La progression arithmétique, également connue sous le nom d'A.P., est une séquence mathématique où la différence entre les deux termes consécutifs est une constante. La constante est connue sous le nom de différence commune. La progression arithmétique est une séquence de nombres dans l'ordre, dans laquelle la différence entre deux nombres consécutifs est une valeur constante.

Dans cet article, nous découvrirons en détail la définition de la progression arithmétique, les formules de progression arithmétique, des exemples connexes et d'autres.

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Table des matières

• Qu’est-ce que la progression arithmétique ?
• Notations dans la progression arithmétique
• Différence commune de progression arithmétique
• Premier terme de la progression arithmétique
• Nième terme de la progression arithmétique
• Somme de la progression arithmétique
• Formule de progression arithmétique (formules AP)

Qu’est-ce que la progression arithmétique ?

Progression arithmétique (AP) est une suite de nombres dans laquelle la différence entre deux nombres consécutifs est une valeur constante. En d’autres termes, la progression arithmétique peut être définie comme Suite mathématique dans laquelle la différence entre deux termes successifs est toujours une constante.

Par exemple, les séries de nombres : 1, 2, 3, 4, 5, 6,… sont en Progression Arithmétique, qui a une différence commune (d) entre deux termes successifs (disons 1 et 2) égale à 1 (2 – 1). Une différence commune entre deux termes successifs peut être constatée, même pour les nombres impairs et les nombres pairs auxquels 2 est égal. En AP, trois termes principaux sont la différence commune (d), le nième terme (a_n), et Somme des n premiers termes (S_n); les trois termes représentent les propriétés de AP. Examinons en détail quelle est la différence commune,

Nous rencontrons différents mots comme séquence, série et progression en AP ; maintenant, voyons ce que chaque mot définit,

• Séquence est une liste finie ou infinie de nombres qui suivent un certain modèle. Par exemple, 0, 1, 2, 3, 4, 5… est la séquence, qui est une séquence infinie de nombres entiers.

• Série est la somme des éléments auxquels correspond la séquence. Par exemple 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. est la série de nombres naturels. Chaque nombre d'une séquence ou d'une série est appelé un terme. Ici 1 est un terme, 2 est un terme, 3 est un terme, etc.

• Progression est une séquence dans laquelle le terme général peut être exprimé à l'aide d'une formule mathématique ou la Séquence, qui utilise une formule mathématique pouvant être définie comme progression.

Note: Il existe principalement trois types de progression :

1. Progression arithmétique (AP)
2. Progression géométrique (médecin généraliste)
3. Progression harmonique (HP)

Notations dans la progression arithmétique

Nous rencontrerons les notations suivantes en progression arithmétique :

• Premier mandat ⇢ un
• Différence commune ⇢ d
• Nième mandat ⇢ un _n
• Somme des n premiers termes ⇢ S _n

La forme générale de la progression arithmétique est a, a + d, a + 2d… a + (n – 1)d

Voici quelques exemples d’AP :

• 6, 13, 20, 27, 34,41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Différence commune de progression arithmétique

Différence commune est noté d en progression arithmétique. C’est la différence entre le prochain mandat et celui qui le précède. Pour la progression arithmétique, elle est toujours constante ou identique. En un mot, si la différence commune est constante dans une certaine suite, on peut dire que c'est A.P. Si la suite est une_1,un₂, un₃, un₄, et ainsi de suite.

En d’autres termes, la différence commune dans la progression arithmétique est notée d. La différence entre le terme successif et le terme précédent. Elle est toujours constante ou identique pour la progression arithmétique. En d’autres termes, nous pouvons dire que, dans une séquence donnée, si la différence commune est constante ou identique, alors nous pouvons dire que la séquence donnée est dans Progression arithmétique (AP).

La formule pour trouver la différence commune est la suivante :

d = (une _{n + 1} - un _n ) = (un _n - un _n-1 )

• Si la différence commune est positive, alors Les AP augmentent . Par exemple 4, 8, 12, 16… dans ces séries, les AP augmentent

• Si la différence commune est négative alors AP diminue . Par exemple -4, -6, -8…, ici AP diminue.

• Si la différence commune est nulle alors AP sera constant . Par exemple 1, 2, 3, 4, 5…, ici AP est constant.

La séquence de progression arithmétique sera comme un ₁ , un ₂ , un ₃ , un ₄ ,…

Différence commune (d) = un ₂ - un ₁ = ré

un ₃ - un ₂ = ré

un ₄ - un ₃ = d et ainsi de suite.

Premier terme de la progression arithmétique

La progression arithmétique peut être écrite en termes de différence commune (d) comme suit :

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

où,

• a est le premier terme de AP
• d est la différence commune de AP

Nième terme de la progression arithmétique

Le nième terme peut être trouvé en utilisant la formule mentionnée ci-dessous,

T _n = une + (n − 1)d

où,

• a est le premier terme de AP
• d est la différence commune
• n est le nombre de termes
• T_nest le nième terme

Nième terme de la progression arithmétique

Note: Le comportement d'une séquence arithmétique est basé sur la valeur d'une différence commune.

