La matrice de covariance est un type de matrice utilisé pour décrire les valeurs de covariance entre deux éléments dans un vecteur aléatoire. Elle est également connue sous le nom de matrice de variance-covariance car la variance de chaque élément est représentée le long de la grande diagonale de la matrice et la covariance est représentée parmi les éléments non diagonaux. Une matrice de covariance est généralement une matrice carrée. Il est également positif semi-défini et symétrique. Cette matrice est utile lorsqu'il s'agit de modélisation stochastique et d'analyse en composantes principales.

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Qu'est-ce que la matrice de covariance ?

Le variance -la matrice de covariance est une Matrice Carrée avec des éléments diagonaux qui représentent la variance et des composants non diagonaux qui expriment la covariance. La covariance d'une variable peut prendre n'importe quelle valeur réelle : positive, négative ou nulle. Une covariance positive suggère que les deux variables ont une relation positive, tandis qu'une covariance négative indique qu'elles n'en ont pas. Si deux éléments ne varient pas ensemble, ils ont une covariance nulle.

Apprendre encore plus, Matrice diagonale

Exemple de matrice de covariance

Disons qu'il y a 2 ensembles de données X = [10, 5] et Y = [3, 9]. La variance de l'ensemble X = 12,5 et la variance de l'ensemble Y = 18. La covariance entre les deux variables est de -15. La matrice de covariance est la suivante :

egin{bmatrix} Variance~of~Set~X & Coorelation~of~Both~Sets Coorelation~of~Both~Sets& Variance~of~Set~Y end{bmatrix}=egin{bmatrix} 12.5 & -15 -15& 18 end{bmatrix}

Formule de matrice de covariance

La forme générale d’une matrice de covariance est donnée comme suit :

où,

• Écart de l'échantillon : où (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
• Exemple de covariance : le (x₁, et₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Variation démographique : où (x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Covariance démographique : le (x_n, et_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

Ici, m est la moyenne de la population

overline x est la moyenne de l'échantillon

n est le nombre d’observations

X _je est l'observation dans l'ensemble de données x

Voyons le format de la matrice de covariance de 2 ⨯ 2 et 3 ⨯ 3

2 ⨯ 2 Matrice de covariance

On sait que dans un 2 ⨯ 2 matrice il y a deux lignes et deux colonnes. Par conséquent, la matrice de covariance 2 ⨯ 2 peut être exprimée comme suitegin{bmatrix}mathrm{var(x)}& mathrm{cov(x,y)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)}end{bmatrix}

3 ⨯ 3 Matrice de covariance

Dans une matrice 3⨯3, il y a 3 lignes et 3 colonnes. Nous savons que dans une matrice de covariance, les éléments diagonaux sont la variance et les éléments non diagonaux sont la covariance. Par conséquent, une matrice de covariance 3⨯3 peut être donnée commeegin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

Comment trouver la matrice de covariance ?

Les dimensions d'une matrice de covariance sont déterminées par le nombre de variables dans un ensemble de données donné. S'il n'y a que deux variables dans un ensemble, alors la matrice de covariance comportera deux lignes et deux colonnes. De même, si un ensemble de données comporte trois variables, sa matrice de covariance comportera trois lignes et trois colonnes.

Les données concernent les notes obtenues par Anna, Caroline et Laura en psychologie et en histoire. Créez une matrice de covariance.

Les étapes suivantes doivent être suivies :

Étape 1: Trouvez la moyenne de la variable X. Additionnez toutes les observations de la variable X et divisez la somme obtenue par le nombre de termes. Ainsi, (80 + 63 + 100)/3 = 81.

Étape 2: Soustrayez la moyenne de toutes les observations. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

Étape 3: Prenez les carrés des différences obtenues ci-dessus puis additionnez-les. Ainsi, (80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)².

Étape 4: Trouvez la variance de X en divisant la valeur obtenue à l'étape 3 par 1 de moins que le nombre total d'observations. var(X) = [(80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)²] / (3 – 1) = 343.

Étape 5 : De même, répétez les étapes 1 à 4 pour calculer la variance de Y. Var(Y) = 633.

Étape 6 : Choisissez une paire de variables.

Étape 7 : Soustrayez la moyenne de la première variable (X) de toutes les observations ; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

Étape 8 : Répétez la même chose pour la variable Y ; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).

Étape 9 : Multipliez les termes correspondants : (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47).

Étape 10 : Trouvez la covariance en additionnant ces valeurs et en les divisant par (n – 1). Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481.

