logo

TechCodeview

Identités trigonométriques inverses

Identités trigonométriques inverses : En mathématiques, les fonctions trigonométriques inverses sont également appelées fonctions arcus ou fonctions anti-trigonométriques. Les fonctions trigonométriques inverses sont les fonctions inverses des fonctions trigonométriques de base, c'est-à-dire sinus, cosinus, tangente, cosécante, sécante et cotangente. Il est utilisé pour trouver les angles avec n’importe quel rapport trigonométrique. Les fonctions trigonométriques inverses sont généralement utilisées dans des domaines comme la géométrie, l'ingénierie, etc. Les représentations des fonctions trigonométriques inverses sont :

Si a = f(b), alors la fonction inverse est



b = f-1(un)

convertir une chaîne en json en java

Des exemples de fonctions trigonométriques inverses inverses sont sin-1x, parce que-1x, donc-1x, etc

Table des matières



Domaine et plage des identités trigonométriques inverses

Le tableau suivant montre quelques fonctions trigonométriques avec leur domaine et leur plage.

Fonction Domaine Gamme
y = sans-1X[-onze][-p/2, p/2]
y = cos-1X[-onze][0,p]
y = cosec-1X R. – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = seconde-1X R. - (-onze)[0, π] – {π/2}
y = donc-1X R. (-p/2, p/2)
y = lit bébé-1X R. (0,p)

Propriétés des fonctions trigonométriques inverses

Voici les propriétés des fonctions trigonométriques inverses :

Propriété 1 :



  1. sans-1(1/x) = cosec-1x, pour x ≥ 1 ou x ≤ -1
  2. parce que-1(1/x) = seconde-1x, pour x ≥ 1 ou x ≤ -1
  3. donc-1(1/x) = lit bébé-1x, pour x> 0

Propriété 2 :

  1. sans-1(-x) = -péché-1x, pour x ∈ [-1 , 1]
  2. donc-1(-x) = -bronzage-1x, pour x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, pour |x| ≥ 1

Propriété 3

  1. parce que-1(-x) = π – cos-1x, pour x ∈ [-1 , 1]
  2. seconde-1(-x) = π – seconde-1x, pour |x| ≥ 1
  3. lit bébé-1(-x) = π – lit bébé-1x, pour x ∈ R

Propriété 4

  1. sans-1x + cos-1x = π/2, pour x ∈ [-1,1]
  2. donc-1x + lit bébé-1x = π/2, pour x ∈ R
  3. cosec-1x + seconde-1x = π/2 , pour |x| ≥ 1

Propriété 5

  1. donc-1x + donc-1y = donc-1( x + y )/(1 – xy), pour xy <1
  2. donc-1x – donc-1y = donc-1(x – y)/(1 + xy), pour xy> -1
  3. donc-1x + donc-1y = π + bronzage-1(x + y)/(1 – xy), pour xy>1 ; x, y>0

Propriété 6

  1. 2bronzage-1x = péché-1(2x)/(1 +x2), pour |x| ≤ 1
  2. 2bronzage-1x = cos-1(1 fois2)/(1 + x2), pour x ≥ 0
  3. 2bronzage-1x = donc-1(2x)/(1 – x2), pour 1

Identités de la fonction trigonométrique inverse

Voici les identités des fonctions trigonométriques inverses :

  1. sans-1(sin x) = x à condition que -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. parce que-1(cos x) = x à condition que 0 ≤ x ≤ π
  3. donc-1(tan x) = x à condition -π/2
  4. sans-1x) = x à condition que -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos(cos-1x) = x à condition que -1 ≤ x ≤ 1
  6. tellement tellement-1x) = x à condition que x ∈ R
  7. cosec(cosec-1x) = x à condition que -1 ≤ x ≤ ∞ ou -∞
  8. seconde(seconde-1x) = x à condition que 1 ≤ x ≤ ∞ ou -∞
  9. lit bébé (lit bébé-1x) = x à condition -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2péché-1x = péché-12x√(1 – x2)
  15. 3péché-1x = péché-1(3x – 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3tan-1x = donc-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. sans-1x + péché-1y = sans-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. sans-1x – péché-1y = sans-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. parce que-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – et2)}]
  21. parce que-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – et2)}
  22. donc-1x + donc-1y = donc-1(x + y/1 – xy)
  23. donc-1x – donc-1y = donc-1(x – y/1 + xy)
  24. donc-1x + donc-1et +bronzage-1z = donc-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Les gens voient également :

