L'induction mathématique est un concept mathématique utilisé pour prouver diverses affirmations et théorèmes mathématiques. Le principe de l’induction mathématique est parfois appelé PMI. C'est une technique utilisée pour prouver les théorèmes de base en mathématiques qui impliquent la solution jusqu'à n termes naturels finis.

Le principe d'induction mathématique est largement utilisé pour prouver diverses affirmations telles que la somme des premiers n nombres naturels est donné par la formule n(n+1)/2. Cela peut être facilement prouvé en utilisant le principe d’induction mathématique.

Dans cet article, nous découvrirons en détail le principe de l'induction mathématique, son énoncé, son exemple et d'autres.

Table des matières

• Qu’est-ce que l’induction mathématique ?
• Principe de l'énoncé d'induction mathématique
• Étapes d'induction mathématique
• Exemple d'induction mathématique

Qu’est-ce que l’induction mathématique ?

L'induction mathématique est l'une des méthodes fondamentales d'écriture de preuves et elle est utilisée pour prouver une affirmation donnée sur tout ensemble bien organisé. Généralement, il est utilisé pour prouver des résultats ou établir des déclarations formulées en termes de n , où n est un nombre naturel.

Supposons que P(n) soit une affirmation pour n nombre naturel, alors cela peut être prouvé en utilisant le principe d'induction mathématique. Nous allons d'abord prouver pour P(1), puis laisser P(k) être vrai, puis prouver pour P(k+1) . Si P(k+1) est vrai alors nous disons que P(n) est vrai par le principe d’induction mathématique.

Nous pouvons comparer l’induction mathématique à la chute de dominos. Lorsqu'un domino tombe, il renverse successivement le domino suivant. Le premier domino fait tomber le deuxième, le deuxième fait tomber le troisième, et ainsi de suite. À la fin, tous les dominos seront renversés. Mais il y a quelques conditions à remplir :

• L'étape de base est que le domino de départ doit tomber pour lancer le processus de frappe.
• La distance entre les dominos doit être égale pour deux dominos adjacents. Sinon, un certain domino peut tomber sans que le suivant ne soit renversé. Ensuite, la séquence de réactions s'arrêtera. Le maintien de la distance inter-domino égale garantit que P(k) ⇒ P(k + 1) pour chaque entier k ≥ a. C'est l'étape inductive.

Principe de l'énoncé d'induction mathématique

Toute affirmation P(n) qui correspond à n nombre naturel peut être prouvée en utilisant le principe d'induction mathématique en suivant les étapes ci-dessous,

Étape 1: Vérifiez si la déclaration est vraie pour les cas triviaux ( n = 1) c'est-à-dire vérifier si P(1) est vrai.

Étape 2: Supposons que l'énoncé soit vrai pour n = k pour certains k ≥ 1, c'est-à-dire que P(k) est vrai.

Étape 3: Si la vérité de P(k) implique la vérité de P(k + 1), alors l'énoncé P(n) est vrai pour tout n ≥ 1 .

L'image ajoutée ci-dessous contient toutes les étapes de l'induction mathématique

La première affirmation est le fait et s'il n'est pas possible que tous les P(n) soient vrais à n = 1, alors ces affirmations sont vraies pour certaines autres valeurs de n, par exemple n = 2, n = 3 et d'autres.

Si l'énoncé est vrai pour P(k), alors si P(k+1) s'avère vrai alors nous disons que P(n) est vrai pour tout n appartenant aux nombres naturels (N)

Étapes d'induction mathématique

Diverses étapes utilisées dans l'induction mathématique sont nommées en conséquence. Les noms des différentes étapes utilisées dans le principe de l'induction mathématique sont :

• Étape de base : Prouver que P(k) est vrai pour k =1
• Étape d’hypothèse : Soit P(k) est vrai pour tout k dans N et k> 1
• Étape d'induction : Prouver que P(k+1) est vrai en utilisant des propriétés mathématiques de base.

Si les trois étapes ci-dessus sont prouvées, alors nous pouvons dire que, selon le principe de l'induction mathématique, P(n) est vrai pour tout n appartenant à N.

Exemple d'induction mathématique

L'induction mathématique est utilisée pour prouver diverses affirmations que nous pouvons apprendre à l'aide de l'exemple suivant.

Pour tout nombre entier positif n, prouver que n³+ 2n est toujours divisible par 3

Solution:

Soit P(n): n³+ 2n est divisible par 3 comme énoncé donné.

Étape 1 : Étape de base

Tout d’abord, nous prouvons que P(1) est vrai. Soit n = 1 dans n³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Comme 3 est divisible par 3. Par conséquent, P(1) est vrai.

Étape 2 : Étape d'hypothèse

Supposons que P(k) est vrai

Alors, k³+ 2k est divisible par 3

Ainsi, nous pouvons l’écrire sous la forme k³+ 2k = 3n, (où n est un entier positif)….(i)

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Étape 3 : étapes d'induction

Il faut maintenant prouver que l'expression algébrique (k + 1)³+ 2(k + 1) est divisible par 3

= (k + 1)³+ 2(k + 1)

=k³+ 3k²+ 5k + 3

= (k³+ 2k) + (3k²+ 3k + 3)

de l'équation (i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

Comme c'est un multiple de 3 on peut dire qu'il est divisible par 3.

