Si vous étudiez le trigonométrie ou le calcul (ou si vous vous préparez à le faire), vous devrez vous familiariser avec le cercle unité. Le cercle unité est un outil essentiel utilisé pour résoudre le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle. Mais comment ça fonctionne? Et quelles informations devez-vous connaître pour l’utiliser ?
Dans cet article, nous expliquons ce qu'est le cercle unité et pourquoi vous devriez le connaître. Nous vous donnons également trois conseils pour vous aider à vous rappeler comment utiliser le cercle unité.
Image vedette : Gustavb /Wikimédia
Le cercle unitaire : une introduction de base
Le cercle unité est un cercle de rayon 1. Cela signifie que pour toute ligne droite tracée depuis le point central du cercle jusqu'à n'importe quel point le long du bord du cercle, la longueur de cette ligne sera toujours égale à 1. (Cela signifie également que le diamètre du cercle sera égal à 2, puisque le diamètre est égal à deux fois la longueur du rayon.)
Typiquement, le point central du cercle unité est l'endroit où les axes x et y se croisent, ou aux coordonnées (0, 0) :
Le cercle unité, ou cercle trigonométrique comme on l’appelle également, est utile à connaître car il nous permet de calculer facilement le cosinus, le sinus et la tangente de n'importe quel angle compris entre 0° et 360° (ou 0 et 2π radians).
Comme vous pouvez le voir dans le diagramme ci-dessus, en traçant un rayon à n'importe quel angle (marqué par ∝ dans l'image), vous créerez un triangle rectangle. Sur ce triangle, le cosinus est la ligne horizontale et le sinus est la ligne verticale. Autrement dit, cosinus =coordonnée x, et sinus = coordonnée y. (La ligne la plus longue du triangle, ou hypoténuse, est le rayon et est donc égale à 1.)
Pourquoi tout cela est-il important ? N'oubliez pas que vous pouvez déterminer la longueur des côtés d'un triangle en utilisant la méthode Théorème de Pythagore, ou $a^2+b^2=c^2$ (dans lequel un et b sont les longueurs des côtés du triangle, et c est la longueur de l'hypoténuse).
On sait que le cosinus d'un angle est égal à la longueur de la ligne horizontale, le sinus est égal à la longueur de la ligne verticale et l'hypoténuse est égale à 1. On peut donc dire que la formule pour tout triangle rectangle dans le cercle unité est la suivante :
strint à int
$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$
Puisque ^2=1$, nous pouvons simplifier cette équation comme ceci :
$$cos^2θ+sin^2θ=1$$
Soit conscient que ces valeurs peuvent être négatives en fonction de l'angle formé et du quadrant dans lequel se situent les coordonnées x et y (j'expliquerai cela plus en détail plus tard).
Voici un aperçu de tous les angles majeurs en degrés et en radians sur le cercle unité :
Cercle unitaire — Degrés
Cercle unitaire — Radians
Mais que se passe-t-il si aucun triangle n’est formé ? Regardons que se passe-t-il lorsque l'angle est de 0°, créant une ligne droite horizontale le long de l'axe des x :
Sur cette ligne, la coordonnée x est égale à 1 et la coordonnée y est égale à 0. Nous savons que le cosinus est égal à la coordonnée x et le sinus est égal à la coordonnée y, on peut donc écrire ceci :
- $cos0°=1$
- $sin0°=0$
Et si l'angle est de 90° et forme une ligne parfaitement verticale le long de l'axe y ?
Ici, nous pouvons voir que la coordonnée x est égale à 0 et la coordonnée y est égale à 1. Cela nous donne les valeurs suivantes pour le sinus et le cosinus :
- $cos90°=0$
- $sin90°=1$
Ce slogan s'applique définitivement si vous n'êtes pas un amateur de mathématiques.
