Pentagone est une forme géométrique fermée bidimensionnelle caractérisée par cinq côtés droits et cinq angles. Un Pentagone est l'un des différents types de polygones qui constituent une famille de formes géométriques bidimensionnelles formées en reliant des lignes droites pour entourer une région.

Dans cet article, nous discuterons Le Pentagone en détail, y compris sa forme, ses pièces, ses types, ses angles et ses formules, ainsi que quelques exemples réels d'un Pentagone.

Table des matières

'formule de maçon'

• Qu’est-ce que le Pentagone ?
• Forme du Pentagone
• Exemples du Pentagone dans la vie réelle
• Parties du Pentagone
• Angles du Pentagone
• Angle intérieur du Pentagone
• Angle extérieur du Pentagone
• Types de Pentagone
• Pentagones réguliers et irréguliers
• Pentagone convexe et concave
• Pentagone équilatéral
• Pentagone cyclique
• Propriétés du Pentagone
• Axe de symétrie
• Zone du Pentagone
• Zone du Pentagone irrégulier
• Périmètre du Pentagone
• Exemples résolus sur le Pentagone
• Problèmes de pratique sur le Pentagone

Qu’est-ce que le Pentagone ?

Un pentagone est un type de polygone caractérisé par cinq côtés droits et cinq angles intérieurs. Lorsque le terme est utilisé, il fait généralement référence à un pentagone régulier, où tous les côtés sont de même longueur et tous les angles intérieurs sont égaux, chacun mesurant 108 degrés. La somme des angles intérieurs de tout pentagone est toujours de 540 degrés

Signification du Pentagone

Le Pentagone est défini comme un polygone à cinq côtés. Il a cinq côtés droits et un total de cinq angles intérieurs, qui totalisent 540°.

Un Pentagone est classé comme une figure bidimensionnelle, plate ou plane à cinq côtés. Ces côtés sont interconnectés, formant une forme fermée. Par conséquent, un Pentagone se caractérise par exactement 5 côtés.

Lorsque tous les côtés et angles d’un pentagone sont de longueur et de mesure égales, on parle de pentagone régulier ; sinon, on l'appelle un pentagone irrégulier.

Forme du Pentagone

Le terme Pentagone vient des mots grecs Penta, qui signifie cinq, et gonia, ce qui veut dire des angles . Ainsi , un Pentagone est une figure géométrique définie par cinq côtés et cinq angles intérieurs.

Dans le cas d'un pentagone régulier, les cinq côtés sont de même longueur, les cinq angles intérieurs mesurent 108 degrés et la forme possède à la fois une symétrie de réflexion et de rotation autour de son centre, ce qui donne cinq lignes de symétrie.

Exemples du Pentagone dans la vie réelle

• Un diamant peut ressembler à un pentagone avec ses cinq côtés et ses cinq coins.
• Le siège du ministère de la Défense des États-Unis est connu sous le nom de Pentagone en raison de sa ressemblance architecturale avec une forme de pentagone.
• Un ballon de football est constitué de plusieurs pièces pentagonales noires et blanches de forme à cinq côtés.
• Les échinodermes, comme les étoiles de mer, présentent une symétrie pentagonale dans la structure de leur corps.

Parties du Pentagone

Certaines des parties les plus courantes du pentagone sont :

Angles du Pentagone

Un angle est créé lorsque deux côtés du Pentagone se croisent en un point commun appelé sommet de l’angle. Dans cette section, nous explorerons différents types d'angles au sein d'un pentagone, notamment

• Angle intérieur
• Angle extérieur

Discutons de ces deux angles en détail.

Angle intérieur du Pentagone

Un angle intérieur est l’angle formé par deux côtés adjacents de la forme à l’intérieur. Lorsque deux lignes droites se croisent dans la forme, elles créent des angles intérieurs.

Un Pentagone peut être considéré comme composé de trois triangles. Par conséquent, la somme totale des angles dans un Pentagone équivaut à la somme des angles dans trois triangles, soit 3 fois la somme des angles dans un triangle (180 degrés). Cela donne une somme de 540 degrés pour les angles intérieurs d'un Pentagone.

Somme des angles intérieurs dans n'importe quel polygone = 180° × (n − 2)

Où « n » représente le nombre de côtés. Dans le cas d'un Pentagone à 5 côtés, cette formule sera :

Somme des angles intérieurs d'un Pentagone = 180° × (5 − 2) = 3 × 180° = 540°.

Note: Chaque angle intérieur du pentagone régulier est égal à 540° ÷ n = 540° ÷ 5 = 108°.

