Dans la simplification de l'expression booléenne, les lois et règles de l'algèbre booléenne jouent un rôle important. Avant de comprendre ces lois et règles de l'algèbre booléenne, comprenez le concept d'addition et de multiplication des opérations booléennes.

Ajout booléen

L’opération d’addition de l’algèbre booléenne est similaire à l’opération OU. Dans les circuits numériques, l'opération OU est utilisée pour calculer le terme de somme, sans utiliser l'opération ET. A + B, A + B', A + B + C' et A' + B + + D' sont quelques exemples de « terme somme ». La valeur du terme somme est vraie lorsqu'un ou plusieurs littéraux sont vrais et fausse lorsque tous les littéraux sont faux.

Multiplication booléenne

L'opération de multiplication de l'algèbre booléenne est similaire à l'opération ET. Dans les circuits numériques, l'opération ET calcule le produit, sans utiliser l'opération OU. AB, AB, ABC et ABCD sont quelques exemples du terme produit. La valeur du terme produit est vraie lorsque tous les littéraux sont vrais et fausse lorsque l'un des littéraux est faux.

Lois de l'algèbre booléenne

Il existe les lois suivantes de l'algèbre booléenne :

Loi commutative

Cette loi stipule que quel que soit l’ordre dans lequel nous utilisons les variables. Cela signifie que l'ordre des variables n'a pas d'importance. En algèbre booléenne, les opérations OU et d’addition sont similaires. Dans le diagramme ci-dessous, la porte OU indique que l'ordre des variables d'entrée n'a pas d'importance du tout.

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Pour deux variables, la loi commutative d’addition s’écrit :

Pour deux variables, la loi commutative de multiplication s’écrit :

Droit associatif

Cette loi stipule que l'opération peut être effectuée dans n'importe quel ordre lorsque la priorité des variables est la même. Comme '*' et '/' ont la même priorité. Dans le diagramme ci-dessous, la loi associative est appliquée à la porte OU à 2 entrées.

Pour trois variables, la loi d’addition associative s’écrit :

Pour trois variables, la loi associative de multiplication s'écrit :

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Selon cette loi, quel que soit l'ordre dans lequel les variables sont regroupées lors de l'opération AND sur plus de deux variables. Dans le diagramme ci-dessous, la loi associative est appliquée à la porte ET à 2 entrées.

Loi distributive :

Selon cette loi, si nous effectuons l'opération OU de deux variables ou plus, puis effectuons l'opération ET du résultat avec une seule variable, alors le résultat sera similaire à l'exécution de l'opération ET de cette variable unique avec chacune deux ou plusieurs variables. variable, puis effectuez l'opération OU de ce produit. Cette loi explique le processus d'affacturage.

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Pour trois variables, la loi distributive s’écrit :

Règles de l'algèbre booléenne

Il existe les règles suivantes de l'algèbre booléenne, qui sont principalement utilisées pour manipuler et simplifier les expressions booléennes. Ces règles jouent un rôle important dans la simplification des expressions booléennes.

Règle 1 : A + 0 = A

Supposons; nous avons une variable d'entrée A dont la valeur est 0 ou 1. Lorsque nous effectuons une opération OU avec 0, le résultat sera le même que la variable d'entrée. Ainsi, si la valeur de la variable est 1, alors le résultat sera 1, et si la valeur de la variable est 0, alors le résultat sera 0. Schématiquement, cette règle peut être définie comme :

Règle 2 : (A + 1) = 1

Supposons; nous avons une variable d'entrée A dont la valeur est 0 ou 1. Lorsque nous effectuons une opération OU avec 1, le résultat sera toujours 1. Ainsi, si la valeur de la variable est 1 ou 0, alors le résultat sera toujours 1. Schématiquement , cette règle peut être définie comme :

Règle 3 : (A.0) = 0

Supposons; nous avons une variable d'entrée A dont la valeur est 0 ou 1. Lorsque nous effectuons l'opération ET avec 0, le résultat sera toujours 0. Cette règle stipule qu'une variable d'entrée ET avec 0 est toujours égale à 0. Schématiquement, cette règle peut être définie comme :

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Règle 4 : (A.1) = A

Supposons; nous avons une variable d'entrée A dont la valeur est soit 0, soit 1. Lorsque nous effectuons l'opération ET avec 1, le résultat sera toujours égal à la variable d'entrée. Cette règle stipule qu'une variable d'entrée ET avec 1 est toujours égale à la variable d'entrée. Schématiquement, cette règle peut être définie comme :

Règle 5 : (A + A) = A

Supposons; nous avons une variable d'entrée A dont la valeur est 0 ou 1. Lorsque nous effectuons l'opération OU avec la même variable, le résultat sera toujours égal à la variable d'entrée. Cette règle stipule qu'une variable d'entrée en OR avec elle-même est toujours égale à la variable d'entrée. Schématiquement, cette règle peut être définie comme :

Règle 6 : (A + A') = 1

Supposons; nous avons une variable d'entrée A dont la valeur est 0 ou 1. Lorsque nous effectuons l'opération OU avec le complément de cette variable, le résultat sera toujours égal à 1. Cette règle stipule qu'une variable OR avec son complément est égale à 1. toujours. Schématiquement, cette règle peut être définie comme :

Règle 7 : (A.A) = A

Supposons; nous avons une variable d'entrée A dont la valeur est 0 ou 1. Lorsque nous effectuons l'opération ET avec la même variable, le résultat sera toujours égal à cette variable uniquement. Cette règle stipule qu'une variable AND avec elle-même est toujours égale à la variable d'entrée. Schématiquement, cette règle peut être définie comme :

Règle 8 : (A.A') = 0

Supposons; nous avons une variable d'entrée A dont la valeur est 0 ou 1. Lorsque nous effectuons l'opération ET avec le complément de cette variable, le résultat sera toujours égal à 0. Cette règle stipule qu'une variable ET avec son complément est égale à 0. toujours. Schématiquement, cette règle peut être définie comme :

Règle 9 : A = (A')'

Cette règle stipule que si nous effectuons le double complément de la variable, le résultat sera le même que la variable d'origine. Ainsi, lorsque nous effectuons le complément de la variable A, alors le résultat sera A'. De plus, si nous effectuons à nouveau le complément de A', nous obtiendrons A, c'est-à-dire la variable d'origine.

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Règle 10 : (A + AB) = A

Nous pouvons prouver cette règle en utilisant la règle 2, la règle 4 et la loi distributive comme :

Règle 11 : A + AB = A + B

Nous pouvons prouver cette règle en utilisant les règles ci-dessus comme suit :

Règle 12 : (A + B)(A + C) = A + BC

Nous pouvons prouver cette règle en utilisant les règles ci-dessus comme suit :