rang d’une matrice. Commençons donc par la définition du rang de la matrice.

Table des matières

• Qu'est-ce que le rang de la matrice ?
• Comment calculer le rang d’une matrice ?
• Propriétés du rang de la matrice
• Exemples de rang d'une matrice
• FAQ

Qu’est-ce que le rang de la matrice ?

Le rang d'une matrice est un concept fondamental de l'algèbre linéaire, qui mesure le nombre maximum de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes dans n'importe quelle matrice. En d’autres termes, il vous indique combien de lignes ou de colonnes d’une matrice ne sont pas utiles et contribuent aux informations globales ou à la dimensionnalité de la matrice. Définissons le rang d'une matrice.

Rang d'une définition de matrice

Le rang d'une matrice est défini comme le nombre de lignes linéairement indépendantes dans un matrice .

pas nul en js

Il est noté ρ(A) où A est n’importe quelle matrice. Ainsi, le nombre de lignes d'une matrice est une limite du rang de la matrice, ce qui signifie que le rang de la matrice ne peut pas dépasser le nombre total de lignes d'une matrice.

Par exemple, si une matrice est de l’ordre 3×3 alors le rang maximum d’une matrice peut être 3.

Note: Si une matrice a toutes les lignes avec zéro élément, alors le rang d’une matrice est dit zéro.

Nullité de Matrice

Dans une matrice donnée, le nombre de vecteurs dans l'espace nul est appelé la nullité de la matrice ou il peut également être défini comme la dimension de l'espace nul de la matrice donnée.

Total des colonnes dans une matrice = Rang + Nullité

En savoir plus sur Théorème de nullité de rang .

Comment calculer le rang d’une matrice ?

Il existe 3 méthodes qui peuvent être utilisées pour obtenir le rang d’une matrice donnée. Ces méthodes sont les suivantes :

• Méthode mineure
• Utiliser le formulaire échelonné
• Utiliser la forme normale

Discutons de ces méthodes en détail.

Méthode mineure

Prérequis: Mineurs de Matrix

Afin de trouver le rang d'une matrice à l'aide de la méthode mineure, les étapes suivantes sont suivies :

• Calculez le déterminant de la matrice (disons A). Si det(A) ≠ 0, alors rang de la matrice A = ordre de la matrice A.
• Si det(A) = 0, alors le rang de la matrice est égal à l'ordre du mineur maximum non nul possible de la matrice.

Voyons comment trouver le rang d'une matrice en utilisant la méthode mineure.

Exemple : Trouver le rang de la matrice egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} en utilisant une méthode mineure.

DonnéA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Étape 1 : Calculer le déterminant de A

il(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

il(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Comme det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordre de A = 3

Utiliser le formulaire échelonné

La méthode mineure devient très fastidieuse si l’ordre de la matrice est très grand. Donc, dans ce cas, nous convertissons la matrice en forme échelonnée. Une matrice qui est dans forme triangulaire supérieure ou forme triangulaire inférieure est considéré comme étant sous forme échelonnée. Une matrice peut être convertie en sa forme échelonnée en utilisant opérations élémentaires sur les lignes . Les étapes suivantes sont suivies pour calculer le rang d'une matrice à l'aide du formulaire Echelon :

• Convertissez la matrice donnée dans sa forme échelonnée.
• Le nombre de lignes non nulles obtenues sous la forme Echelon de la matrice est le rang de la matrice.

Voyons comment trouver le rang d'une matrice en utilisant la méthode mineure.

Exemple : Trouver le rang de la matrice egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} en utilisant la méthode du formulaire Echelon.

DonnéA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Étape 1 : Convertir A en forme échelonnée

Appliquer R₂= R₂– 4R₁

Appliquer R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Appliquer R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Comme la matrice A est maintenant sous forme triangulaire inférieure, elle est sous forme échelonnée.

• Étape 2 : Nombre de lignes non nulles dans A = 2. Ainsi ρ(A) = 2

Utiliser la forme normale

Une matrice est dite sous forme normale si elle peut être réduite à la forme egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Ici je_rreprésente la matrice identité d'ordre r. Si une matrice peut être convertie dans sa forme normale, alors le rang de la matrice est dit r.

Voyons comment trouver le rang d'une matrice en utilisant la méthode mineure.

Exemple : Trouver le rang de la matrice old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} en utilisant la méthode de la forme normale.