Angle extérieur du Pentagone

Un angle extérieur est l’angle formé par deux côtés adjacents de la forme à l’extérieur. Il mesure l'angle à un sommet spécifique mais à l'extérieur de la forme.

La somme des angles extérieurs dans un Pentagone est égale à 360°. Pour prouver que la somme des angles extérieurs d’un polygone est de 360°, on peut suivre ces étapes :

Nous connaissons la formule de la somme des angles intérieurs d’un polygone régulier à « n » côtés, qui est 180° × (n − 2).

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Chaque angle intérieur du polygone peut être calculé comme suit : 180° × (n-2)/n .

C’est un fait connu que chaque angle extérieur d’un polygone est complémentaire à son angle intérieur correspondant.

Ainsi, chaque angle extérieur peut être exprimé comme suit : [180°n – 180°n + 360°]/n, ce qui se simplifie en 360°/n.

Pour trouver la somme totale des angles extérieurs du polygone, nous multiplions le nombre de côtés « n » par la mesure de chaque angle extérieur (360°/n).

En appliquant cela à un pentagone à 5 côtés (n = 5), on observe que la somme des angles extérieurs du pentagone est 5 x (360°/5) = 360°

Note: Chaque angle extérieur d'un pentagone régulier est égal à 360° ÷ n = 360° ÷ 5 = 72° .

Types de Pentagones

Les pentagones peuvent être classés en quatre types en fonction de leurs côtés, angles et sommets.

• Basé sur la longueur du côté
  • Pentagone régulier
  • Pentagone irrégulier
• Basé sur la mesure de l'angle
  • Pentagone convexe
  • Pentagone concave
• Quelques autres types de Pentagone
  • Pentagone équilatéral
  • Pentagone cyclique

Pentagones réguliers et irréguliers

Un polygone régulier contient tous ses côtés de même longueur et tous ses angles ont la même mesure. Cette symétrie garantit que le polygone a la même apparence sous n’importe quel angle ou côté. Dans le cas d'un Pentagone Régulier, il apparaît toujours identique.

D’un autre côté, un Pentagone irrégulier n’a pas cette symétrie car il possède des longueurs et des angles de côtés variables. En conséquence, la forme peut paraître différente lorsqu’elle est observée sous différents angles ou côtés.

En savoir plus: Polygones réguliers

Pentagone convexe et concave

Un pentagone convexe est un polygone dans lequel tous ses sommets pointent vers l'extérieur, créant une forme qui ne pointe pas vers l'intérieur. Dans un pentagone convexe, aucun angle interne n’est supérieur à 180°.

En d’autres termes, un pentagone concave contient une structure en forme de bol entre certains côtés et possède au moins un sommet pointé vers l’intérieur. . Dans un pentagone concave, au moins un angle interne est supérieur à 180°.

En savoir plus : Polygones convexes

Pentagone équilatéral

Un pentagone équilatéral est une forme géométrique dont les cinq côtés ont la même longueur. Bien que les angles de ce type de pentagone puissent varier dans une plage spécifique, on parle d'équilatéral et d'équiangulaire lorsque tous les côtés et tous les angles sont égaux.

Pentagone cyclique

Un Pentagone Cyclique est un polygone en géométrie où tous ses sommets sont positionnés sur la circonférence d'un cercle. Cette caractéristique d’avoir ses sommets sur la limite du cercle est ce qui le définit comme un pentagone cyclique. Un exemple classique de pentagone cyclique est un pentagone régulier.

Propriétés du Pentagone

Un Pentagone est une forme 2D comportant cinq côtés et cinq angles intérieurs. Ses principales propriétés comprennent :

La somme des angles intérieurs d'un Pentagone est toujours de 540°.

Pour un Pentagone régulier :

• Les cinq côtés sont de même longueur.
• Tous les angles intérieurs sont congrus, mesurant 108° chacun.
• Tous les angles extérieurs sont également congrus, avec une mesure de 72°.
• Les pentagones réguliers ont cinq axes de symétrie, divisant la forme en parties congruentes.
• Ils possèdent également cinq symétries de rotation.
• Cinq diagonales se coupent en un point commun au sein du pentagone.
• Le rapport entre la longueur de la diagonale et la longueur du côté dans un pentagone régulier est le nombre d’or, (1 + √5)/2.

Axe de symétrie

Le nombre de lignes de symétrie dans un polygone régulier est équivalent au nombre de ses côtés. Ces lignes symétriques s'étendent d'un sommet jusqu'au milieu du côté opposé, créant un total de 5 lignes qui divisent le pentagone en moitiés congruentes. Un pentagone régulier possède cinq axes de symétrie : un horizontal, un vertical et trois diagonales.