Pourquoi devriez-vous connaître le cercle unitaire
Comme indiqué ci-dessus, le cercle unitaire est utile car cela nous permet de résoudre facilement le sinus, le cosinus ou la tangente de n’importe quel degré ou radian. Il est particulièrement utile de connaître le diagramme circulaire unitaire si vous devez résoudre certaines valeurs trigonométriques pour vos devoirs de mathématiques ou si vous vous préparez à étudier le calcul.
Mais en quoi la connaissance exacte du cercle unitaire peut-elle vous aider ? Disons que vous êtes confronté au problème suivant lors d'un test de mathématiques et que vous êtes pas autorisé à utiliser une calculatrice pour le résoudre :
$$sin30°$$
Par où commencer ? Jetons à nouveau un coup d'œil au diagramme circulaire unitaire, cette fois avec tous les angles majeurs (en degrés et en radians) et leurs coordonnées correspondantes :
Jim.belk /Wikimédia
Ne vous laissez pas déborder ! N'oubliez pas que tout ce que vous recherchez est $sin30°$. En regardant ce graphique, nous pouvons constater que la coordonnée y est égale à /2$ à 30°. Et puisque la coordonnée y est égale au sinus, notre réponse est la suivante :
$$sin30°=1/2$$
Mais que se passe-t-il si vous rencontrez un problème qui utilise des radians au lieu de degrés ? Le processus pour le résoudre est toujours le même. Supposons, par exemple, que vous rencontriez un problème qui ressemble à ceci :
$$cos{{3π}/4}$$
Encore une fois, en utilisant le graphique ci-dessus, nous pouvons voir que la coordonnée x (ou cosinus) pour ${3π}/4$ (qui est égale à 135°) est $-{√2}/2$. Voici à quoi ressemblerait alors notre réponse à ce problème :
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$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$
Tout cela est assez simple si vous disposez du diagramme circulaire unitaire ci-dessus à utiliser comme référence. Mais la plupart du temps (sinon la totalité), ce ne sera pas le cas, et vous devrez répondre à ce type de questions mathématiques en utilisant uniquement votre cerveau.
Alors, comment pouvez-vous vous souvenir du cercle unitaire ? Lisez la suite pour nos meilleurs conseils !
Comment se souvenir du cercle unitaire : 3 conseils essentiels
Dans cette section, nous vous donnons nos meilleurs conseils pour mémoriser le cercle trigonométrique afin que vous puissiez l'utiliser facilement pour tout problème mathématique qui le nécessite.
Je ne recommanderais pas de pratiquer le cercle unitaire avec des post-its, mais bon, c'est un début.
#1 : Mémorisez les angles et les coordonnées communs
Afin d’utiliser efficacement le cercle unitaire, vous devrez mémorisez les angles les plus courants (en degrés et en radians) ainsi que leurs coordonnées x et y correspondantes.
Le diagramme ci-dessus est un diagramme circulaire unitaire utile à examiner, car il inclut tous les angles principaux en degrés et en radians, en plus de leurs points de coordonnées correspondants le long des axes x et y.
Voici un graphique répertoriant ces mêmes informations sous forme de tableau :
| Angle (degrés) | Angle (radians) | Coordonnées du point sur le cercle |
| 0° / 360° | 0/2p | (dix) |
| 30° | $p/ | $({√3}/2, 1/2)$ |
| 45° | $p/4$ | $({√2}/2, {√2}/2)$ |
| 60° | $p/3$ | $(1/2,{√3}/2)$ |
| 90° | $π/2$ | (0, 1) |
| 120° | ${2π}/3$ | $(-1/2, {√3}/2)$ |
| 135° | ${3π}/4$ | $(-{√2}/2, {√2}/2)$ |
| 150° | ${5π}/6$ | $(-{√3}/2, 1/2)$ |
| 180° | Pi | (-dix) |
| 210° | /6$ | $(-{√3}/2, -1/2)$ |
| 225° | ${5π}/4$ | $(-{√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 240° | ${4π}/3$ | $(-1/2, -{√3}/2)$ |
| 270° | ${3π}/2$ | (0, -1) |
| 300° | ${5π}/3$ | $(1/2, -{√3}/2)$ |
| 315° | ${7π}/4$ | $({√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 330° | ${11π}/6$ | $({√3}/2, -1/2)$ |
Maintenant, même si vous êtes plus que bienvenu pour essayer de mémoriser toutes ces coordonnées et angles, c'est beaucoup de choses à retenir.
