Le inverse de la matrice est la matrice qui, en multipliant par la matrice d'origine, donne une matrice d'identité. Pour toute matrice A, son inverse est noté A-1.
Découvrons en détail la Matrix Inverse, y compris sa définition, sa formule, ses méthodes pour trouver l'inverse d'une matrice et des exemples.
Table des matières
- Matrice inverse
- Termes liés à Matrix Inverse
- Comment trouver l’inverse de la matrice ?
- Inverse d'une formule matricielle
- Méthode matricielle inverse
- Exemple de matrice inverse de 2 × 2
- Déterminant de la matrice inverse
- Propriétés de l'inverse de la matrice
- Exemples de résolutions matricielles inverses
Matrice inverse
L'inverse d'une matrice est une autre matrice qui, multipliée par la matrice donnée, donne le identité multiplicative .
Pour la matrice A et son inverse de A-1, la propriété d'identité est détenue.
AA -1 = Un -1 A = je
où je est la matrice d'identité.
Termes liés à Matrix Inverse
La terminologie répertoriée ci-dessous peut vous aider à comprendre l’inverse d’une matrice plus clairement et plus facilement.
| Termes | Définition | Formule/Processus | Exemple avec la matrice A |
|---|---|---|---|
| Mineure | Le mineur d'un élément dans une matrice est le déterminant de la matrice formée en supprimant la ligne et la colonne de cet élément. | Pour l'élément aje, supprimez la ième ligne et la jième colonne pour former une nouvelle matrice et trouver son déterminant. | Mineur de un onze est le déterminant de |
| Cofacteur | Le cofacteur d'un élément est le mineur de cet élément multiplié par (-1) je+j , où i et j sont les indices de ligne et de colonne de l'élément. | Cofacteur d'unje= (-1)je+jMineur d'unje | Cofacteur de un onze = (-1) 1+1 × Mineur de un onze = Mineur de un onze |
| Déterminant | Le déterminant d'une matrice est calculé comme la somme des produits des éléments d'une ligne ou d'une colonne et de leurs cofacteurs respectifs. | Pour une ligne (ou une colonne), résumez le produit de chaque élément et son cofacteur. | Déterminant de A = un onze × Cofacteur de un onze + un 12 × Cofacteur de un 12 + un 13 × Cofacteur de un 13 . |
| Adjoint | L'adjoint d'une matrice est la transposée de sa matrice de cofacteurs. | Créez une matrice de cofacteurs pour chaque élément de la matrice d'origine puis transposez-la. | Adjoint de A est la transposée de la matrice formée par les cofacteurs de tous les éléments de A. |
Matrice singulière
Une matrice dont la valeur du déterminant est nulle est appelée matrice singulière, c'est-à-dire que toute matrice A est appelée matrice singulière si |A| = 0. L'inverse d'une matrice singulière n'existe pas.
Matrice non singulière
Une matrice dont la valeur du déterminant est non nulle est appelée matrice non singulière, c'est-à-dire que toute matrice A est appelée matrice non singulière si |A| ≠ 0. L'inverse d'une matrice non singulière existe.
Matrice d'identité
Une matrice carrée dans laquelle tous les éléments sont nuls à l’exception des principaux éléments diagonaux est appelée matrice identité. Elle est représentée par I. C'est l'élément d'identité de la matrice comme pour toute matrice A,
A×I = A
Un exemple de matrice d'identité est,
je3×3=
Il s'agit d'une matrice d'identité d'ordre 3×3.
En savoir plus :
- Matrice d'identité
Comment trouver l’inverse de la matrice ?
Il existe deux manières de trouver l'inverse d'une matrice en mathématiques :
- Utiliser la formule matricielle
- Utilisation des méthodes matricielles inverses
Inverse d'une formule matricielle
L'inverse de la matrice A, soit A-1est calculé à l'aide de la formule inverse de la matrice, qui consiste à diviser l'adjoint d'une matrice par son déterminant.
Inverse d'une formule matricielle
A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}
où,
- adj.A = adjoint de la matrice A, et
- |UNE| = déterminant de la matrice A.
Note : Cette formule ne fonctionne que sur les matrices Carrées.
Pour trouver l’inverse d’une matrice à l’aide de l’inverse d’une formule matricielle, procédez comme suit.
Étape 1: Déterminez les mineurs de tous les éléments A.
Étape 2: Ensuite, calculez les cofacteurs de tous les éléments et construisez la matrice des cofacteurs en remplaçant les éléments de A par leurs cofacteurs respectifs.
Étape 3: Prenez la transposée de la matrice des cofacteurs de A pour trouver son adjoint (écrit adj A).
Étape 4: Multiplier adj A par l'inverse du déterminant de A.