Zone du Pentagone

La formule pour trouver l’aire d’un Pentagone régulier est la suivante :

Surface = (5/2) × longueur du côté × longueur de l'apothème

Cette formule multiplie la moitié du périmètre (5/2) par la longueur de l'apothème. C'est une formule clé pour calculer l'aire d'un pentagone régulier en utilisant ses mesures de côté et d'apothème.

L'apothème est une ligne droite tracée du centre d'un polygone à l'un de ses côtés, et elle est perpendiculaire à ce côté ou à un segment allant du centre au milieu d'un côté.

Si seule la longueur du côté d’un pentagone est donnée, alors

Aire = 5 × longueur du côté²/ (4 tan 36°) Unités carrées

Si seul le rayon d’un pentagone est donné, alors

Aire = (5/2) × rayon²sin 72° Unités carrées

Zone du Pentagone irrégulier

Pour calculer l'aire d'un Pentagone irrégulier, nous pouvons le diviser en triangles ou quadrilatères plus petits, calculer les aires individuelles de ces formes plus petites, puis les additionner pour trouver l'aire totale du Pentagone irrégulier.

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En savoir plus: Zone du Pentagone

Périmètre du Pentagone

Il s’agit de la distance totale parcourue autour du Pentagone. La formule du périmètre ou de la circonférence d'un pentagone s'écrit :

Périmètre = (côté 1 + côté 2 + côté 3 + côté 4 + côté 5)

Pour trouver le périmètre d’un pentagone régulier, il s’agit de multiplier la longueur d’un seul côté par cinq, car tous les côtés d’un pentagone régulier sont de même longueur.

Dans le cas d'un Pentagone irrégulier, la détermination du périmètre nécessite d'additionner les longueurs des cinq côtés car ils ne sont pas de même longueur.

Les gens lisent également :

• Triangle
• Quadrilatère
• Formule diagonale
• Pyramide Pentagonale
• Prisme Pentagonal
• Polygone
• Types de polygones

Exemples résolus sur le Pentagone

Exemple 1 : Déterminez l'aire d'un Pentagone régulier, si Ayushi mesure un de ses côtés mesure 10 cm de long et l'apothème (un segment allant du centre au milieu d'un côté) mesure 8 cm de long.

Solution:

Compte tenu des données,

Longueur de l'apothème = 8 cm

Longueur du côté = 10 cm

Superficie = ½ × périmètre × apothème.

Dans ce cas, le périmètre est 5 fois la longueur d'un côté, soit 10 cm. La formule devient donc :

Superficie = ½ × 5 × 10 × 8.

Résoudre cette équation :

Superficie = ½ × 5 × 10 × 8 = ½ × 400 = 200 cm carrés.

La superficie du Pentagone régulier est donc de 200 cm carrés.

Exemple 2 : Déterminez l'aire du Pentagone régulier, s'il a une longueur de côté de 20 cm et un apothème de 15 cm.

Solution:

Compte tenu des données,

Longueur du côté = 20 cm

Longueur de l'apothème = 15 cm

Superficie = ½ × périmètre × apothème.

Dans ce cas, le périmètre est 5 fois la longueur d'un côté, soit 20 cm. La formule devient donc :

Superficie = ½ × 5 × 20 × 15.

Résoudre cette équation :

Superficie = ½ × 5 × 20 × 15 = ½ × 1 500 = 750 cm carrés.

La superficie du Pentagone régulier est donc de 750 cm carrés.

Exemple 3 : Si le périmètre d'un Pentagone Régulier est de 400 cm, découvrez la longueur de chaque côté.

Solution:

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Le périmètre du Pentagone Régulier est de 400 cm.

Le périmètre d’un Pentagone Régulier est égal au produit du nombre de côtés et de la longueur de chaque côté. Dans ce cas, il y a 5 côtés, donc :

Périmètre = 5 × Côté

Maintenant, nous pouvons déterminer la longueur de chaque côté :

400 cm = 5 × Côté

Pour trouver la longueur de chaque côté, divisez les deux côtés de l’équation par 5 :

Côté = 400 cm / 5 = 80 cm

Ainsi, la longueur de chaque côté du Pentagone Régulier est de 80 cm.

Problèmes de pratique sur le Pentagone

T1. Si la longueur d’un côté d’un périmètre est de 22 cm, quel serait le périmètre du Pentagone ?

Q2. Si le périmètre d’un Pentagone Régulier est de 360 ​​cm, quelle serait la longueur de chaque côté ?

Q3. Trouvez l’aire d’un Pentagone dont le côté mesure 8 cm.

Q4. Un pentagone régulier a une longueur de côté de 22 cm et une longueur d'apothème de 46 cm. Quels seraient sa superficie et son périmètre ?

