Avant de discuter du critère de Routh-Hurwitz, nous étudierons d’abord le système stable, instable et marginalement stable.
Énoncé du critère de Routh-Hurwitz
Le critère de Routh Hurwitz stipule que tout système peut être stable si et seulement si toutes les racines de la première colonne ont le même signe et s'il n'a pas le même signe ou s'il y a un changement de signe alors le nombre de signes change dans la première colonne. est égal au nombre de racines de l'équation caractéristique dans la moitié droite du plan s, c'est-à-dire est égal au nombre de racines avec des parties réelles positives.
Conditions nécessaires mais pas suffisantes pour la stabilité
Nous devons respecter certaines conditions pour rendre tout système stable, ou nous pouvons dire qu'il existe certaines conditions nécessaires pour rendre le système stable.
Considérons un système avec une équation caractéristique :
- Tous les coefficients de l’équation doivent avoir le même signe.
- Il ne devrait y avoir aucun terme manquant.
Si tous les coefficients ont le même signe et qu’il ne manque aucun terme, nous n’avons aucune garantie que le système sera stable. Pour cela, nous utilisons Critère de Routh-Hurwitz pour vérifier la stabilité du système. Si les conditions ci-dessus ne sont pas remplies, alors le système est dit instable. Ce critère est donné par A. Hurwitz et E.J. Routh.
Avantages du critère de Routh-Hurwitz
- Nous pouvons trouver la stabilité du système sans résoudre l’équation.
- Nous pouvons facilement déterminer la stabilité relative du système.
- Grâce à cette méthode, nous pouvons déterminer la plage de K pour la stabilité.
- Grâce à cette méthode, nous pouvons également déterminer le point d’intersection du lieu racine avec un axe imaginaire.
Limites du critère de Routh-Hurwitz
- Ce critère n'est applicable que pour un système linéaire.
- Il ne fournit pas l’emplacement exact des pôles sur les moitiés droite et gauche du plan S.
- Dans le cas de l'équation caractéristique, elle n'est valable que pour les coefficients réels.
Le critère de Routh-Hurwitz
Considérons la caractéristique suivante Polynôme
Lorsque les coefficients a0, a1, ......................an sont tous du même signe et qu'aucun n'est nul.
Étape 1 : Disposez tous les coefficients de l'équation ci-dessus sur deux lignes :
chaîne inversée en java
Étape 2 : A partir de ces deux lignes nous formerons la troisième ligne :
Étape 3 : Maintenant, nous allons former la quatrième rangée en utilisant la deuxième et la troisième rangée :
Étape 4 : Nous allons continuer cette procédure de formation de nouvelles lignes :
Exemple
Vérifier la stabilité du système dont l'équation caractéristique est donnée par
s<sup>4</sup> + 2s<sup>3</sup>+6s<sup>2</sup>+4s+1 = 0
Solution
Obtenez la flèche des coefficients comme suit
Puisque tous les coefficients de la première colonne sont du même signe, c'est-à-dire positifs, l'équation donnée n'a pas de racines avec des parties réelles positives ; on dit donc que le système est stable.