Inverse d'une matrice 3 × 3 est un matrice qui, multiplié par la matrice originale, donne le matrice d'identité comme le produit. L'inverse d'une matrice est un aspect fondamental de l'algèbre linéaire. Ce processus joue un rôle crucial dans la résolution de systèmes d'équations linéaires et de diverses applications mathématiques. Pour calculer l'inverse, il est nécessaire de calculer la matrice adjointe, de vérifier l'inversibilité de la matrice en examinant son déterminant (qui ne doit pas être égal à zéro) et d'appliquer une formule pour dériver la matrice inverse.

Cet article couvre les différents concepts de l'inverse de la matrice 3 × 3 et comment trouver l'inverse de la matrice 3 × 3 en calculant les cofacteurs, les adjoints et les déterminants de la matrice 3 × 3. Plus loin dans cet article, vous trouverez également des exemples résolus pour une meilleure compréhension, et des questions pratiques sont également proposées pour vérifier ce que nous en avons appris.

Table des matières

• Quel est l’inverse de la matrice 3 × 3 ?
• Comment trouver l’inverse de la matrice 3 × 3 ?
• Éléments utilisés pour trouver l'inverse de la matrice 3 × 3
• Inverse de la formule matricielle 3 × 3
• Trouver l'inverse d'une matrice 3 × 3 à l'aide d'opérations sur les lignes

Quel est l’inverse de la matrice 3 × 3 ?

L'inverse d'une matrice 3 × 3 est une matrice qui, lorsqu'elle est multipliée par la matrice d'origine, donne la matrice d'identité. Pour trouver l'inverse, vous pouvez calculer la matrice adjointe, déterminer si la matrice est inversible (non singulière) en vérifiant son déterminant (qui ne doit pas être égal à zéro), puis appliquer la formule A.^-1= (adj A) / (dét A). La matrice inverse vous permet de résoudre des systèmes d'équations linéaires et d'effectuer diverses opérations mathématiques.

Comment trouver l’inverse de la matrice 3 × 3 ?

Suivez les étapes ci-dessous pour trouver l'inverse de la matrice 3 × 3 :

Étape 1: Tout d’abord, vérifiez si la matrice peut être inversée. Pour ce faire, calculez le déterminant de la matrice. Si le déterminant n’est pas nul, passez à l’étape suivante.

Étape 2: Calculez le déterminant des matrices 2 × 2 plus petites dans la matrice plus grande.

Étape 3: Créez la matrice des cofacteurs.

Étape 4: Obtenez l'Adjugate ou Adjoint de la matrice en effectuant la transposition de la matrice cofacteur.

Étape 5 : Enfin, divisez chaque élément de la matrice adjugée par le déterminant de la matrice originale 3 par 3.

Lecture connexe

• Cofacteur et mineurs de la matrice
• Transposition de la matrice

Éléments utilisés pour trouver l'inverse de la matrice 3 × 3

Il y a principalement deux éléments utilisés pour trouver l'inverse d'une matrice 3 × 3 :

• Adjoint de la matrice
• Déterminant de la matrice

Adjoint d'une matrice 3 × 3

Le adjoint d'une matrice A est trouvé en prenant la transposée de la matrice cofacteur de A. Pour calculer l'adjoint d'une matrice en détail, suivez les instructions fournies.

Pour une matrice 3 × 3, le cofacteur de tout élément est le déterminant d'une matrice 2 × 2 formée en supprimant la ligne et la colonne contenant cet élément. Lors de la recherche de cofacteurs, vous alternez entre signes positifs et négatifs.

Par exemple, étant donné la matrice A :

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

La matrice Mineure est obtenue comme suit :

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Calculez les déterminants des matrices 2 × 2 formées en multipliant en diagonale et en soustrayant les produits de gauche à droite, c'est-à-dire Mineur.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Ainsi, la matrice des cofacteurs est :

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

En transposant la matrice cofacteur, on obtient la matrice adjointe.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Déterminant d'une matrice 3 × 3

En utilisant le même exemple que celui discuté ci-dessus, nous pouvons calculer le déterminant de la matrice A.

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Calculez le déterminant de la matrice en utilisant la première ligne,

Det A = 2 (cofacteur de 2) + 1 (cofacteur de 1) + 3 (cofacteur de 3)

Que A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Que A = 2 + 4 – 6

Que A = 0

Tu peux vérifier Astuce pour calculer le déterminant d'une matrice 3×3

Inverse de la formule matricielle 3 × 3

Pour trouver l'inverse d'une matrice A 3 × 3, vous pouvez utiliser la formule A-1 = (adj A) / (det A), où :

• adj A est la matrice adjointe de A.
• det A est le déterminant de A.

Pour que A-1 existe, det A ne doit pas être égal à zéro. Cela signifie:

• UN^-1existe lorsque det A n'est pas nul (A n'est pas singulier).
• UN^-1n'existe pas lorsque det A est nul (A est singulier).

Voici les étapes pour trouver l'inverse d'une matrice 3 × 3, en utilisant le même exemple :

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Étape 1: Calculez la matrice adjointe (adj A).