Maintenant, pour toute matrice carrée non singulière A,
UN -1 = 1 / |UNE| × Adj (A)
Exemple: Trouver l'inverse de la matrice
Nous avons,
A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight] Trouvez l'adjoint de la matrice A en calculant les cofacteurs de chaque élément, puis en obtenant la transposée de la matrice des cofacteurs.
adj.A =
left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] Trouvez la valeur du déterminant de la matrice.
|UNE| = 4(18-25) – 3(54-5) + 8(30-2)
⇒ |UNE| = 49
Ainsi, l’inverse de la matrice est :
UN-1=
frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] ⇒ Un-1=
left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]
Méthode matricielle inverse
Il existe deux méthodes de matrice inverse pour trouver l'inverse de la matrice :
- Méthode déterminante
- Méthode de transformation élémentaire
Méthode 1 : méthode déterminante
La méthode la plus importante pour trouver l’inverse de la matrice consiste à utiliser un déterminant.
tuples Java
La matrice inverse se trouve également à l’aide de l’équation suivante :
UN -1 = adj(A) / dét(A)
où,
- adj(A) est l'adjoint d'une matrice A, et
- il(A) est le déterminant d'une matrice A.
Pour trouver l'adjoint d'une matrice A, la matrice cofacteur de A est requise. Alors adjoint (A) est la transposée de la matrice cofacteur de A, c'est-à-dire
adj (A) = [C je ] T
- Pour le cofacteur d'une matrice, c'est-à-dire Cje, on peut utiliser la formule suivante :
C je = (-1) je+j il (M je )
où M je se réfère à la (je, j) ème matrice mineure quand je ème rangée et j ème la colonne est supprimée.
Méthode 2 : Méthode de transformation élémentaire
Suivez les étapes ci-dessous pour trouver une matrice inverse par méthode de transformation élémentaire.
Étape 1 : Écrivez la matrice donnée sous la forme A = IA, où I est la matrice d'identité du même ordre que A.
Étape 2 : Utilisez la séquence d'opérations sur les lignes ou sur les colonnes jusqu'à ce que la matrice d'identité soit obtenue sur le LHS, utilisez également des opérations élémentaires similaires sur le RHS de telle sorte que nous obtenions I = BA. Ainsi, la matrice B sur RHS est l’inverse de la matrice A.
Étape 3 : Assurez-vous que nous utilisons l’opération sur ligne ou l’opération sur colonne lors de l’exécution d’opérations élémentaires.
Nous pouvons facilement trouver l’inverse de la matrice 2 × 2 en utilisant l’opération élémentaire. Comprenons cela à l’aide d’un exemple.
Exemple: Trouvez l'inverse du 2 × 2, A =
Solution:
Donné:
A = IA
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} Maintenant, R.1⇢R1/2
egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A R.2⇢R2-R1
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A R.2⇢R223
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A R.1⇢R1-R2/2
egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A Ainsi, l’inverse de la matrice A =
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} estUN-1=
egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}
Exemple de matrice inverse de 2 × 2
L'inverse de la matrice 2 × 2 peut également être calculé à l'aide de la méthode raccourcie en dehors de la méthode décrite ci-dessus. Prenons un exemple pour comprendre la méthode de raccourci pour calculer l'inverse de la matrice 2 × 2.
Pour une matrice donnée A =
egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix} Nous savons, |A| = (annonce – avant JC)
et adj. A =
egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} puis en utilisant la formule de l'inverse
UN-1= (1 / |A|) × Adj A
⇒ Un-1=
[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} Ainsi, l'inverse de la matrice 2 × 2 est calculé.
Exemple de matrice inverse de 3X3
Prenons n'importe quelle matrice 3×3 A =
L'inverse de la matrice 3×3 est calculé à l'aide de la formule matricielle inverse ,
UN -1 = (1 / |A|) × Adj A
Déterminant de la matrice inverse
Le déterminant de la matrice inverse est l'inverse du déterminant de la matrice d'origine. c'est à dire.,
il (Un -1 ) = 1 / il(UNE)
La preuve de la déclaration ci-dessus est discutée ci-dessous :
det(A × B) = det (A) × det(B) (déjà connu)
⇒ UNE × UNE-1= I (par propriété de matrice inverse)
⇒ il(A × A-1) = il(je)
⇒ il(A) × il(A-1) = det(I) [ mais, det(I) = 1]
⇒ il(A) × il(A-1) = 1
⇒ il(A-1) = 1 / il(UNE)
Par conséquent, prouvé.
Propriétés de l'inverse de la matrice
La matrice inverse a les propriétés suivantes :
- Pour toute matrice non singulière A, (UN -1 ) -1 = Un
- Pour deux matrices non singulières A et B, (UN B) -1 =B -1 UN -1
- L'inverse d'une matrice non singulière existe, pour une matrice singulière, l'inverse n'existe pas.
- Pour tout A non singulier, (UN T ) -1 = (UNE -1 ) T
En rapport:
- Matrice inversible
- Matrices : propriétés et formules
- Opération mathématique sur les matrices
- Déterminant de la matrice
- Comment trouver le déterminant de la matrice ?
