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Formules d'intégration

Formules d'intégration sont les formules de base utilisées pour résoudre divers problèmes intégraux. Ils sont utilisés pour trouver l'intégration d'expressions algébriques, de rapports trigonométriques, de fonctions trigonométriques inverses et de fonctions logarithmiques et exponentielles. Ces formules d'intégration sont très utiles pour trouver l'intégration de diverses fonctions.

L'intégration est le processus inverse de différenciation, c'est-à-dire si d/dx (y) = z, alors ∫zdx = y. L'intégration de n'importe quelle courbe donne l'aire sous la courbe. On retrouve l'intégration par deux méthodes Intégration Indéfinie et Intégration Définie. Dans l'intégration indéfinie, il n'y a pas de limite à l'intégration alors que dans l'intégration définie, il y a une limite en dessous de laquelle la fonction est intégrée.



Apprenons-en davantage formules intégrales, et leur classification, en détail dans cet article.

Table des matières

Calcul intégral

Calcul intégral est une branche du calcul qui traite de la théorie et des applications des intégrales. Le processus de recherche d’intégrales est appelé intégration. Le calcul intégral aide à trouver les primitives d'une fonction. Les primitives sont également appelées intégrales d'une fonction. Il est noté par ∫f(x)dx. Le calcul intégral traite la valeur totale, telle que les longueurs, les surfaces et les volumes. L'intégrale peut être utilisée pour trouver des solutions approximatives à certaines équations de données données. Le calcul intégral implique deux types d'intégration :



  • Indéfini Intégrales
  • Intégrales définies

Que sont les formules d'intégration ?

Les formules d'intégration ont été globalement présentées comme les ensembles de formules suivants. Les formules comprennent des formules d'intégration de base, l'intégration de rapports trigonométriques, des fonctions trigonométriques inverses, le produit de fonctions et certains ensembles avancés de formules d'intégration. L'intégration est une manière d'unir les parties pour former un tout. C'est l'opération inverse de la différenciation. Ainsi, la formule d’intégration de base est

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Formules d'intégration



En utilisant cela, les formules d'intégration suivantes sont dérivées.

Les différentes formules de calcul intégral sont

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫xndx = frac{x^{n+1}}{n+1} +C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = journalC'est|x| +C
  4. ∫eXdx = eX+C
  5. ∫uneXdx = (uneX/ enregistrerC'esta) +C

De plus, les formules intégrales sont discutées ci-dessous dans l'article,

Note:

  • d/dx [∫f(x)dx] = f(x)
  • ∫k. f(x) dx = k ∫f(x) dx , où k est constant
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Formules d'intégration de base

Certaines des formules de base d'intégration utilisées pour résoudre les problèmes d'intégration sont discutées ci-dessous. Ils sont dérivés du théorème fondamental de l’intégration. La liste des formules intégrales de base est donnée ci-dessous :

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫xndx = x(n+1)/(n + 1)+C
  • ∫ 1/x dx = log |x| +C
  • ∫ etXdx = eX+C
  • ∫ unXdx = uneX/log a+C
  • ∫ etX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {où, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Classification des formules intégrales

Les formules intégrales sont classées en différentes catégories en fonction de la fonction suivante.

  • Fonctions rationnelles
  • Fonctions irrationnelles
  • Fonctions hyperboliques
  • Fonctions hyperboliques inverses
  • Fonctions trigonométriques
  • Fonctions trigonométriques inverses
  • Fonctions exponentielles
  • Fonctions logarithmiques

Formules d'intégration de fonctions trigonométriques

Les formules d'intégration des fonctions trigonométriques sont utilisées pour résoudre les équations intégrales impliquant des fonctions trigonométriques. Une liste de formules intégrales impliquant des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses est donnée ci-dessous,

  • ∫ cos x dx = péché x + C
  • ∫ péché x dx = -cos x + C
  • ∫ secondes2x dx = bronzage x + C
  • ∫ cosec2x dx = -lit x + C
  • ∫ sec x tan x dx = sec x + C
  • ∫ cosec x lit bébé x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = journal |sec x| +C
  • ∫ lit bébé x dx = log |sin x| +C
  • ∫ sec x dx = log |sec x + tan x| +C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – lit x| +C

Formules d'intégration de fonctions trigonométriques inverses

Diverses formules d'intégration de fonctions trigonométriques inverses utilisées pour résoudre des questions intégrales sont données ci-dessous,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = péché-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = bronzage-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = lit bébé-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = seconde-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosec-1x + C

