Les valeurs propres et les vecteurs propres sont les quantités scalaires et vectorielles associées à Matrice utilisé pour la transformation linéaire. Le vecteur qui ne change pas même après l'application des transformations est appelé vecteur propre et la valeur scalaire attachée aux vecteurs propres est appelée Valeurs propres . Les vecteurs propres sont les vecteurs associés à un ensemble d'équations linéaires. Pour une matrice, les vecteurs propres sont également appelés vecteurs caractéristiques, et nous pouvons trouver le vecteur propre uniquement des matrices carrées. Les vecteurs propres sont très utiles pour résoudre divers problèmes de matrices et d'équations différentielles.

Dans cet article, nous découvrirons les valeurs propres, les vecteurs propres des matrices et d'autres avec des exemples.

Table des matières

• Que sont les valeurs propres ?
• Que sont les vecteurs propres ?
• Équation de vecteur propre
• Que sont les valeurs propres et les vecteurs propres ?
• Comment trouver un vecteur propre ?
• Types de vecteur propre
• Vecteur propre droit
• Vecteur propre gauche
• Vecteurs propres d'une matrice carrée
• Vecteur propre d'une matrice 2 × 2
• Vecteur propre d'une matrice 3 × 3
• Espace propre
• Applications des valeurs propres
• Diagonaliser la matrice à l'aide de valeurs propres et de vecteurs propres
• Exemples résolus sur les vecteurs propres
• FAQ sur les vecteurs propres

Que sont les valeurs propres ?

Les valeurs propres sont les valeurs scalaires associées aux vecteurs propres en transformation linéaire. Le mot « Eigen » est d’origine allemande et signifie « caractéristique ». Il s’agit donc de la valeur caractéristique qui indique le facteur par lequel les vecteurs propres sont étirés dans leur direction. Cela n’implique pas le changement de direction du vecteur sauf lorsque la valeur propre est négative. Lorsque la valeur propre est négative, la direction est simplement inversée. L'équation de la valeur propre est donnée par

Désactivé = λv

Où,

• A est la matrice,
• v est un vecteur propre associé, et
• λ est la valeur propre scalaire.

Que sont les vecteurs propres ?

Les vecteurs propres pour les matrices carrées sont définis comme des valeurs vectorielles non nulles qui, multipliées par les matrices carrées, donnent le multiple d'échelle du vecteur, c'est-à-dire que nous définissons un vecteur propre pour la matrice A comme étant v s'il spécifie la condition, Désactivé = λv

Le multiple d'échelle λ dans le cas ci-dessus est appelé valeur propre de la matrice carrée. Il faut toujours trouver les valeurs propres de la matrice carrée avant de trouver les vecteurs propres de la matrice.

Pour toute matrice carrée, A d'ordre n × n, le vecteur propre est la matrice colonne d'ordre n × 1. Si nous trouvons le vecteur propre de la matrice A par, Av = λv, v est appelé ici le vecteur propre droit de la matrice A. et est toujours multiplié vers le côté droit car la multiplication matricielle n'est pas de nature commutative. En général, lorsque l’on trouve le vecteur propre, c’est toujours le bon vecteur propre.

On peut également trouver le vecteur propre gauche de la matrice carrée A en utilisant la relation, vA = vl

Ici, v est le vecteur propre gauche et est toujours multiplié par le côté gauche. Si la matrice A est d'ordre n × n alors v est une matrice colonne d'ordre 1 × n.

Équation de vecteur propre

L'équation du vecteur propre est l'équation utilisée pour trouver le vecteur propre de toute matrice carrée. L'équation du vecteur propre est,

Désactivé = λv

Où,

• UN est la matrice carrée donnée,
• dans est le vecteur propre de la matrice A, et
• je est un multiple de scaler.

Que sont les valeurs propres et les vecteurs propres ?

Si A est un Matrice Carrée d'ordre n × n alors nous pouvons facilement trouver le vecteur propre de la matrice carrée en suivant la méthode discutée ci-dessous,

Nous savons que le vecteur propre est donné à l'aide de l'équation Av = λv, pour la matrice identité d'ordre identique à l'ordre de A c'est-à-dire n × n nous utilisons l'équation suivante,

(A-λI)v = 0

En résolvant l'équation ci-dessus, nous obtenons différentes valeurs de λ comme λ₁, je₂, ..., je_nces valeurs sont appelées valeurs propres et nous obtenons des vecteurs propres individuels liés à chaque valeur propre.

En simplifiant l'équation ci-dessus, nous obtenons v qui est une matrice de colonnes d'ordre n × 1 et v s'écrit,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Comment trouver un vecteur propre ?

Le vecteur propre de la matrice carrée suivante peut être facilement calculé en suivant les étapes ci-dessous,

Étape 1: Trouver les valeurs propres de la matrice A, en utilisant l'équation det |(A – λI| =0, où I est la matrice identité d'ordre similaire à la matrice A

Étape 2: Les valeurs obtenues à l'étape 2 sont nommées λ₁, je₂, je₃….

