FONCTION TOTIENT D'EULER - TECHCODEVIEW.COM

La fonction Totient d'Euler Φ(n) pour une entrée n est le nombre de nombres dans {1, 2, 3,…, n-1} qui sont relativement premiers à n, c'est-à-dire les nombres dont le PGCD (plus grand diviseur commun) avec n est 1.

Exemples :

Φ(1) = 1
pgcd(1, 1) vaut 1

Φ(2) = 1
pgcd(1, 2) vaut 1, mais pgcd(2, 2) vaut 2.

Φ(3) = 2
pgcd(1, 3) vaut 1 et pgcd(2, 3) vaut 1

Φ(4) = 2
pgcd(1, 4) vaut 1 et pgcd(3, 4) vaut 1

Φ(5) = 4
pgcd(1, 5) vaut 1, pgcd(2, 5) vaut 1,
pgcd(3, 5) vaut 1 et pgcd(4, 5) vaut 1

Φ(6) = 2
pgcd(1, 6) vaut 1 et pgcd(5, 6) vaut 1,

Pratique recommandée Fonction Euler Totient Essayez-le !

Comment calculer Φ(n) pour une entrée n ?
UN solution simple consiste à parcourir tous les nombres de 1 à n-1 et à compter les nombres avec pgcd avec n égal à 1. Vous trouverez ci-dessous l'implémentation de la méthode simple pour calculer la fonction Totient d'Euler pour un entier d'entrée n.

 // A simple C program to calculate Euler's Totient Function #include  // Function to return gcd of a and b int gcd(int a, int b) {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a); } // A simple method to evaluate Euler Totient Function int phi(unsigned int n) {  unsigned int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result; } // Driver program to test above function int main() {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // A simple java program to calculate // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by sunnusingh>

Python3

 # A simple Python3 program  # to calculate Euler's  # Totient Function # Function to return # gcd of a and b def gcd(a, b): if (a == 0): return b return gcd(b % a, a) # A simple method to evaluate # Euler Totient Function def phi(n): result = 1 for i in range(2, n): if (gcd(i, n) == 1): result+=1 return result # Driver Code for n in range(1, 11): print('phi(',n,') = ', phi(n), sep = '') # This code is contributed # by Smitha>

 // A simple C# program to calculate // Euler's Totient Function using System; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void Main()  {  for (int n = 1; n <= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal>

Javascript >PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function // Function to return  // gcd of a and b function gcd($a, $b) {  if ($a == 0)  return $b;  return gcd($b % $a, $a); } // A simple method to evaluate // Euler Totient Function function phi($n) {  $result = 1;  for ($i = 2; $i <$n; $i++)  if (gcd($i, $n) == 1)  $result++;  return $result; } // Driver Code for ($n = 1; $n <= 10; $n++)  echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
'; // This code is contributed by Sam007 Φ>>

C++

 // A simple C++ program to calculate // Euler's Totient Function  #include  using namespace std;  // Function to return gcd of a and b  int gcd(int a, int b)  {   if (a == 0)   return b;   return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate Euler Totient Function  int phi(unsigned int n)  {   unsigned int result = 1;   for (int i = 2; i < n; i++)   if (gcd(i, n) == 1)   result++;   return result;  }  // Driver program to test above function  int main()  {   int n;   for (n = 1; n <= 10; n++)   cout << 'phi('<

Sortir

phi(1) = 1 phi(2) = 1 phi(3) = 2 phi(4) = 2 phi(5) = 4 phi(6) = 2 phi(7) = 6 phi(8) = 4 phi( 9) = 6 phi(10) = 4

Le code ci-dessus appelle la fonction gcd O(n) fois. La complexité temporelle de la fonction pgcd est O(h) où h est le nombre de chiffres dans un plus petit nombre de deux nombres donnés. Par conséquent, une limite supérieure sur le complexité temporelle de la solution ci-dessus est O(N^2 log N) [Comment Φ peut-il y avoir au plus Log_dixn chiffres dans tous les nombres de 1 à n]

Espace auxiliaire : O (log N)

Ci-dessous se trouve un Meilleure solution . L’idée est basée sur la formule du produit d’Euler qui stipule que la valeur des fonctions totales est inférieure au produit des facteurs premiers globaux p de n.

La formule dit essentiellement que la valeur de Φ(n) est égale à n multiplié par le sous-produit de (1 – 1/p) pour tous les facteurs premiers p de n. Par exemple, la valeur de Φ(6) = 6 * (1-1/2) * (1 – 1/3) = 2.
Nous pouvons trouver tous les facteurs premiers en utilisant l'idée utilisée dans ce poste.