Exemples de résolutions matricielles inverses
Résolvons quelques exemples de questions sur l'inverse de la matrice.
Exemple 1: Trouver l'inverse de la matrice
Solution:
Nous avons,
A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight] Trouvez l'adjoint de la matrice A en calculant les cofacteurs de chaque élément, puis en obtenant la transposée de la matrice des cofacteurs.
adj.A =
left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] Trouvez la valeur du déterminant de la matrice.
|UNE| = 2(4-6) – 3(4-4) + 1(3-2)
= –3
Ainsi, l’inverse de la matrice est :
UN-1=
frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]
Exemple 2 : Trouvez l'inverse de la matrice A=old{ en utilisant la formule.}
Solution:
Nous avons,
UNE =
left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight] Trouvez l'adjoint de la matrice A en calculant les cofacteurs de chaque élément, puis en obtenant la transposée de la matrice des cofacteurs.
adj.A =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] Trouvez la valeur du déterminant de la matrice.
|UNE| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)
= 16
Ainsi, l’inverse de la matrice est :
UN-1=
frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]
Exemple 3 : Trouver l'inverse de la matrice A=
Solution:
Nous avons,
UNE =
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] Trouvez l'adjoint de la matrice A en calculant les cofacteurs de chaque élément, puis en obtenant la transposée de la matrice des cofacteurs.
adj.A =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] Trouvez la valeur du déterminant de la matrice.
|UNE| = 1(1-0) – 2(0-0) + 3(0-0)
= 1
Ainsi, l’inverse de la matrice est :
UN-1=
frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]
Exemple 4 : Trouver l'inverse de la matrice A=
Solution:
Nous avons,
xor en javaUNE =
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] Trouvez l'adjoint de la matrice A en calculant les cofacteurs de chaque élément, puis en obtenant la transposée de la matrice des cofacteurs.
adj.A =
left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] Trouvez la valeur du déterminant de la matrice.
|UNE| = 1(1-16) – 2(2-12) + 3(8-3)
= 20
Ainsi, l’inverse de la matrice est :
UN-1=
frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]
Foire aux questions sur l'inverse de la matrice
Qu’est-ce que l’inverse de la matrice ?
L'inverse d'une matrice est appelé l'inverse d'une matrice. Seules les matrices carrées dont les déterminants sont non nuls sont inversibles. Supposons que pour toute matrice carrée A avec matrice inverse B, leur produit soit toujours une matrice identité (I) du même ordre.
[A] × [B] = [I]
Qu’est-ce que Matrix ?
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres divisés en un nombre défini de lignes et de colonnes. Le nombre de lignes et de colonnes dans une matrice est appelé dimension ou ordre.
Quel est l’inverse de la matrice 2×2 ?
Pour toute matrice A ou ordre 3×3, son inverse se trouve à l'aide de la formule,
UN -1 = (1 / |A|) × Adj A
Quel est l’inverse de la matrice 3×3 ?
L'inverse de toute matrice carrée 3 × 3 (disons A) est la matrice du même ordre notée A-1de telle sorte que leur produit soit une matrice Identité d'ordre 3×3.
[UN] 3×3 × [UNE -1 ] 3×3 = [Je] 3×3
L'adjoint et l'inverse de la matrice sont-ils identiques ?
Non, l'adjoint d'une matrice et l'inverse d'une matrice ne sont pas identiques.
Comment utiliser l’inverse de Matrix ?
L'inverse d'une matrice est utilisé pour résoudre des expressions algébriques sous forme matricielle. Par exemple, pour résoudre AX = B, où A est la matrice des coefficients, X est la matrice variable et B est la matrice constante. Ici, la matrice variable est trouvée en utilisant l'opération inverse comme,
X = UNE -1 B
Que sont les matrices inversibles ?
Les matrices dont l'inverse existe sont dites inversibles. Les matrices inversibles sont des matrices qui ont un déterminant non nul.
Pourquoi l'inverse de la matrice 2 × 3 n'existe-t-il pas ?
L’inverse d’une seule matrice carrée existe. Comme la matrice 2 × 3 n’est pas une matrice carrée mais plutôt une matrice rectangulaire donc son inverse n’existe pas.
De même, la matrice 2 × 1 n’est pas non plus une matrice carrée mais plutôt une matrice rectangulaire donc son inverse n’existe pas.
Qu’est-ce que l’inverse de la matrice d’identité ?
L'inverse d'une matrice d'identité est la matrice d'identité elle-même. En effet, la matrice identité, notée je (ou je n pour un n × n matrice), est la seule matrice pour laquelle chaque élément le long de la diagonale principale est 1 et tous les autres éléments sont 0. Lorsque nous multiplions une matrice identité par elle-même (ou son inverse), nous obtenons à nouveau la matrice identité.