Aigus, obtus, isocèles, équilatéraux… Lorsqu'il s'agit de triangles, il existe de nombreuses variétés différentes, mais seulement quelques-unes sont « spéciales ». Ces triangles spéciaux ont des côtés et des angles cohérents et prévisibles et peuvent être utilisés pour vous frayer un chemin à travers vos problèmes de géométrie ou de trigonométrie. Et un triangle 30-60-90 – prononcé « trente soixante quatre-vingt-dix » – s'avère être en effet un type de triangle très spécial.
Dans ce guide, nous vous expliquerons ce qu'est un triangle 30-60-90, pourquoi il fonctionne et quand (et comment) utiliser vos connaissances à ce sujet. Alors allons-y !
Qu'est-ce qu'un triangle 30-60-90 ?
Un triangle 30-60-90 est un triangle rectangle spécial (un triangle rectangle étant tout triangle contenant un angle de 90 degrés) qui a toujours des angles en degrés de 30 degrés, 60 degrés et 90 degrés. Parce qu'il s'agit d'un triangle spécial, il a également des valeurs de longueur de côté qui sont toujours dans une relation cohérente les unes avec les autres.
Le rapport triangulaire de base 30-60-90 est :
Côté opposé à l'angle de 30° : $x$
Côté opposé à l'angle de 60° : $x * √3$
Côté opposé à l'angle de 90° : x$
Par exemple, un triangle de 30-60-90 degrés pourrait avoir des longueurs de côtés de :
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
aryen khan
(Pourquoi la jambe la plus longue est-elle 3 ? Dans ce triangle, la jambe la plus courte ($x$) est $√3$, donc pour la jambe la plus longue, $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. Et l'hypoténuse est 2 fois la jambe la plus courte, soit 2√3$)
Et ainsi de suite.
Le côté opposé à l'angle de 30° est toujours le plus petit , car 30 degrés est le plus petit angle. Le côté opposé à l'angle de 60° sera la longueur moyenne , car 60 degrés est l’angle en degrés de taille moyenne dans ce triangle. Et enfin, le côté opposé à l'angle de 90° sera toujours le plus grand côté (l'hypoténuse). car 90 degrés est le plus grand angle.
Bien qu'il puisse ressembler à d'autres types de triangles rectangles, la raison pour laquelle un triangle 30-60-90 est si spécial est que vous n'avez besoin que de trois informations pour trouver toutes les autres mesures. Tant que vous connaissez la valeur de deux mesures d'angle et de la longueur d'un côté (peu importe le côté), vous savez tout ce que vous devez savoir sur votre triangle.
Par exemple, nous pouvons utiliser la formule du triangle 30-60-90 pour remplir toutes les informations restantes des triangles ci-dessous.
Exemple 1
On voit qu’il s’agit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse fait deux fois la longueur d’une des jambes. Cela signifie qu'il doit s'agir d'un triangle 30-60-90 et que le plus petit côté donné est opposé aux 30°.
La jambe la plus longue doit donc être à l'opposé de l'angle de 60° et mesurer 6 $ * √3$, soit 6 $√3$.
Exemple 2
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Nous pouvons voir que ce doit être un triangle 30-60-90 car nous pouvons voir qu'il s'agit d'un triangle rectangle avec une mesure donnée, 30°. L'angle non marqué doit alors être de 60°.
Puisque 18 est la mesure opposée à l'angle de 60°, elle doit être égale à $x√3$. La jambe la plus courte doit alors mesurer 18$/√3$.
(Notez que la longueur de la jambe sera en réalité de 18 $/{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ car un dénominateur ne peut pas contenir de racine radicale/carrée).
Et l'hypoténuse sera (18/√3)$
(Notez que, encore une fois, vous ne pouvez pas avoir de radical dans le dénominateur, donc la réponse finale sera en réalité 2 fois la longueur de jambe de 6√3$ => 12√3$).