Pour trouver la matrice adjointe, remplacez les éléments de A par leurs cofacteurs correspondants.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Étape 2: Trouvez le déterminant de A (det A).

Pour calculer le déterminant de A, vous pouvez utiliser la formule d’une matrice 3 × 3. Dans ce cas, det A = -8.

algorithme mince

Étape 3 : Appliquer la formule A^-1= (adj A) / (det A) pour trouver la matrice inverse A^-1.

Divisez chaque élément de la matrice adjointe par le déterminant de A :

UN ^-1 = adj A/ Dét A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

En simplifiant les fractions,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Trouver l'inverse d'une matrice 3 × 3 à l'aide d'opérations sur les lignes

Pour trouver l’inverse d’une matrice 3×3, vous pouvez suivre ces étapes :

Étape 1: Commencez avec la matrice A 3 × 3 donnée et créez une matrice d'identité I de même taille, en plaçant A sur le côté gauche et I sur le côté droit d'une matrice augmentée, séparés par une ligne.

protocole UDP

Étape 2: Appliquez une série d'opérations sur les lignes à la matrice augmentée du côté gauche pour la transformer en matrice identité I. La matrice du côté droit de la ligne, qui devient A^-1, est l'inverse de la matrice originale A.

Apprendre encore plus, Fonctionnement élémentaire des matrices

Vérifiez également

• Types de matrices
• Matrice inversible
• Trace d'une matrice

Exemples résolus sur l'inverse de la matrice 3 × 3

Exemple 1 : Trouver l'inverse de

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Solution:

Matrice mineure de D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Matrice mineure de D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Cofacteur de la matrice, c'est-à-dire X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transposition de la matrice X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Maintenant, nous allons trouver le déterminant de D en utilisant la première ligne :

Que D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Que D = 6+0+14

⇒ Que D = 20

Inverse de la matrice D ou D^-1= Adj D / Dét D

⇒D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Exemple 2 : Trouver l'inverse de

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Mineur de la Matrice E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Cofacteur de la matrice E, c'est-à-dire X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj. E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Trouvons maintenant le déterminant de la matrice E en utilisant la première ligne :

Que E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Que E= -1 + 0 + 1

Que E = 0

∴ Comme le déterminant de la matrice E est équivalent à 0, l'inverse de la matrice E ou E^-1n'est pas possible.

Questions pratiques sur l'inverse de la matrice 3 × 3

T1. Calculez l’inverse de la matrice 3×3 suivante :

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Trouvez l'inverse de la matrice B :

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Déterminez si la matrice C est inversible et, si oui, trouvez son inverse :

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Calculez l'inverse de la matrice D :

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. Pour la matrice E, vérifiez si elle est inversible et, si c'est le cas, trouvez son Inverse :

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Inverse de la matrice 3×3 – FAQ

1. Quel est l’inverse d’une matrice 3×3 ?

L'inverse d'une matrice 3 × 3 est une autre matrice qui, multipliée par la matrice d'origine, donne la matrice d'identité.

2. Pourquoi est-il important de trouver l’inverse ?

Il est essentiel pour résoudre des systèmes d’équations linéaires, de transformations et diverses opérations mathématiques.

3. Comment calculez-vous l’inverse d’une matrice 3×3 ?

Vous trouvez généralement la matrice adjointe, vérifiez la valeur non nulle du déterminant et appliquez une formule spécifique.

4. Quand l’inverse d’une matrice 3×3 n’existe-t-il pas ?

Il n’existe pas lorsque le déterminant de la matrice est nul, ce qui la rend singulière.

5. N’importe quelle matrice 3×3 peut-elle avoir un inverse ?

Non, seules les matrices non singulières avec un déterminant non nul ont des inverses.

6. Quel est le rôle de la matrice adjointe dans la recherche de l'inverse ?

La matrice adjointe aide à calculer l'inverse en fournissant des cofacteurs pour chaque élément.

7. Dans quels domaines le concept d’inversion de matrice 3×3 est-il largement utilisé ?

Le concept d'inversion de matrice 3 × 3 est utilisé en ingénierie, en physique, en infographie et dans diverses disciplines mathématiques.

8. Comment obtenir l’inverse de la matrice 3×3 ?

Pour trouver l’inverse d’une matrice 3×3, vous pouvez suivre ces étapes :

• Tout d’abord, calculez le déterminant de la matrice.
• Si le déterminant n’est pas égal à 0, passez à l’étape suivante. Si c’est 0, la matrice n’a pas d’inverse.
• Trouvez la matrice des mineurs en créant des matrices 3×3 pour chaque élément de la matrice d'origine, à l'exclusion de la ligne et de la colonne de l'élément sur lequel vous vous concentrez.
• Calculez la matrice des cofacteurs en appliquant un motif de signes plus et moins aux éléments de la matrice des mineurs.
• Transposez la matrice des cofacteurs en échangeant les lignes avec les colonnes.
• Enfin, divisez la matrice transposée des cofacteurs par le déterminant pour obtenir l'inverse de la matrice 3×3.