Exemples de problèmes sur les identités trigonométriques inverses

Question 1 : Essayez sans -1 x = seconde -1 1/√(1-x 2 )

Solution:

Laissez sans-1x = oui

⇒ sin y = x , (puisque sin y = perpendiculaire/hypoténuse ⇒ cos y = √(1- perpendiculaire2)/hypoténuse )

⇒ cosy = √(1 – x2), ici hypoténuse = 1

⇒ sec y = 1/cos y

⇒ sec y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = seconde-11/√(1 – x2)

⇒ sans-1x = seconde-11/√(1 – x2)

Par conséquent, prouvé.

Question 2 : Essayez donc -1 x = cosec -1 √(1 +x 2 )/X

Solution:

Laissez ainsi-1x = oui

⇒ tan y = x, perpendiculaire = x et base = 1

⇒ péché y = x/√(x2+ 1) , (puisque hypoténuse = √(perpendiculaire2+ socle2) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = cosec-1√(x2+ 1)/x

⇒ donc-1x = cosec-1√(x2+ 1)/x

Par conséquent, prouvé.

Question 3 : Évaluez-vous comme -1 X)

Solution:

Laissez parce que-1x = oui

⇒ cos y = x , base = x et hypoténuse = 1 donc sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/X

⇒ y = donc-1√(1 – x2)/X

⇒ parce que-1x = donc-1√(1 – x2)/X

Par conséquent, tan(cos-1x) = bronzage(bronzage-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/X.

Question 4 : donc -1 √(péché x) + lit bébé -1 √(péché x) = y. Trouvez cos et.

Solution:

Nous connaissons ce bronzage-1x + lit bébé-1x = /2 donc en comparant cette identité avec l'équation donnée dans la question, nous obtenons y = π/2

Ainsi, cos y = cos π/2 = 0.

Question 5 : donc -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)bronzage -1 x, x> 0. Résolvez pour x.

Solution:

donc-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)bronzage-1X

⇒ 2bronzage-1(1 – x)/(1 + x) = bronzage-1x…(1)

Nous le savons, 2tan-1x = donc-12x/(1 – x2).

Par conséquent, LHS de l’équation (1) peut s’écrire

donc-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= donc-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2- (1 fois)2}]

= donc-1[ 2(1 –x2)/(4x)]

= donc-1(1 fois2)/(2x)

Puisque LHS = RHS donc

donc-1(1 fois2)/(2x) = bronzage-1X

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Puisque x doit être supérieur à 0, donc x = 1/√3 est la réponse acceptable.

Question 6 : Essayez donc -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Solution:

Laissez ainsi-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ donc2y = x

Donc,

RHS = (1/2) cos-1(1- alors2y)/(1 + bronzage2et)

= (1/2)cos-1(parce que2et sans2y)/(cos2et + sans2et)

= (1/2)cos-1(parce que2et sans2et)

= (1/2)cos-1(cos 2 ans)

= (1/2)(2a)

= et

= donc-1√x

= LHS

Par conséquent, prouvé.

Question 7 : donc -1 (2x)/(1 – x 2 ) + lit bébé -1 (1 fois 2 )/(2x) = π/2, -1

Solutions:

donc-1(2x)/(1 – x2) + lit bébé-1(1 fois2)/(2x) = π/2

⇒ donc-1(2x)/(1 – x2) + donc-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2bronzage-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ donc-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = bronzage ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 ou x = -1 – √2

Mais selon la question x ∈ (-1, 1), donc pour l'équation donnée, l'ensemble de solutions est x ∈ ∅.

Question 8 : donc -1 1/(1 + 1,2) + bronzage -1 1/(1 + 2,3) + … + donc -1 1/(1 + n(n + 1)) = bronzage -1 X. Résoudre pour x.