Exemple 3
Encore une fois, on nous donne deux mesures d'angle (90° et 60°), donc la troisième mesure sera de 30°. Comme il s’agit d’un triangle 30-60-90 et que l’hypoténuse est de 30, la jambe la plus courte sera égale à 15 et la jambe la plus longue sera égale à 15√3.
Pas besoin de consulter la boule magique huit : ces règles fonctionnent toujours.
Pourquoi ça marche : preuve du théorème du triangle 30-60-90
Mais pourquoi ce triangle spécial fonctionne-t-il ainsi ? Comment savons-nous que ces règles sont légitimes ? Voyons exactement comment fonctionne le théorème du triangle 30-60-90 et prouvons pourquoi ces longueurs de côtés seront toujours cohérentes.
Tout d’abord, oublions les triangles rectangles pendant une seconde et regardons un triangle équilatéral.
Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés et tous les angles sont égaux. Parce que les angles intérieurs d'un triangle totalisent toujours 180° et 180/3 $ = 60$, un triangle équilatéral aura toujours trois angles de 60°.
Maintenant, descendons d'une hauteur depuis l'angle le plus haut jusqu'à la base du triangle.
Nous avons maintenant créé deux angles droits et deux triangles congrus (égaux).
Comment savons-nous que ce sont des triangles égaux ? Parce que nous avons chuté d'une hauteur d'un équilatéral triangle, nous avons divisé la base exactement en deux. Les nouveaux triangles partagent également une longueur de côté (la hauteur) et ont chacun la même longueur d’hypoténuse. Parce qu'ils partagent trois longueurs de côté en commun (SSS), cela signifie les triangles sont congrus.
Remarque : non seulement les deux triangles sont congrus sur la base des principes des longueurs côté-côté, ou SSS, mais également sur la base des mesures côté-angle-côté (SAS), angle-angle-côté (AAS) et angle- angle latéral (ASA). Essentiellement? Ils sont très certainement congruents.
Maintenant que nous avons prouvé les congruences des deux nouveaux triangles, nous pouvons voir que les angles supérieurs doivent chacun être égaux à 30 degrés (car chaque triangle a déjà des angles de 90° et 60° et doit totaliser 180°). Cela signifie nous avons réalisé deux triangles 30-60-90.
Et comme nous savons que nous avons coupé la base du triangle équilatéral en deux, nous pouvons voir que le côté opposé à l'angle de 30° (le côté le plus court) de chacun de nos triangles 30-60-90 fait exactement la moitié de la longueur de l'hypoténuse. .
Appelons donc notre longueur de côté d'origine $x$ et notre longueur bissectrice $x/2$.
Il ne nous reste plus qu’à trouver la longueur médiane que partagent les deux triangles. Pour ce faire, on peut simplement utiliser le théorème de Pythagore.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
bash elif
Il nous reste donc : $x/2, {x√3}/2, x$
Multiplions maintenant chaque mesure par 2, histoire de nous faciliter la vie et d'éviter toutes les fractions. De cette façon, il nous reste :
$x$, $x√3$, x$
Nous pouvons donc voir qu'un triangle 30-60-90 toujours avoir des longueurs de côté cohérentes de $x$, $x√3$ et x$ (ou $x/2$, ${√3x}/2$ et $x$).
Heureusement pour nous, nous pouvons prouver que les règles du triangle 30-60-90 sont vraies sans tout cela.
Quand utiliser les règles du triangle 30-60-90
Connaître les règles du triangle 30-60-90 pourra vous faire gagner du temps et de l'énergie sur une multitude de problèmes mathématiques différents, notamment une grande variété de problèmes de géométrie et de trigonométrie.
Géométrie
Une bonne compréhension des triangles 30-60-90 vous permettra de résoudre des questions de géométrie qui seraient soit impossibles à résoudre sans connaître ces règles de rapport, soit, à tout le moins, prendraient beaucoup de temps et d'efforts pour résoudre le « long chemin ».
