La logique propositionnelle (PL) est la forme de logique la plus simple où toutes les déclarations sont faites par des propositions. Une proposition est une déclaration déclarative qui est vraie ou fausse. C'est une technique de représentation des connaissances sous forme logique et mathématique.
Exemple:
a) It is Sunday. b) The Sun rises from West (False proposition) c) 3+3= 7(False proposition) d) 5 is a prime number.
Voici quelques faits de base sur la logique propositionnelle :
- La logique propositionnelle est également appelée logique booléenne car elle fonctionne sur 0 et 1.
- En logique propositionnelle, nous utilisons des variables symboliques pour représenter la logique, et nous pouvons utiliser n'importe quel symbole pour représenter une proposition, comme A, B, C, P, Q, R, etc.
- Les propositions peuvent être vraies ou fausses, mais elles ne peuvent pas être les deux.
- La logique propositionnelle consiste en un objet, des relations ou une fonction, et connecteurs logiques .
- Ces connecteurs sont également appelés opérateurs logiques.
- Les propositions et les connecteurs sont les éléments de base de la logique propositionnelle.
- Les connecteurs peuvent être considérés comme un opérateur logique qui relie deux phrases.
- Une formule de proposition qui est toujours vraie s'appelle tautologie , et on l'appelle aussi une phrase valide.
- Une formule de proposition qui est toujours fausse s'appelle Contradiction .
- Une formule de proposition qui a à la fois des valeurs vraies et fausses est appelée
- Les déclarations qui sont des questions, des ordres ou des opinions ne sont pas des propositions telles que « » Où est Rohini ', ' Comment vas-tu ', ' Quel est ton nom ', ne sont pas des propositions.
Syntaxe de la logique propositionnelle :
La syntaxe de la logique propositionnelle définit les phrases autorisées pour la représentation des connaissances. Il existe deux types de propositions :
Exemple:
a) 2+2 is 4, it is an atomic proposition as it is a true fact. b) 'The Sun is cold' is also a proposition as it is a false fact.
Exemple:
a) 'It is raining today, and street is wet.' b) 'Ankit is a doctor, and his clinic is in Mumbai.'
Connecteurs logiques :
Les connecteurs logiques sont utilisés pour relier deux propositions plus simples ou représenter logiquement une phrase. Nous pouvons créer des propositions composées à l’aide de connecteurs logiques. Il existe principalement cinq connecteurs, qui sont donnés comme suit :
Exemple: Rohan est intelligent et travailleur. On peut l'écrire ainsi,
P = Rohan est intelligent ,
Q= Rohan travaille dur. → P∧Q .
Exemple : « Ritika est médecin ou ingénieur » ,
Ici P = Ritika est docteur. Q= Ritika est Docteur, donc nous pouvons l'écrire comme P∨Q .
Si il pleut, puis la rue est mouillée.
Soit P = Il pleut et Q = La rue est mouillée, elle est donc représentée par P → Q
P= Je respire, Q= Je suis vivant, cela peut être représenté par P ⇔ Q.
Voici le tableau résumé des connecteurs logiques propositionnels :
Table de vérité:
En logique propositionnelle, nous devons connaître les valeurs de vérité des propositions dans tous les scénarios possibles. Nous pouvons combiner toutes les combinaisons possibles avec des connecteurs logiques, et la représentation de ces combinaisons sous forme de tableau s'appelle Table de vérité . Voici la table de vérité pour tous les connecteurs logiques :
Table de vérité avec trois propositions :
Nous pouvons construire une proposition composée de trois propositions P, Q et R. Cette table de vérité est composée de 8n Tuples car nous avons pris trois symboles de proposition.
Priorité des connecteurs :
Tout comme les opérateurs arithmétiques, il existe un ordre de priorité pour les connecteurs propositionnels ou les opérateurs logiques. Cet ordre doit être suivi lors de l’évaluation d’un problème propositionnel. Voici la liste de l’ordre de priorité des opérateurs :
| Priorité | Les opérateurs |
|---|---|
| Première priorité | Parenthèse |
| Deuxième priorité | Négation |
| Troisième priorité | Conjonction(ET) |
| Quatrième priorité | Disjonction (OU) |
| Cinquième priorité | Implication |
| Six priorités | Biconditionnel |
Remarque : Pour une meilleure compréhension, utilisez des parenthèses pour vous assurer des interprétations correctes. Tel que ¬R∨ Q, il peut être interprété comme (¬R) ∨ Q.
Équivalence logique :
L'équivalence logique est l'une des caractéristiques de la logique propositionnelle. On dit que deux propositions sont logiquement équivalentes si et seulement si les colonnes de la table de vérité sont identiques entre elles.
Prenons deux propositions A et B, donc pour l'équivalence logique, nous pouvons l'écrire sous la forme A⇔B. Dans la table de vérité ci-dessous, nous pouvons voir que les colonnes pour ¬A∨ B et A→B sont identiques, donc A est équivalent à B.
Propriétés des opérateurs :
- P∧ Q= Q ∧ P, ou
- P ∨ Q = Q ∨ P.
- (P ∧ Q) ∧ R= P ∧ (Q ∧ R),
- (P ∨ Q) ∨ R= P ∨ (Q ∨ R)
- P ∧ Vrai = P,
- P ∨ Vrai= Vrai.
- P∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).
- P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
- 2 > 4 8 2 > 4 8 2 > 4 5 =
- ¬ ( P ∨ Q ) = ( ¬ P ) ∧ ( ¬ Q ).
- ¬ (¬P) = P.
Limites de la logique propositionnelle :
- Nous ne pouvons pas représenter des relations comme TOUS, certains ou aucun avec une logique propositionnelle. Exemple:
Toutes les filles sont intelligentes. - La logique propositionnelle a un pouvoir d’expression limité.
- En logique propositionnelle, nous ne pouvons pas décrire les énoncés en termes de propriétés ou de relations logiques.