Étape 3: Trouver le vecteur propre (X) associé à la valeur propre λ₁en utilisant l’équation (A – λ₁I) X = 0

Étape 4: Répétez l'étape 3 pour trouver le vecteur propre associé aux autres valeurs propres restantes λ₂, je₃….

Suivre ces étapes donne le vecteur propre lié à la matrice carrée donnée.

Types de vecteur propre

Les vecteurs propres calculés pour la matrice carrée sont de deux types qui sont,

• Vecteur propre droit
• Vecteur propre gauche

Vecteur propre droit

Le vecteur propre qui est multiplié par la matrice carrée donnée du côté droit est appelé vecteur propre droit. Il est calculé en utilisant l'équation suivante,

DE _R. = λV _R.

Où,

• UN est donnée une matrice carrée d'ordre n×n,
• je est l'une des valeurs propres, et
• DANS _R. est la matrice du vecteur colonne

La valeur de V_R.est,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Vecteur propre gauche

Le vecteur propre qui est multiplié par la matrice carrée donnée du côté gauche est appelé vecteur propre gauche. Il est calculé en utilisant l'équation suivante,

DANS _L A = V _L je

Où,

• UN est donnée une matrice carrée d'ordre n×n,
• je est l'une des valeurs propres, et
• DANS _L est la matrice de vecteurs lignes.

La valeur de V_Lest,

DANS _L = [v ₁ , dans ₂ , dans ₃ ,…, dans _n ]

Vecteurs propres d'une matrice carrée

On peut facilement trouver le vecteur propre des matrices carrées d’ordre n × n. Maintenant, trouvons les matrices carrées suivantes :

• Vecteurs propres d'une matrice 2 × 2
• Vecteurs propres d'une matrice 3 × 3.

Vecteur propre d'une matrice 2 × 2

Le vecteur propre de la matrice 2 × 2 peut être calculé en utilisant les étapes mentionnées ci-dessus. Un exemple de la même chose est,

Exemple : Trouver les valeurs propres et le vecteur propre de la matrice A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

machine à états finis

Solution:

Si les valeurs propres sont représentées en utilisant λ et que le vecteur propre est représenté par v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Ensuite, le vecteur propre est calculé en utilisant l'équation,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

fusion de pd

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 et λ = -1

Ainsi, les valeurs propres sont 6 et -1. Alors les vecteurs propres respectifs sont,

Pour λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

En simplifiant l'équation ci-dessus, nous obtenons,

5a=2b

Le vecteur propre requis est,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Pour λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

en simplifiant l'équation ci-dessus, nous obtenons,

une = -b

Le vecteur propre requis est,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Alors les vecteurs propres de la matrice 2 × 2 donnée sontegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Ce sont deux vecteurs propres possibles, mais bon nombre des multiples correspondants de ces vecteurs propres peuvent également être considérés comme d'autres vecteurs propres possibles.

Vecteur propre d'une matrice 3 × 3

Le vecteur propre de la matrice 3 × 3 peut être calculé en utilisant les étapes mentionnées ci-dessus. Un exemple de la même chose est,

Exemple : Trouver les valeurs propres et le vecteur propre de la matrice A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Solution:

Si les valeurs propres sont représentées en utilisant λ et que le vecteur propre est représenté par v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Ensuite, le vecteur propre est calculé en utilisant l'équation,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

En simplifiant le déterminant ci-dessus, nous obtenons

⇒ (2-l)(l²) + 2 minutes²+ 2 minutes²= 0

⇒ (-l³) + 6 minutes²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Pour λ = 0

(UNE – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

En simplifiant l'équation ci-dessus, nous obtenons

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Soit b = k₁et c = k₂

une + k₁+k₂= 0

une = -(k₁+k₂)

Ainsi, le vecteur propre est,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

prendre k₁= 1 et k₂= 0

le vecteur propre est,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

prendre k₁= 0 et k₂= 1

le vecteur propre est,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Pour λ = 6

(UNE – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

En simplifiant l'équation ci-dessus, nous obtenons,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Soit b = k₁et c = k₂, et en prenant k₁=k₂= 1,

on a,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Ainsi, le vecteur propre est,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Espace propre

Nous définissons l'espace propre d'une matrice comme l'ensemble de tous les vecteurs propres de la matrice. Tous les vecteurs de l’espace propre sont linéairement indépendants les uns des autres.

Pour trouver l'espace propre de la matrice, nous devons suivre les étapes suivantes

Étape 1: Trouvez toutes les valeurs propres de la matrice carrée donnée.

Étape 2: Pour chaque valeur propre, trouvez le vecteur propre correspondant.

Étape 3: Prenons l'ensemble de tous les vecteurs propres (disons A). L’ensemble résultant ainsi formé est appelé l’espace propre du vecteur suivant.

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D'après l'exemple ci-dessus de la matrice 3 × 3 A donnée, l'espace propre ainsi formé est {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Applications des valeurs propres

Certaines des applications courantes des valeurs propres sont :

Algèbre linéaire

Diagonalisation : les valeurs propres sont utilisées pour diagonaliser les matrices, simplifiant ainsi les calculs et résolvant plus efficacement les systèmes linéaires.

Exponentiation matricielle : les valeurs propres jouent un rôle crucial dans le calcul de l'exponentiation d'une matrice.