Heureusement, il existe une astuce que vous pouvez utiliser pour vous aider à vous souvenir des parties les plus importantes du cercle unitaire.
Regardez les coordonnées ci-dessus et vous remarquerez un motif clair : tous les points (à l'exception de ceux à 0°, 90°, 270° et 360°) alternez entre seulement trois valeurs (qu’elles soient positives ou négatives) :
- /2$
- ${√2}/2$
- ${√3}/2$
Chaque valeur correspond à une ligne courte, moyenne ou longue pour le cosinus et le sinus :
Voici ce que signifient ces longueurs :
- 30° / $p/
- 45° / $p/4$
- 60° / $p/3$
- $sin45°$
- $cos240°$
- $cos{5π}/3$
- $ an{2π}/3$
- ${√2}/2$
- $-1/2$
- /2$
- $-√3$
- L'angle 45° crée une ligne verticale de longueur moyenne (pour leur)
- L'angle 240° crée une courte ligne horizontale (pour le cosinus)
Par exemple, si vous cherchez à résoudre $cos{π/3}$, sachez tout de suite que cet angle (qui est égal à 60°) indique une courte ligne horizontale sur le cercle unité. Donc, sa coordonnée x correspondante doit être égale à /2$ (une valeur positive, puisque $π/3$ crée un point dans le premier quadrant du système de coordonnées).
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Enfin, même s’il est utile de mémoriser tous les angles du tableau ci-dessus, notez que les angles de loin les plus importants à retenir sont les suivants :
Traitez vos points négatifs et positifs comme vous le feriez avec des câbles qui peuvent potentiellement vous tuer s'ils sont mal branchés.
#2 : Apprenez ce qui est négatif et ce qui est positif
Il est essentiel de pouvoir distinguer les coordonnées x et y positives et négatives afin de trouver la valeur correcte pour un problème trigonométrique. Pour rappel, Dans si une coordonnée sur le cercle unité sera positive ou négative dépend de à quel quadrant (I, II, III ou IV) le point appartient :
Voici un graphique indiquant si une coordonnée sera positive ou négative en fonction du quadrant dans lequel se trouve un angle particulier (en degrés ou en radians) :
| Quadrant | Coordonnée X (Cosinus) | Coordonnée Y (sinus) |
| je | + | + |
| II | − | + |
| III | − | − |
| IV | + | − |
Par exemple, disons que vous êtes confronté au problème suivant lors d’un test de mathématiques :
$$cos210°$$
Avant même d'essayer de le résoudre, vous devriez être capable de reconnaître que la réponse sera un nombre négatif puisque l'angle 210° tombe dans le quadrant III (où les coordonnées x sont toujours négatif).
Maintenant, en utilisant l'astuce que nous avons apprise dans l'astuce 1, vous pouvez comprendre qu'un angle de 210° crée une longue ligne horizontale. Notre réponse est donc la suivante :
$$cos210°=-{√3}/2$$
#3 : Savoir comment résoudre la tangente
Enfin, il est essentiel de savoir utiliser toutes ces informations sur le cercle trigonométrique et le sinus et cosinus afin de pouvoir résoudre la tangente d’un angle.
En trig, pour trouver la tangente d'un angle θ (en degrés ou en radians), il suffit divisez le sinus par le cosinus :
$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$
Par exemple, disons que vous essayez de répondre à ce problème :
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$$ an300°$$
La première étape consiste à établir une équation en termes de sinus et de cosinus :
$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$
Maintenant, pour trouver la tangente, nous devons trouver le sinus et cosinus de 300°. Vous devriez pouvoir reconnaître rapidement que l'angle 300° se situe dans le quatrième quadrant, ce qui signifie que le cosinus, ou coordonnée x, sera positif et le sinus, ou coordonnée y, sera négatif.