1) Initialiser : résultat = n
2) Exécutez une boucle de 'p' = 2 à sqrt(n), procédez comme suit pour chaque 'p'.
a) Si p divise n, alors
Ensemble : résultat = résultat * (1,0 - (1,0 / (float) p));
Divisez toutes les occurrences de p dans n.
3) Retourner le résultat

Vous trouverez ci-dessous la mise en œuvre de la formule du produit d’Euler.

C++

 // C++ program to calculate Euler's  // Totient Function using Euler's // product formula #include  using namespace std; int phi(int n) {    // Initialize result as n  float result = n;     // Consider all prime factors of n   // and for every prime factor p,  // multiply result with (1 - 1/p)  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)  {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) résultat -= résultat / n ;  //Puisque dans l'ensemble {1,2,....,n-1}, tous les nombres sont relativement premiers avec n //si n est un nombre premier return (int)result; } // Code du pilote int main() { int n;    pour(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) <

 // C program to calculate Euler's Totient Function // using Euler's product formula #include  int phi(int n) {  float result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and for every prime  // factor p, multiply result with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) résultat -= résultat / n ;  //Puisque dans l'ensemble {1,2,....,n-1}, tous les nombres sont relativement premiers avec n //si n est un nombre premier return (int)result; } // Programme pilote pour tester la fonction ci-dessus int main() { int n;  pour (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // Java program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula import java.io.*; class GFG {  static int phi(int n)  {  // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors of n and for  // every prime factor p, multiply result  // with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {  // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {  // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) résultat -= résultat / n ;  //Puisque dans l'ensemble {1,2,....,n-1}, tous les nombres sont relativement premiers avec n //si n est un nombre premier return (int)result;  } // Programme pilote pour tester la fonction ci-dessus public static void main(String args[]) { int n;  pour (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by Nikita Tiwari.>

Python3

 # Python 3 program to calculate # Euler's Totient Function # using Euler's product formula def phi(n) : result = n # Initialize result as n # Consider all prime factors # of n and for every prime # factor p, multiply result with (1 - 1 / p) p = 2 while p * p<= n : # Check if p is a prime factor. if n % p == 0 : # If yes, then update n and result while n % p == 0 : n = n // p result = result * (1.0 - (1.0 / float(p))) p = p + 1 # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most one # such prime factor) if n>1 : résultat -= résultat // n #Puisque dans l'ensemble {1,2,....,n-1}, tous les nombres sont relativement premiers avec n #si n est un nombre premier return int(result) # Driver programme pour tester la fonction ci-dessus pour n dans range(1, 11) : print('phi(', n, ') = ', phi(n)) # Ce code est contribué # par Nikita Tiwari.>

 // C# program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula using System; class GFG {    static int phi(int n)  {    // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors  // of n and for every prime   // factor p, multiply result  // with (1 - 1 / p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (float)(1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor   // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) résultat -= résultat / n ;  //Puisque dans l'ensemble {1,2,....,n-1}, tous les nombres sont relativement premiers avec n //si n est un nombre premier return (int)result;  } // Code du pilote public static void Main() { int n;  pour (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal.>

Javascript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi(n) {  // Initialize result as n  let result = n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for (let p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if (n>1) résultat -= résultat / n ;  //Puisque dans l'ensemble {1,2,....,n-1}, tous les nombres sont relativement premiers avec n //si n est un nombre premier return parseInt(result); } // Code du pilote pour (soit n = 1 ; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi($n) {  // Initialize result as n  $result = $n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for ($p = 2; $p * $p <= $n; ++$p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while ($n % $p == 0)  $n /= $p;  $result *= (1.0 - (1.0 / $p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if ($n>1) $résultat -= $résultat / $n ;  //Puisque dans l'ensemble {1,2,....,n-1}, tous les nombres sont relativement premiers avec n //si n est un nombre premier return intval($result); } // Code du conducteur pour ($n = 1 ; $n<= 10; $n++) echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
';   // This code is contributed by Sam007 Φ>>

Sortir

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4

Complexité temporelle : O(Φnlogn)
Espace auxiliaire : O(1)

Nous pouvons éviter les calculs à virgule flottante dans la méthode ci-dessus. L'idée est de compter tous les facteurs premiers et leurs multiples et de soustraire ce nombre de n pour obtenir la valeur totale de la fonction (les facteurs premiers et les multiples de facteurs premiers n'auront pas pgcd égal à 1)

1) Initialiser le résultat comme n
2) Considérez chaque nombre « p » (où « p » varie de 2 à Φ(n)).
Si p divise n, alors procédez comme suit
a) Soustraire tous les multiples de p de 1 à n [tous les multiples de p
aura un pgcd supérieur à 1 (au moins p) avec n]
b) Mettez à jour n en le divisant à plusieurs reprises par p.
3) Si le n réduit est supérieur à 1, supprimez tous les multiples
de n à partir du résultat.