Mécanique quantique

Équation de Schrödinger : les valeurs propres de l'opérateur hamiltonien correspondent aux niveaux d'énergie des systèmes quantiques, fournissant des informations sur les états possibles.

Vibrations et analyse structurelle :

Vibrations mécaniques : les valeurs propres représentent les fréquences naturelles des systèmes vibrationnels. En analyse structurelle, ils aident à comprendre la stabilité et le comportement des structures.

Statistiques

Matrice de covariance : dans les statistiques multivariées, les valeurs propres sont utilisées dans l'analyse des matrices de covariance, fournissant des informations sur la répartition et l'orientation des données.

Infographie

Analyse en composantes principales (ACP) : les valeurs propres sont utilisées dans l'ACP pour trouver les composantes principales d'un ensemble de données, réduisant ainsi la dimensionnalité tout en conservant les informations essentielles.

Systèmes de contrôle

Stabilité du système : les valeurs propres de la matrice du système sont essentielles pour déterminer la stabilité d'un système de contrôle. L'analyse de stabilité permet de garantir que la réponse du système est limitée.

Diagonaliser la matrice à l'aide de valeurs propres et de vecteurs propres

Les valeurs propres et les vecteurs propres sont utilisés pour trouver des matrices diagonales. UN matrice diagonale est une matrice qui peut s'écrire,

A = XDX ^-1

Où,

• D est la matrice formée en remplaçant les 1 dans la matrice identité par des valeurs propres, et
• X est la matrice formée par les vecteurs propres.

Nous pouvons comprendre le concept de matrice diagonale en prenant l'exemple suivant.

Exemple : Diagonaliser la matrice A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Solution:

Nous avons déjà résolu les valeurs propres et les vecteurs propres du A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Les valeurs propres de A sont λ = 0, λ = 0 et λ = -8

Les vecteurs propres de A sontegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Ainsi,

ré =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Nous pouvons facilement trouver l’inverse de X comme,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

En savoir plus,

• Opération élémentaire sur les matrices
• Matrice d'identité
• Inverse d'une matrice

Exemples résolus sur les vecteurs propres

Exemple 1 : Trouver les vecteurs propres de la matrice A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Solution:

Les valeurs propres de la matrice se trouvent en utilisant,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

Ainsi, les valeurs propres sont,

λ = 1, 1, 1

Comme toutes les valeurs propres sont égales, nous avons trois vecteurs propres identiques. Nous trouverons les vecteurs propres pour λ = 1, en utilisant (A – λI)v = O

Test de performance

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

en résolvant l'équation ci-dessus, nous obtenons,

• une = K
• y = 0
• z = 0

Alors le vecteur propre est,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Exemple 2 : Trouver les vecteurs propres de la matrice A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Solution:

Les valeurs propres de la matrice se trouvent en utilisant,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Ainsi, les valeurs propres sont,

λ = 5,5

Comme toutes les valeurs propres sont égales, nous avons trois vecteurs propres identiques. Nous trouverons les vecteurs propres pour λ = 1, en utilisant

(UNE – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

En simple ce qui précède, nous obtenons,

• une = 1, b = 0
• une = 0, b = 1

Alors le vecteur propre est,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

FAQ sur les vecteurs propres

Que sont les vecteurs propres ?

Nous définissons le vecteur propre de toute matrice comme le vecteur qui, en se multipliant par la matrice, donne le multiple d'échelle de la matrice.

Comment trouver les vecteurs propres ?

Le vecteur propre de toute matrice A est noté dans . Le vecteur propre de la matrice est calculé en trouvant d'abord la valeur propre de la matrice.

• La valeur propre de la matrice est trouvée à l'aide de la formule |A-λI| = 0 où λ donne les valeurs propres.
• Après avoir trouvé la valeur propre, nous avons trouvé le vecteur propre par la formule Av = λv, où v donne le vecteur propre.

Quelle est la différence entre la valeur propre et le vecteur propre ?

Pour toute matrice carrée A, les valeurs propres sont représentées par λ et sont calculées par la formule |A – λI| = 0. Après avoir trouvé la valeur propre, nous trouvons le vecteur propre par Av = λv.

Qu'est-ce que la matrice diagonalisable ?

Toute matrice pouvant être exprimée comme le produit des trois matrices sous la forme XDX^-1est une matrice diagonalisable ici D est appelée la matrice diagonale.

Les valeurs propres et les vecteurs propres sont-ils identiques ?

Non, les valeurs propres et les vecteurs propres ne sont pas identiques. Les valeurs propres sont le scaler utilisé pour trouver des vecteurs propres, tandis que les vecteurs propres sont les vecteurs utilisés pour trouver des transformations vectorielles matricielles.

Le vecteur propre peut-il être un vecteur zéro ?

Nous pouvons avoir des valeurs propres nulles mais le vecteur propre ne peut jamais être un vecteur nul.

Qu'est-ce que la formule des vecteurs propres ?

Le vecteur propre de toute matrice est calculé à l'aide de la formule,

Désactivé = λv

où,
je est la valeur propre
dans est le vecteur propre