Formules d'intégration avancées

Certaines autres formules d'intégration avancées qui sont d'une grande importance pour la résolution des intégrales sont discutées ci-dessous,

  • ∫1/(x2- un2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(un2- X2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| +C
  • ∫1/(x2+ un2) dx = 1/un bronzage-1x/a + C
  • ∫1/√(x2- un2)dx = journal |x +√(x2- un2)| +C
  • ∫ √(x2- un2) dx = x/2 √(x2- un2) -un2/2 journal |x + √(x2- un2)| +C
  • ∫1/√(une2- X2) dx = péché-1x/a + C
  • ∫√(un2- X2) dx = x/2 √(une2- X2) dx + une2/2 sans-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ un2) dx = journal |x + √(x2+ un2)| +C
  • ∫ √(x2+ un2) dx = x/2 √(x2+ un2)+ un2/2 journal |x + √(x2+ un2)| +C

Différentes formules d'intégration

Différents types de méthodes d'intégration sont utilisés pour résoudre différents types de questions intégrales. Chaque méthode est un résultat standard et peut être considérée comme une formule. Certaines des méthodes importantes sont abordées ci-dessous dans cet article. Vérifions les trois méthodes d'intégration importantes.

  • Formule d'intégration par pièces
  • Formule d'intégration par substitution
  • Formule d'intégration par fractions partielles

Formule d'intégration par pièces

Intégration par pièces La formule est appliquée lorsque la fonction donnée est facilement décrite comme le produit de deux fonctions. La formule d'intégration par parties utilisée en mathématiques est donnée ci-dessous,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Exemple : Calculer ∫ xe X dx

Solution:

∫ voitureXdx est de la forme ∫ f(x) g(x) dx

soit f(x) = x et g(x) = eX

nous savons que, ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ voitureXdx = x ∫eXdx – ∫( 1 ∫eXdx) dx+c

= voitureX- C'estX+c

Formule d'intégration par substitution

Formule d'intégration par substitution est appliqué lorsqu’une fonction est fonction d’une autre fonction. c'est-à-dire soit I = ∫ f(x) dx, où x = g(t) tel que dx/dt = g'(t), alors dx = g'(t)dt

Maintenant, je = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Exemple : Évaluer ∫ (4x +3) 3 dx

Solution:

Soit u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

listes de latex

= 1/4 ∫(u)3du

= 1/4. dans4/5

= toi4/vingt

= 4x ​​​​+3)4/vingt

Formule d'intégration par fractions partielles

Intégration par fractions partielles La formule est utilisée lorsque l'intégrale de P(x)/Q(x) est requise et que P(x)/Q(x) est une fraction impropre, telle que le degré de P(x) est inférieur au (<) le degré de Q(x), alors la fraction P(x)/Q(x) s'écrit

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/Q(x)

où

  • R(x) est un polynôme en x
  • P. 1 (x)/Q(x) est une fonction rationnelle propre

Maintenant l'intégration de R(x) + P1(x)/ Q(x) est facilement calculé à l’aide des formules discutées ci-dessus.

Application des intégrales

Les formules intégrales sont des formules très utiles en mathématiques qui sont utilisées pour diverses tâches. Divers applications des intégrales comprend :

  • Trouver la longueur de la courbe
  • Trouver l'aire sous la courbe
  • Trouver des valeurs approximatives de la fonction
  • Déterminer le chemin d'un objet et des autres
  • Pour trouver l'aire sous la courbe
  • Pour trouver la surface et le volume de formes irrégulières
  • Pour trouver le centre de masse ou le centre de gravité

Ces formules sont essentiellement classées en deux catégories,

  • Formules d'intégration définies
  • Formules d'intégration indéfinies

Formule d'intégration définitive

Des formules intégrales définies sont utilisées lorsque la limite de l'intégration est donnée. En intégration définie, la solution à la question est une valeur constante. Généralement, l'intégration définie est résolue comme suit:

∫ un b f(x)dx = F(b) – F(a)

Formule d'intégration indéfinie

Les formules d'intégration indéfinie sont utilisées pour résoudre l'intégration indéfinie lorsque la limite d'intégration n'est pas donnée. En intégration indéfinie, on utilise la constante de l'intégration qui est généralement notée C

∫f(x) = F(x) + C

  • Intégrales indéfinies
  • Définir les propriétés intégrales
  • Intégration de fonctions trigonométriques