• Si d est positif, les termes augmenteront jusqu’à l’infini positif.
• Si d est négatif, les termes des membres augmentent jusqu'à moins l'infini

Somme de la progression arithmétique

Formule de somme de progression arithmétique est expliqué ci-dessous ; considérons un AP composé de n termes.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Somme de la progression arithmétique lorsque le premier et le dernier terme sont donnés,

S = n/2 (premier terme de AP + dernier terme de AP)

Actrice Rakul Preet Singh

S = N/2[une+ une _n ]

Formule de progression arithmétique (formules AP)

Pour un AP avec premier terme « a » et différence commune « d », ses différentes formules sont :

• Différence commune de AP : d = une ₂ - un ₁ = un ₃ - un ₂ = un ₄ - un ₃ = … = un _n - un _n-1

• nième mandat de l'AP : un _n = une + (n – 1)d

• Somme de n termes de AP : S _n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , où l est le dernier terme de la progression arithmétique.

Résumé de la progression arithmétique

• La progression arithmétique (AP) est une séquence de nombres dans laquelle la différence entre deux nombres consécutifs est une valeur constante. Par exemple, la série de nombres : 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

• La forme générale de la progression arithmétique est a, a + d, a + 2d, a + 3d…

• La formule du nième terme de la progression arithmétique est un _n = une + (n – 1)d

• La somme des n premiers termes ou la formule de la somme arithmétique est S _n = n/2[2a + (n – 1)d] , S _n = n/2[une + une _n ]

Article relatif à la progression arithmétique :

• Formule de sommation
• Somme des nombres naturels
• Progression arithmétique et progression géométrique

Exemples de progression arithmétique

Exemple 1 : Trouvez l'AP si le premier terme est 15 et la différence commune est 4.

Solution:

Comme nous le savons,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Ici, a = 15 et d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, …et ainsi de suite.

Donc l'AP est 15, 19, 23, 27, 31…

Exemple 2 : Trouvez le 20ème terme pour l'AP donné : 3, 5, 7, 9, …

Solution:

Étant donné, 3, 5, 7, 9, 11……

parcours post-commande

Ici,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

un_n= une + (n − 1)d

un_vingt= 3 + (20− 1)2

un_vingt= 3 + 38

un_vingt= 41

Ici, le 20e mandat est un_vingt= 41

Exemple 3 : Trouvez la somme des 20 premiers multiples de 5.

Solution:

Les 20 premiers multiples de 5 sont 5, 10, 15,… 100.

Ici, il est clair que la suite formée est une suite arithmétique où,

une = 5, d = 5, une_n= 100, n = 20.

S_n= n/2 [2a + (n − 1) d]

S_n= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

S_n= 10 [10 + 95]

S_n= 1050

Questions pratiques sur la progression arithmétique

T1. La somme des nn premiers termes d'une progression arithmétique est donnée par S _n = 3n ² + 2n. Trouvez la différence commune et le premier terme.

comparaison de chaînes

Q2. Le premier terme d'une progression arithmétique est 7 et le 11ème terme est 31. Trouvez la somme des 11 premiers termes.

Q3. Dans une progression arithmétique, la somme des 10 premiers termes est 150 et la somme des 10 termes suivants est 550. Trouvez le premier terme et la différence commune.

Q4. Si le 4ème terme d'une progression arithmétique est 10 et que le 9ème terme est 25, trouvez le 15ème terme.

Q5. Une progression arithmétique a une différence commune de 5. Si le 6ème terme est 22, trouvez le premier terme et la somme des 12 premiers termes.

FAQ sur la progression arithmétique

Qu'est-ce que la progression arithmétique avec un exemple ?

La progression arithmétique est une suite de nombres dont les deux termes consécutifs ont une différence commune. Par exemple : 3, 6, 9, 12, 15,…

Comment trouver la somme de la progression arithmétique ?

Afin de trouver la somme de progression arithmétique, les formules suivantes peuvent être utilisées en fonction des informations fournies :

S = n/2 (premier terme de AP + dernier terme de AP) = n/2[a+ a _n ]

Quelle est la différence entre la progression arithmétique et les séries arithmétiques ?

La progression arithmétique est le nombre de séquences dans n'importe quelle plage qui fournissent une différence commune. Alors que la série/séquence arithmétique est la somme de tous les termes présents dans la progression arithmétique.

Quelle est la formule pour AP et GP ?

Les formules pour AP et GP sont :

• PA : un _n = une + (n – 1).d
• Médecin généraliste : un _n = a.r

Qu’est-ce que l’utilisation de la progression arithmétique ?

La progression arithmétique est la série qui donne une différence commune entre deux termes consécutifs. Il est utilisé dans la vie quotidienne pour généraliser un ensemble de modèles. Par exemple, en attendant un bus, supposons que les bus se déplacent à une vitesse constante, avec l'aide de l'AP, vous pouvez savoir quand le bus arrivera. AP peut également être utilisé pour créer des structures de type pyramidale, etc.