Q5. En combien de triangles un Pentagone peut-il être divisé ?

Conclusion du Pentagone

Un pentagone est une figure géométrique bidimensionnelle avec cinq côtés droits et cinq angles intérieurs totalisant 540 degrés. En tant que polygone, il peut être régulier, avec des côtés égaux et des angles de 108 degrés, ou irrégulier, avec des longueurs et des angles variables. Le terme Pentagone dérive du grec, indiquant sa nature à cinq angles.

souligner la démarque

Dans la vraie vie, les pentagones se présentent sous diverses formes, telles que la conception architecturale du bâtiment du Pentagone, la forme d'un ballon de football et la structure corporelle des échinodermes comme les étoiles de mer. Un Pentagone est constitué de côtés, de sommets et de diagonales, ces dernières étant calculées par la formule n ( n −3) ÷2, ce qui donne cinq pour un pentagone. Il comprend des angles intérieurs, contribuant à la somme interne de la forme de 540 degrés, et des angles extérieurs qui, ensemble, reflètent l’orientation externe du polygone.

Pentagone – FAQ

Qu’est-ce que le Pentagone en géométrie ?

Un Pentagone est une forme géométrique fermée bidimensionnelle caractérisée par cinq côtés droits et cinq angles.

Combien de côtés du Pentagone ?

Il y a 5 côtés dans un Pentagone.

Combien d’axes de symétrie dans le Pentagone ?

Un pentagone régulier, dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles de même mesure, possède 5 axes de symétrie.

Un Pentagone peut-il être un parallélogramme ?

Non, un Pentagone n'est pas un parallélogramme. Un pentagone est un polygone à cinq côtés et un parallélogramme est un polygone à quatre côtés.

Écrivez la différence entre le Pentagone régulier et irrégulier ?

Lorsque tous les côtés et angles d’un pentagone sont de longueur et de mesure égales, on parle de pentagone régulier ; sinon, on l’appelle un Pentagone Irrégulier.

Quelle est la valeur de l’angle intérieur du Pentagone ?

Chaque angle intérieur du Pentagone Régulier est égal à 540° ÷ n = 540° ÷ 5 = 108°.

Un Pentagone peut-il être concave ?

Les polygones, y compris les pentagones, présentent des caractéristiques convexes ou concaves. Un polygone, tel qu'un pentagone, est convexe lorsque tous ses angles intérieurs mesurent moins de 180°. En revanche, il est classé comme concave s'il possède un ou plusieurs angles intérieurs supérieurs à 180°.

Quels sont quelques exemples réels de formes du Pentagone ?

• Un diamant peut ressembler à un pentagone avec ses cinq côtés et ses cinq coins.
• Le siège du ministère de la Défense des États-Unis est connu sous le nom de Pentagone en raison de sa ressemblance architecturale avec une forme de pentagone.
• Un ballon de football est constitué de plusieurs pièces pentagonales noires et blanches de forme à cinq côtés.
• Les échinodermes, comme les étoiles de mer, présentent une symétrie pentagonale dans la structure de leur corps.

Qu'est-ce que la somme des angles intérieurs du Pentagone ?

La somme des angles intérieurs d’un pentagone, qu’il soit régulier ou irrégulier, est de 540 degrés. Cela peut être calculé à l'aide de la formule de la somme des angles intérieurs d'un polygone : ( n −2) × 180°, où n est le nombre de côtés.

Quelle est la somme des angles extérieurs du Pentagone ?

La somme des angles extérieurs de tout polygone, y compris un pentagone, est toujours de 360 ​​​​degrés.

Comment calculer la formule du Pentagone ?

• Le nombre de diagonales dans un polygone avec « n » côtés peut être calculé comme n × (n – 3) ÷ 2 = 5 × (5 − 3) ÷ 2 = 5.
• La somme des angles intérieurs dans un polygone peut être calculée comme 180° × (n – 2) = 180° × (5 − 2) = 540°. Dans un pentagone régulier, chaque angle extérieur mesure 360° ÷ n = 360° ÷ 5 = 72°.
• Dans un pentagone régulier, chaque angle intérieur mesure 540° ÷ n = 540° ÷ 5 = 108°.
• L'aire d'un pentagone régulier peut être calculée à l'aide de la formule : 1/2 × Périmètre × Apothème.
• Le périmètre du pentagone est la somme de ses cinq côtés.

Comment pouvons-nous calculer la somme des angles du Pentagone ?

Pour trouver la somme des angles intérieurs d'un Pentagone, par exemple, on utilisera la formule : S = ( n-2) x 180° ; ici, n = 5. Par conséquent, (5-2) x1 80° = 3 x 180° = 540°.