Exemples sur les formules intégrales

Exemple 1 : évaluer

  • ∫x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 X dx
  • ∫4e X dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/péché 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )]dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)]dx
  • ∫(1 /cos x tanx) dx

Solution:

(je)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) +C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) +C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

=x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(iv) ∫3 X dx

= (3X/ enregistrerC'est3) +C [ ∫une X dx = (une X / enregistrer C'est a) +C]

(v) ∫4e X dx

= 4∫eXdx [∫k. f(x) dx = k f(x) dx , où k est constant]

= 4 etX+C [∫e X dx = e X +C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . sec x dx [ ∫tan x .sec x dx = sec x + C ]

= seconde x + C

(vii) ∫(1/péché 2 x) dx

= ∫cosec2x dx [∫cosec 2 x dx = -lit x + C ]

= -lit x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )]dx

= ∫[1/√(22- X2)]dx [nous le savons, dx = sin -1 (x/a) + C]

= sans-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}]dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [nous le savons,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)s-1(x/a) + C]

= (1/3) seconde-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tanx) dx

= ∫[cos x /(cos x péché x)] dx

= ∫(1/ péché x) dx

= ∫cosec x dx [nous savons que, ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| +C]

= log |cosec x – cot x| + C

Exemple 2 : Évaluer ∫{e 9journal C'est X + et 8journal C'est X }/{C'est 6log C'est X + et 5journal C'est X } dx

Solution:

Depuis, C'est tremblement C'est X =x un

∫{e 9journal C'est X + et 8journal C'est X }/{C'est 6log C'est X + et 5journal C'est X } dx

= ∫{x9+x8}/{X6+x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫x8/X5dx

= ∫x3dx [nous le savons, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) +C

Exemple 3 : Évaluer ∫ sin x + cos x dx

Solution:

∫(péché x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [nous savons que, ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + péché x + C [nous savons que, ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Exemple 4 : Évaluer ∫4 x+2 dx

Solution:

∫4 x+2 dx = ∫4X. 42dx

= ∫16. 4Xdx [ nous savons que∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , où k est constant]

= 16∫ 4Xdx [∫une X dx = (une X / enregistrer C'est a) +C]

= 16 (4X/log 4) + C

Exemple 5 : Évaluer ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Solution:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫x0dx [Nous le savons, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] +C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Exemple 6 : Évaluer ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Solution:

1 + cos 2x = 2 cos 2 X

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)]dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 s2XDX

= 2∫sec2x dx [Nous le savons, ∫sec 2 x dx = bronzage x + C ]

= 2 bronzage x + C

Exemple 7 : Évaluer ∫(3cos x – 4sin x + 5 sec 2 x) dx

Solution:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sec 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sec2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, où k est constant]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sec2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Problèmes pratiques sur les formules d'intégration

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

FAQ sur les formules d'intégration

Que sont toutes les formules d'intégration ?

Les formules d'intégration sont les formules utilisées pour résoudre divers problèmes d'intégration,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫xndx = x(n+1)/(n + 1)+C
  • ∫ 1/x dx = log |x| +C
  • ∫ etXdx = eX+C
  • ∫ unXdx = uneX/log a+C
  • ∫ etX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {où, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Quelles sont les formules d’intégration d’UV ?

La formule d'intégration de uv est,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Que signifie l’intégration en mathématiques ?

Si la dérivée de la fonction g(x) est f(x) alors l'intégration de f(x) est g(x), c'est-à-dire ∫f(x)dx = g(x). L'intégration est représentée par le symbole ∫

Comment intégrer à l’aide de formules d’intégration ?

L'intégration peut être réalisée à l'aide des formules,

  • Définir une petite partie d'un objet dans certaines dimensions qui, en ajoutant une infinité de fois, constitue l'objet complet.
  • L'utilisation de formules d'intégration sur cette petite partie le long des différentes dimensions nous permet d'obtenir l'objet complet.

Qu'est-ce que la formule intégrale par partie ?

La formule intégrale par partie est utilisée pour résoudre l'intégrale où une fraction impropre est donnée.

Quelle est l’utilisation des formules d’intégration ?

Les formules d'intégration sont utilisées pour résoudre divers problèmes intégraux. Divers problèmes que nous rencontrons dans notre vie quotidienne peuvent être facilement résolus grâce à l'intégration, comme trouver le centre de masse de n'importe quel objet, trouver la trajectoire d'un missile, d'une fusée, d'un avion et autres.