DonnéA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Appliquer R₂= R₂-R₁, R₃= R₃– 2R₁et R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Appliquer R₁= R₁– 2R₂et R₄= R₄-R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Appliquer R₁= R₁+R₃et R₂= R₂-R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Appliquer C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Ainsi A peut s’écrire egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Ainsi, ρ(A) = 3

inversion de chaîne en c

Propriétés du rang de la matrice

Les propriétés du rang de la matrice sont les suivantes :

• Le rang d'une matrice est égal à l'ordre de la matrice s'il s'agit d'une matrice non singulière.
• Le rang d'une matrice est égal au nombre de lignes non nulles si elle est sous forme échelonnée.
• Le rang de la matrice est égal à l’ordre de la matrice d’identité si elle est sous forme normale.
• Rang de la matrice
• Rang de la matrice
• Le rang de la matrice identité est égal à l’ordre de la matrice identité.
• Le rang d'une matrice nulle ou d'une matrice nulle est zéro.

En savoir plus,

• Types de matrices
• Transposition d'une matrice
• Inverse de la matrice

Exemples de rang d'une matrice

ET exemple 1 : Trouver le rang de la matrice old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} en utilisant une méthode mineure.

Solution:

DonnéA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Étape 1 : Calculer le déterminant de A

il(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

il(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Comme det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordre de A = 3

Exemple 2. Trouver le rang de la matrice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} en utilisant une méthode mineure.

Solution:

DonnéA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Étape 1 : Calculer le déterminant de A

il(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

il(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Comme det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordre de A = 3

Exemple 3. Trouver le rang de la matrice old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} en utilisant la méthode du formulaire Echelon.

chaîne en entier java

Solution:

DonnéA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Étape 1 : Convertir A en forme échelonnée

Appliquer R₂= R₂– 4R₁

Appliquer R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Appliquer R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Comme la matrice A est maintenant sous forme triangulaire inférieure, elle est sous forme échelonnée.

Étape 2 : Nombre de lignes non nulles dans A = 2. Ainsi ρ(A) = 2

Exemple 4. Trouver le rang de la matrice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} en utilisant la méthode du formulaire Echelon.

Solution:

DonnéA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Étape 1 : Convertir A en forme échelonnée

Appliquer R₂= R₂– 4R₁

Appliquer R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Appliquer R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Comme la matrice A est maintenant sous forme triangulaire inférieure, elle est sous forme échelonnée.

Étape 2 : Nombre de lignes non nulles dans A = 2. Ainsi ρ(A) = 2

Exemple 5. Trouver le rang de la matrice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} en utilisant la méthode de la forme normale.

Solution:

DonnéA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Appliquer R₂= R₂-R₁, R₃= R₃– 2R₁et R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Appliquer R₁= R₁– 2R₂et R4 = R₄-R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Appliquer R₁= R₁+R₃et R₂= R₂-R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Appliquer C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Appliquer R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Ainsi A peut s’écrireegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Ainsi, ρ(A) = 3

Rang d'une matrice – FAQ

Définir le rang d'une matrice.

Le rang d'une matrice est défini comme le nombre de lignes linéairement indépendantes dans une matrice. Il est noté ρ(A) où A est n’importe quelle matrice.

Comment trouver le rang d’une matrice ?

Le classement de la matrice peut être calculé à l'aide de diverses méthodes telles que :

• Méthode mineure
• Utiliser le formulaire échelonné
• Utiliser la forme normale

Quel est le rang de la matrice si le déterminant de la matrice n'est pas égal à zéro ?

Si le déterminant d’une matrice est nul, alors le rang de la matrice est égal à l’ordre de la matrice.

Quand dit-on qu’une matrice est sous forme échelonnée ?

Une matrice qui est sous forme triangulaire supérieure ou sous forme triangulaire inférieure est dite sous forme échelonnée.

Quelle est la forme normale de la matrice ?

Une matrice est dite sous forme normale si elle peut s’écrire egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} Où je_rest la matrice identité d’ordre ‘r’.

Quel est le rang de la matrice nulle ?

Le rang d'une matrice nulle est nul.

Quel est le rang d’une matrice d’identité ?

Le rang d'une matrice d'identité est égal à l'ordre de la matrice.

facteur

Quelle est la relation entre la nullité et le rang d’une matrice ?

La relation entre nullité et rang d’une matrice est :

Total des colonnes dans une matrice = Rang + Nullité