Étape 11 : Utilisez la formule générale de la matrice de covariance pour organiser les termes. La matrice devient :egin{bmatrix} 343 & 481 481& 633 end{bmatrix}

Propriétés de la matrice de covariance

Les propriétés de la matrice de covariance sont mentionnées ci-dessous :

• Une matrice de covariance est toujours carrée, ce qui implique que le nombre de lignes d'une matrice de covariance est toujours égal au nombre de colonnes qu'elle contient.
• Une matrice de covariance est toujours symétrique, ce qui implique que transposer d'une matrice de covariance est toujours égale à la matrice d'origine.
• Une matrice de covariance est toujours positive et semi-définie.
• Le valeurs propres d'une matrice de covariance sont toujours réels et non négatifs.

En savoir plus,

• Types de matrices
• Multiplication matricielle
• Variance et écart type

Exemples résolus sur la matrice de covariance

Exemple 1 : Les notes obtenues par 3 étudiants en Physique et Biologie sont données ci-dessous :

Calculez la matrice de covariance à partir des données ci-dessus.

Solution:

Un exemple de matrice de covariance est donné parfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

Ici, μ_X= 84, n = 3

var(x) = [(92 – 84)²+ (60 – 84)²+ (100 – 84)²] / (3 – 1) = 448

Donc, μ_et= 60, n = 3

var(y) = [(80 – 60)²+ (30 – 60)²+ (70 – 60)²] / (3 – 1) = 700

Maintenant, cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)] / (3 – 1) = 520.

La matrice de covariance de la population est donnée comme suit :egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}

Exemple 2. Préparez la matrice de covariance de la population à partir du tableau suivant :

Solution:

La variance de la population est donnée parfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .

Ici, μ_X= 56,5, n = 4

var(x) = [(68 – 56,5)²+ (60 – 56,5)²+ (58 – 56,5)²+ (40 – 56,5)²] / 4 = 104,75

Donc, μ_et= 30, n = 4

var(y) = [(29 – 30)²+ (26 – 30)²+ (30 – 30)²+ (35 – 30)²] / 4 = 10,5

Maintenant, cov(x, y) =frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4}

cov(x, y) = -27

La matrice de covariance de la population est donnée comme suit : egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}

Exemple 3. Interprétez la matrice de covariance suivante :

egin{bmatrix} & X & Y & Z X & 60 & 32 & -4 Y & 32 & 30 & 0 Z & -4 & 0 & 80 end{bmatrix}

Solution:

1. Les éléments diagonaux 60, 30 et 80 indiquent respectivement la variance des ensembles de données X, Y et Z. Y montre la variance la plus faible tandis que Z affiche la variance la plus élevée.
2. La covariance pour X et Y est de 32. Comme il s'agit d'un nombre positif, cela signifie que lorsque X augmente (ou diminue), Y augmente (ou diminue) également.
3. La covariance pour X et Z est de -4. Comme il s’agit d’un nombre négatif, cela implique que lorsque X augmente, Z diminue et vice versa.
4. La covariance pour Y et Z est 0. Cela signifie qu'il n'y a aucune relation prévisible entre les deux ensembles de données.

Exemple 4. Recherchez l'exemple de matrice de covariance pour les données suivantes :

Solution:

Un exemple de matrice de covariance est donné parfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

carte java

n = 5, m_X= 22,4, var(X) = 321,2 / (5 – 1) = 80,3

m_et= 12,58, var(Y) = 132,148 / 4 = 33,037

m_Avec= 64, var(Z) = 570 / 4 = 142,5

cov(X, Y) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76

cov(X, Z) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97

cov(Y, Z) = frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87

La matrice de covariance est donnée comme suit :

egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}

FAQ sur la matrice de covariance

1. Définir la matrice de covariance

Une matrice de covariance est un type de matrice utilisé pour décrire les valeurs de covariance entre deux éléments dans un vecteur aléatoire.

2. Quelle est la formule de la matrice de covariance ?

La formule de la matrice de covariance est donnée sous la forme

left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight]

Où, Écart de l'échantillon : où (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}

• Exemple de covariance : le (x₁, et₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Variation démographique : où (x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Covariance démographique : le (x_n, et_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

3. Quelle est la forme générale d'une matrice de covariance 3 ⨯ 3 ?

La forme générale d’une matrice de covariance 3 ⨯ 3 est donnée comme suit :

egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

4. Quelles sont les propriétés de la matrice de covariance ?

La matrice de covariance est une matrice carrée et est également de nature symétrique, c'est-à-dire que la transposition de la matrice d'origine donne la matrice d'origine elle-même.

5. Quels sont les secteurs dans lesquels la matrice de covariance peut être utilisée ?

La matrice de covariance est utilisée dans le domaine des mathématiques, de l'apprentissage automatique, de la finance et de l'économie. La matrice de covariance est utilisée dans la décomposition de Cholskey pour effectuer la simulation de Monte Carlo qui est utilisée pour créer des modèles mathématiques.