Ainsi, P(k+1) est vrai c'est-à-dire (k + 1)³+ 2(k + 1) est divisible par 3. Maintenant, par le principe d'induction mathématique, nous pouvons dire que P(n) : n³+ 2n est divisible par 3 est vrai.

En savoir plus,

• Progression arithmétique
• Progression géométrique

Exemples résolus sur l'induction mathématique

Exemple 1: Pour tout n ≥ 1, prouver que 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Solution:

Soit l'énoncé donné P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Maintenant, prenons un entier positif, k, et supposons que P(k) est vrai, c'est-à-dire

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Nous allons maintenant prouver que P(k + 1) est également vrai, nous avons donc maintenant :

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Ainsi P(k + 1) est vrai, chaque fois que P(k) est vrai pour tous les nombres naturels. Par conséquent, par le processus d’induction mathématique, le résultat donné est vrai pour tous les nombres naturels.

Exemple 2 : Pour tout n ≥ 1, prouver que, 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Solution:

Soit l'énoncé donné S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Maintenant, prenons un entier positif, k, et supposons que S(k) est vrai, c'est-à-dire

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Nous allons maintenant prouver que S(k + 1) est également vrai, nous avons donc maintenant :

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Ainsi S(k + 1) est vrai, chaque fois que S(k) est vrai pour tous les nombres naturels. Et nous avons initialement montré que S(1) est vrai donc S(n) est vrai pour tous les nombres naturels.

Exemple 3 : Pour tout n ≥ 1, prouver que 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n ²

Solution:

Soit l'énoncé donné S(n),

et S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Pour n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Ainsi S(1) est vrai.

Maintenant, prenons un entier positif, k, et supposons que S(k) est vrai, c'est-à-dire

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Nous allons maintenant prouver que S(k + 1) est également vrai, nous avons donc maintenant :

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

Ainsi S(k + 1) est vrai, chaque fois que S(k) est vrai pour tous les nombres naturels. Et nous avons initialement montré que S(1) est vrai donc S(n) est vrai pour tous les nombres naturels.

Exemple 4 : Pour tout n ≥ 1, prouver que 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Solution:

Soit l'énoncé donné S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Maintenant, prenons un entier positif, k, et supposons que S(k) est vrai, c'est-à-dire

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Nous allons maintenant prouver que S(k + 1) est également vrai, nous avons donc maintenant :

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Ainsi S(k + 1) est vrai, chaque fois que S(k) est vrai pour tous les nombres naturels. Et nous avons initialement montré que S(1) est vrai donc S(n) est vrai pour tous les nombres naturels.

Exemple 5 : prouver un _n = un ₁ + (n – 1) d, est le terme général de toute séquence arithmétique.

Solution:

Pour n = 1, on a un_n= un₁+ (1 – 1) d = une₁, donc la formule est vraie pour n = 1,

Supposons que la formule a_k= un₁+ (k – 1) est vrai pour tous les nombres naturels.

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Nous allons maintenant prouver que la formule est également vraie pour k+1, nous avons donc maintenant :

un_{k + 1}= un₁+ [(k + 1) – 1] ré = une₁+ k · d.

Nous avons supposé qu'un_k= un₁+ (k – 1) d, et par la définition d'une suite arithmétique a_k+1- un_k= ré,

Puis un_{k + 1}- un_k

= (un₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= un₁- un₁+ kd – kd + d
= ré

Ainsi la formule est vraie pour k + 1, chaque fois qu'elle est vraie pour k. Et nous avons initialement montré que la formule est vraie pour n = 1. Ainsi, la formule est vraie pour tous les nombres naturels.

FAQ sur l’induction mathématique

Qu'est-ce que le principe mathématique d'induction ?

Le principe d'induction mathématique est un principe qui dit que pour toute affirmation P(n) si elle est vraie pour toute valeur arbitraire 'a' si P(a) est vraie et si nous prenons P(k) comme vrai alors en prouvant P( k+1) pour être vrai, nous pouvons prouver que P(n) est vrai pour tout n ≥ a, et n appartenant à des nombres naturels.

A quoi sert l’induction mathématique ?

L'induction mathématique est le principe de base utilisé en mathématiques pour prouver les énoncés de base en mathématiques qui ne peuvent pas être facilement prouvés par d'autres moyens.

Quel est le principe de l’induction mathématique dans les matrices ?

Le principe d'induction mathématique dans les matrices est un principe de base utilisé pour prouver les énoncés de base dans les matrices qui ne sont pas faciles à prouver par d'autres moyens.

Comment appliquer le principe d’induction mathématique ?

Le principe d'induction mathématique est utilisé pour prouver des énoncés mathématiques. Supposons que nous devions prouver un énoncé P(n), alors les étapes appliquées sont :

Étape 1: Prouver que P(k) est vrai pour k =1

Étape 2: Soit P(k) est vrai pour tout k dans N et k> 1

Étape 3: Prouver que P(k+1) est vrai en utilisant des propriétés mathématiques de base.

Ainsi, si P(k+1) est vrai alors on dit que P(n) est vrai.

Quelles sont les étapes pour résoudre un problème à l’aide de l’induction mathématique ?

Trois étapes de base utilisées dans l'induction mathématique sont

• Étape de base
• Étape d'hypothèse
• Étape d'induction