Vous trouverez ci-dessous l'implémentation de l'algorithme ci-dessus.

C++

 // C++ program to calculate Euler's // Totient Function #include  using namespace std; int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;     // Consider all prime factors of n   // and subtract their multiples   // from result  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result -= result / p;  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) résultat -= résultat / n ;    renvoyer le résultat ; } // Code du pilote int main() { int n;  pour(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) << endl;  }  return 0; } // This code is contributed by koulick_sadhu>

 // C program to calculate Euler's Totient Function #include  int phi(int n) {  int result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) résultat -= résultat / n ;  renvoyer le résultat ; } // Programme pilote pour tester la fonction ci-dessus int main() { int n;  pour (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // Java program to calculate  // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG  { static int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;   // Consider all prime factors   // of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) résultat -= résultat / n ;  renvoyer le résultat ; } // Code du pilote public static void main (String[] args) { int n;  pour (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n +   ') = ' + phi(n)); } } // This code is contributed by ajit>

Python3

 # Python3 program to calculate  # Euler's Totient Function def phi(n): # Initialize result as n result = n; # Consider all prime factors # of n and subtract their # multiples from result p = 2; while(p * p <= n): # Check if p is a  # prime factor. if (n % p == 0): # If yes, then  # update n and result while (n % p == 0): n = int(n / p); result -= int(result / p); p += 1; # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most  # one such prime factor) if (n>1) : résultat -= int(résultat / n); renvoyer le résultat ; # Code du pilote pour n dans la plage (1, 11) : print('phi(',n,') =', phi(n)); # Ce code est contribué # par mits>

 // C# program to calculate  // Euler's Totient Function using System; class GFG {   static int phi(int n) { // Initialize result as n int result = n;  // Consider all prime  // factors of n and  // subtract their  // multiples from result for (int p = 2;  p * p <= n; ++p) {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  } } // If n has a prime factor // greater than sqrt(n) // (There can be at-most  // one such prime factor) if (n>1) résultat -= résultat / n ; renvoyer le résultat ; } // Code du pilote static public void Main () { int n;  pour (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n +   ') = ' +  phi(n)); } } // This code is contributed  // by akt_mit>

Javascript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function function phi(n) {  // Initialize   // result as n  let result = n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for (let p = 2;   p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while (n % p == 0)  n = parseInt(n / p);  result -= parseInt(result / p);  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) résultat -= parseInt(résultat / n);  renvoyer le résultat ; } // Code du pilote pour (soit n = 1 ; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed  // by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function function phi($n) {  // Initialize   // result as n  $result = $n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for ($p = 2;   $p * $p <= $n; ++$p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while ($n % $p == 0)  $n = (int)$n / $p;  $result -= (int)$result / $p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if ($n>1) $résultat -= (int)$résultat / $n ;  renvoie $résultat ; } // Code du conducteur pour ($n = 1 ; $n<= 10; $n++)  echo 'phi(', $n,') =',   phi($n), '
';   // This code is contributed  // by ajit Φ>>

Sortir

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4

Complexité temporelle : O(Φnlogn)
Espace auxiliaire : O(1)

Prenons un exemple pour comprendre l'algorithme ci-dessus.

n = 10.
Initialiser : résultat = 10

2 est un facteur premier, donc n = n/i = 5, résultat = 5
3 n’est pas un facteur premier.

La boucle for s'arrête après 3 car 4*4 n'est pas inférieur ou égal
à 10.

Après la boucle for, résultat = 5, n = 5
Puisque n> 1, résultat = résultat - résultat/n = 4

Quelques propriétés intéressantes de la fonction Totient d’Euler

1) Pour un nombre premier p ,phi(p) = p – 1

Preuve :

chaîne comparer c#

phi(p) = p - 1, où p est un nombre premier. Nous savons quegcd(p, k) = 1où k est n'importe quel nombre aléatoire etk eq pNombre total de 1 à p = p Nombre pour lequelgcd(p, k) = 1est1, c'est-à-dire le nombre p lui-même, donc en soustrayant 1 de pphi(p) = p - 1

Exemples :

phi(5) = 5 - 1 = 4phi(13) = 13 - 1 = 12phi(29) = 29 - 1 = 28

2) Pour deux nombres premiers a et b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) = (a – 1) cdot (b – 1) , utilisé dans Algorithme RSA