Solution:

donc-11/(1 + 1,2) + bronzage-11/(1 + 2,3) + … + bronzage-11/(1 + n(n + 1)) = bronzage-1X

⇒ donc-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + bronzage-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + donc-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = bronzage-1X

⇒ (donc-12 – donc-11) + (donc-13 – donc-12) + … + (donc-1(n + 1) – donc-1n) = donc-1X

⇒ donc-1(n + 1) – donc-11 = donc-1X

⇒ donc-1n/(1 + (n + 1).1) = bronzage-1X

⇒ donc-1n/(n + 2) = bronzage-1X

⇒ X = n/(n + 2)

Question 9 : Si 2tan -1 (sans x) = donc -1 (2sec x) puis résolvez pour x.

Solution:

2bronzage-1(sans x) = donc-1(2 secondes x)

⇒ donc-1(2péché x)/(1 – péché2x) = donc-1(2/cosx)

⇒ (2péché x)/(1 – péché2x) = 2/cosx

⇒ péché x/cos2x = 1/cos x

⇒ péché x cos x = cos2X

⇒ péché x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(péché x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 ou sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 ou tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 ou x = π/4

Mais à x = π/2, l'équation donnée n'existe pas donc x = π/4 est la seule solution.

Question 10 : Prouver que le lit bébé -1 [ {√(1 + péché x) + √(1 – péché x)}/{√(1 + péché x) – √(1 – péché x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Solution:

Soit x = 2y donc

LHS = lit bébé-1[{√(1+péché 2a) + √(1-péché 2a)}/{√(1+péché 2a) – √(1-péché 2a)}]

= lit bébé-1[{√(car2et + sans2y + 2sin y cos y) + √(cos2et + sans2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2et + sans2y + 2sin y cos y) – √(cos2et + sans2y – 2sin et cosy)} ]

= lit bébé-1[{√(cos y + péché y)2+ √(cos y – péché y)2} / {√(cos y + péché y)2– √(cos et – péché et)2}]

= lit bébé-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= lit bébé-1(2cos y)/(2sin y)

= lit bébé-1(lit bébé et)

= et

=x/2.

Problèmes pratiques sur les identités trigonométriques inverses

Problème 1 : Résoudre x dans l’équation sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Problème 2 : prouver que vous êtes bronzé -1 (1) + donc -1 (2) + donc -1 (3) =p

Problème 3 : Évaluer cos⁡(sans -1 (0,5))

Problème 4 : Si vous êtes bronzé -1 (x) + bronzage -1 (2x) = π/4, puis trouvez x

FAQ sur les identités trigonométriques inverses

Que sont les fonctions trigonométriques inverses ?

Les fonctions trigonométriques inverses sont les fonctions inverses des fonctions trigonométriques de base (sinus, cosinus, tangente, cosécante, sécante et cotangente). Ils sont utilisés pour trouver les angles correspondant à des rapports trigonométriques donnés.

Pourquoi les fonctions trigonométriques inverses sont-elles importantes ?

Les fonctions trigonométriques inverses sont essentielles dans divers domaines comme la géométrie, l'ingénierie et la physique, car elles aident à déterminer les angles à partir de rapports trigonométriques, ce qui est crucial pour résoudre de nombreux problèmes pratiques.

Quels sont les domaines et les plages des fonctions trigonométriques inverses ?

Chaque fonction trigonométrique inverse a des domaines et des plages spécifiques :

s dans -1 (x) : Domaine [-1, 1] et Plage [- π/2, π/2]

parce que -1 (x) : Domaine [-1, 1] et Plage [ 0, π]

alors⁡ -1 (x) : Domaine R et Plage (- π/2, π/2)

Les fonctions trigonométriques inverses peuvent-elles être utilisées en calcul ?

Oui, les fonctions trigonométriques inverses sont fréquemment utilisées dans le calcul pour l'intégration et la différenciation. Ils sont particulièrement utiles pour intégrer des fonctions impliquant des expressions trigonométriques.