1. Qu’est-ce que l’arbre et la forêt ?
Arbre
- En théorie des graphes, un arbre est un graphe non orienté, connecté et acyclique . En d’autres termes, un graphe connecté qui ne contient même pas un seul cycle est appelé un arbre.
- Un arbre représente la structure hiérarchique sous forme graphique.
- Les éléments des arbres sont appelés leurs nœuds et les bords de l’arbre sont appelés branches.
- Un arbre à n sommets a (n-1) arêtes.
- Les arbres fournissent de nombreuses applications utiles, aussi simples qu'un arbre généalogique, ou aussi complexes que les arbres dans les structures de données informatiques.
- UN feuille dans un arbre se trouve un sommet de degré 1 ou tout sommet n'ayant pas d'enfants est appelé une feuille.
Exemple
Dans l’exemple ci-dessus, tous sont des arbres comportant moins de 6 sommets.
Forêt
En théorie des graphes, un forêt est un graphe non orienté, déconnecté et acyclique . En d’autres termes, un ensemble disjoint d’arbres est appelé forêt. Chaque élément d'une forêt est un arbre.
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Exemple
Le graphique ci-dessus ressemble à deux sous-graphiques mais il s’agit d’un seul graphique déconnecté. Il n'y a pas de cycles dans le graphique ci-dessus. C'est donc une forêt.
2. Propriétés des arbres
- Tout arbre qui possède au moins deux sommets doit avoir au moins deux feuilles.
- Les arbres ont de nombreuses caractéristiques :
Soit T un graphe à n sommets, alors les affirmations suivantes sont équivalentes :- T est un arbre.
- T ne contient aucun cycle et a n-1 arêtes.
- T est connexe et a (n -1) arête.
- T est un graphe connecté et chaque arête est une arête coupée.
- Deux sommets quelconques du graphe T sont reliés par exactement un seul chemin.
- T ne contient aucun cycle, et pour toute nouvelle arête e, le graphe T+ e a exactement un cycle.
- Chaque bord d’un arbre est coupé.
- L'ajout d'une arête à un arbre définit exactement un cycle.
- Chaque graphe connecté contient un arbre couvrant.
- Tout arbre possède au moins deux sommets de degré deux.
3. Arbre couvrant
UN Spanning Tree dans un graphe connexe G est un sous-graphe H de G qui comprend tous les sommets de G et est également un arbre.
Exemple
Considérons le graphique G suivant :
À partir du graphique G ci-dessus, nous pouvons implémenter les trois arbres couvrants H suivants :
Méthodes pour trouver l’arbre couvrant
Nous pouvons trouver l'arbre couvrant systématiquement en utilisant l'une des deux méthodes suivantes :
- Méthode de réduction
- Méthode de construction
1. Méthode de réduction
- Commencez à choisir n’importe quel cycle dans le graphique G.
- Supprimez l'un des bords du cycle.
- Répétez ce processus jusqu'à ce qu'il ne reste plus de cycles.
Exemple
- Considérons un graphe G,
- Si nous supprimons l'arête ac qui détruit le cycle a-d-c-a dans le graphique ci-dessus alors nous obtenons le graphique suivant :
- Supprimez l'arête cb, qui détruit le cycle a-d-c-b-a du graphique ci-dessus, nous obtenons alors le graphique suivant :
- Si nous supprimons l'arête ec, qui détruit le cycle d-e-c-d du graphique ci-dessus, nous obtenons l'arbre couvrant suivant :
2. Méthode de construction
- Sélectionnez les arêtes du graphique G une à la fois. De telle manière qu'aucun cycle n'est créé.
- Répétez ce processus jusqu'à ce que tous les sommets soient inclus.
Exemple
Considérons le graphique G suivant,
- Choisissez le bord un B ,
- Choisissez le bord de ,
- Après cela, choisissez le bord ce ,
- Ensuite, choisissez le bord CB , puis finalement nous obtenons l'arbre couvrant suivant :
Rang du circuit
Le nombre d'arêtes que nous devons supprimer de G afin d'obtenir un arbre couvrant.
Arbre couvrant G = m- (n-1) , que l'on appelle le rang du circuit de G.
Where, m = No. of edges. n = No. of vertices.
Exemple
Dans le graphique ci-dessus, les arêtes m = 7 et les sommets n = 5
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Alors le rang du circuit est,
G = m - (n - 1) = 7 - (5 - 1) = 3