Preuve :

phi(acdot b) = phi(a) cdot phi(b), où a et b sont des nombres premiersphi(a) = a - 1,phi(b) = b - 1Nombre total de 1 à ab = ab Multiples totaux de a de 1 à ab =frac{a cdot b} {a}=bMultiples totaux de b de 1 à ab =frac{a cdot b} {b}=a Exemple: a = 5, b = 7, ab = 35Multiples de a =frac {35} {5}= 7 {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}Multiples de b =frac {35} {7}= 5 {7, 14, 21, 28, 35} Peut-il y avoir une double comptabilisation ? (regardez attentivement l'exemple ci-dessus, essayez avec d'autres nombres premiers aussi pour mieux comprendre)Bien sûr, nous avons comptéab deux fois en multiples de a et multiples de b donc, Total des multiples = a + b - 1 (avec lequelgcd eq 1avecab)phi(ab) = ab - (a + b - 1), en supprimant tous les numéros avecgcd eq 1avecab phi(ab) = a(b - 1) - (b - 1)phi(ab) = (a - 1) cdot (b - 1)phi(ab) = phi(a) cdot phi(b)

Exemples :

phi(5 cdot 7) = phi(5) cdot phi(7) = (5 - 1) cdot (7 - 1) = 24phi(3 cdot 5) = phi(3) cdot phi(5) = (3 - 1) cdot (5 - 1) = 8phi(3 cdot 7) = phi(3) cdot phi(7) = (3 - 1) cdot (7 - 1) = 12

3) Pour un nombre premier p ,phi(p ^ k) = p ^ k – p ^ {k – 1}

Preuve :

phi(p^k) = p ^ k - p ^{k - 1}, où p est un nombre premierNombres totaux de 1 àp ^ k = p ^ kMultiples totaux dep = frac {p ^ k} {p} = p ^ {k - 1}Supprimer ces multiples comme avec euxgcd eq 1 Exemple : p = 2, k = 5,p ^ k= 32Multiples de 2 (comme pour euxgcd eq 1) = 32 / 2 = 16 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32}phi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}

Exemples :

phi(2 ^ 5) = 2 ^ 5 - 2 ^ {5 - 1} = 32 - 16 = 16phi(5 ^ 3) = 5 ^ 3 - 5 ^ {3 - 1} = 125 - 25 = 100phi(3 ^ 5) = 3 ^ 5 - 3 ^ {5 - 1} = 243 - 81 = 162

4) Pour deux numéros a et b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}

Cas particulier : pgcd(a, b) = 1

git paiement

phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {1} {phi(1)} = phi(a) cdot phi(b)

Exemples :

Cas particulier : gcd(a, b) = 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) phi(2 cdot 9) = phi(2) cdot phi(9) = 1 cdot 6 = 6phi(8 cdot 9) = phi(8) cdot phi(9) = 4 cdot 6 = 24phi(5 cdot 6) = phi(5) cdot phi(6) = 4 cdot 2 = 8 Cas normal : gcd(a, b) eq 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}phi(4 cdot 6) = phi(4) cdot phi(6) cdot frac {gcd(4, 6)} {phi(gcd(4, 6))} = 2 cdot 2 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 2 cdot 2 = 8phi(4 cdot 8) = phi(4) cdot phi(8) cdot frac {gcd(4, 8)} {phi(gcd(4, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{4}{2} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16phi(6 cdot 8) = phi(6) cdot phi(8) cdot frac {gcd(6, 8)} {phi(gcd(6, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16

5) La somme des valeurs des fonctions totales de tous les diviseurs de n est égale à n.

gauss

Exemples :

n = 6
facteurs = {1, 2, 3, 6}
n =phi(1) + phi(2) + phi(3) + phi(6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6n = 8 facteurs = {1, 2, 4, 8}n =phi(1) + phi(2) + phi(4) + phi(8)= 1 + 1 + 2 + 4 = 8n = 10 facteurs = {1, 2, 5, 10}n =phi(1) + phi(2) + phi(5) + phi(10)= 1 + 1 + 4 + 4 = 10

6) La caractéristique la plus célèbre et la plus importante est exprimée dans Théorème d'Euler :

Le théorème dit que si n et a sont premiers entre eux
(ou relativement premiers) entiers positifs, alors

un^Φ(n)Φ 1 (mod n)

Le Cryptosystème RSA est basé sur ce théorème :
Dans le cas particulier où m est premier, disons p, le théorème d’Euler se transforme en ce qu’on appelle Le petit théorème de Fermat :

un^p-1Φ 1 (contre p)

7) Le nombre de générateurs d'un groupe cyclique fini sous addition modulo n est Φ(n) .

Article associé:
Fonction Totient d'Euler pour tous les nombres inférieurs ou égaux à n
Fonction Euler Totient optimisée pour plusieurs évaluations

Les références:
http://e-maxx.ru/algo/euler_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function

https://cp-algorithms.com/algebra/phi-function.html

http://mathcenter.oxford.memory.edu/site/math125/chineseRemainderTheorem/