Il faut aussi savoir tout de suite que l'angle de 300° crée une courte ligne horizontale et une longue ligne verticale. Par conséquent, le cosinus (la ligne horizontale) sera égal à /2$ et le sinus (la ligne verticale) sera égal à $-{√3}/2$ (une valeur y négative, puisque ce point est dans le quadrant IV) .
Maintenant, pour trouver la tangente, il vous suffit de brancher et de résoudre :
$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$
$$ an300°=-√3$$
Il est temps de mettre à profit vos compétences en mathématiques !
Ensemble de questions pratiques sur le cercle d'unités
Maintenant que vous savez à quoi ressemble le cercle unitaire et comment l’utiliser, testons ce que vous avez appris avec quelques problèmes pratiques.
Des questions
Réponses
Explications des réponses
#1 : $sin45°$
Avec ce problème, vous devriez pouvoir identifier immédiatement deux informations :
Puisque 45° indique une ligne positive de longueur moyenne, La bonne réponse est ${√2}/2$.
Si vous ne savez pas comment comprendre cela, dessinez un diagramme pour vous aider à déterminer si la longueur de la ligne sera courte, moyenne ou longue.
#2 : $cos240°$
Comme pour le problème n°1 ci-dessus, il y a deux informations que vous devriez pouvoir comprendre rapidement avec ce problème :
Puisque 240° indique une ligne courte et négative, La bonne réponse est $-1/2$.
#3 : $cos{5π}/3$
Contrairement aux problèmes ci-dessus, ce problème utilise radians au lieu de diplômes. Bien que cela puisse rendre le problème plus difficile à résoudre, il utilise en réalité les mêmes étapes de base que les deux autres problèmes.
Tout d'abord, vous devez reconnaître que l'angle ${5π}/3$ est dans le quadrant IV, donc la coordonnée x, ou cosinus, sera un nombre positif. Vous devriez également pouvoir le dire${5π}/3$crée une courte ligne horizontale.
Cela vous donne suffisamment d'informations pour déterminer que le la réponse est 1/2$.
#4 : $ an{2π}/3$
Ce problème concerne la tangente au lieu du sinus ou du cosinus, ce qui signifie qu’il nécessitera un peu plus de mathématiques de notre part. Tout d'abord, rappelez-vous la formule de base pour trouver la tangente :
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$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$
Maintenant, prenons le diplôme qui nous a été attribué : ${2π}/3$-et branchez-le dans cette équation :
$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$
Vous devriez maintenant être capable de résoudre le sinus et le cosinus séparément en utilisant ce que vous avez mémorisé sur le cercle unité. Puisque l'angle ${2π}/3$ est dans le quadrant II, la coordonnée x (ou cosinus) sera négative et la coordonnée y (ou sinus) sera positive.
Ensuite, vous devriez être en mesure de déterminer, en vous basant uniquement sur l'angle, que la ligne horizontale est une ligne courte, et la ligne verticale est une longue file d'attente. Cela signifie que le cosinus est égal à $-1/2$ et le sinus est égal à ${√3}/2$.
Maintenant que nous avons déterminé ces valeurs, tout ce que nous avons à faire est de les intégrer à notre équation initiale et de résoudre la tangente :
$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$
$$ an {2π}/3=-√3$$
Et après?
Si vous passez bientôt le SAT ou l'ACT, vous aurez besoin de connaître quelques trigs pour pouvoir réussir dans la section mathématiques. Jetez un œil à nos guides experts pour déclencher le SAT et l'ACT afin que vous puissiez apprendre exactement ce que vous aurez besoin de savoir pour le jour du test !
En plus de mémoriser le cercle unité, c'est une bonne idée d'apprendre à insérer des chiffres et à insérer des réponses. Lisez nos guides pour tout savoir sur ces deux stratégies utiles, que vous pouvez utiliser sur n'importe quel test de mathématiques, y compris le SAT et l'ACT !