Avec les rapports triangulaires spéciaux, vous pouvez déterminer les hauteurs de triangle ou les longueurs de jambe manquantes (sans avoir à utiliser le théorème de Pythagore), trouver l'aire d'un triangle en utilisant les informations manquantes sur la hauteur ou la longueur de base et calculer rapidement les périmètres.
Chaque fois que vous avez besoin de rapidité pour répondre à une question, mémoriser des raccourcis tels que vos règles 30-60-90 vous sera utile.
Trigonométrie
Mémoriser et comprendre le rapport triangulaire 30-60-90 vous permettra également de résoudre de nombreux problèmes de trigonométrie sans avoir besoin d'une calculatrice ni avoir besoin d'approcher vos réponses sous forme décimale.
Un triangle 30-60-90 a des sinus, des cosinus et des tangentes assez simples pour chaque angle (et ces mesures seront toujours cohérentes).
Le sinus de 30° sera toujours 1/2$.
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Le cosinus de 60° sera toujours 1/2$.
Bien que les autres sinus, cosinus et tangentes soient assez simples, ce sont les deux qui sont les plus faciles à mémoriser et sont susceptibles d’apparaître dans les tests. Connaître ces règles vous permettra donc de retrouver ces mesures trigonométriques le plus rapidement possible.
Conseils pour se souvenir des règles 30-60-90
Vous savez que ces règles du ratio 30-60-90 sont utiles, mais comment garder l’information en tête ? Se souvenir des règles du triangle 30-60-90 revient à se souvenir du rapport 1 : √3 : 2, et à savoir que la longueur du côté le plus court est toujours opposée à l'angle le plus court (30°) et que la longueur du côté le plus long est toujours opposée à l'angle le plus court. angle le plus grand (90°).
Certaines personnes mémorisent le ratio en pensant : « $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' parce que la succession ' 1, 2, 3 ' est généralement facile à retenir. La seule précaution à prendre lors de l'utilisation de cette technique est de se rappeler que le côté le plus long est en réalité le x$, pas les $x$ fois $√3$.
Une autre façon de mémoriser vos ratios est de utilisez un jeu de mots mnémotechnique sur le rapport 1 : racine 3 : 2 dans le bon ordre. Par exemple, « Jackie Mitchell a retiré Lou Gehrig sur des prises et « a gagné Ruthy aussi » : un, racine de trois, deux. (Et c'est un véritable fait sur l'histoire du baseball en plus !)
Jouez avec vos propres moyens mnémotechniques si ceux-ci ne vous intéressent pas : chantez le ratio d'une chanson, trouvez vos propres phrases « un, racine de trois, deux » ou inventez un poème de ratio. Vous pouvez même simplement vous rappeler qu'un triangle 30-60-90 est un demi-équilatéral et déterminer les mesures à partir de là si vous n'aimez pas les mémoriser.
Cependant, il est logique que vous vous souveniez de ces règles 30-60-90, gardez ces rapports en tête pour vos futures questions de géométrie et de trigonométrie.
La mémorisation est votre amie, mais vous pouvez y parvenir.
Exemple de questions 30-60-90
Maintenant que nous avons examiné le comment et le pourquoi des triangles 30-60-90, résolvons quelques problèmes pratiques.
Géométrie
Un ouvrier du bâtiment appuie une échelle de 40 pieds contre le côté d'un bâtiment à un angle de 30 degrés par rapport au sol. Le sol est plat et le côté du bâtiment est perpendiculaire au sol. Jusqu'où l'échelle atteint-elle le bâtiment, au pied le plus proche ?
Sans connaître nos règles spéciales des triangles 30-60-90, nous devrions utiliser la trigonométrie et une calculatrice pour trouver la solution à ce problème, puisque nous n'avons qu'une seule mesure de côté d'un triangle. Mais parce que nous savons qu'il s'agit d'un spécial triangle, nous pouvons trouver la réponse en quelques secondes seulement.
Si le bâtiment et le sol sont perpendiculaires l'un à l'autre, cela doit signifier que le bâtiment et le sol forment un angle droit (90°). Il va de soi que l'échelle rencontre le sol à un angle de 30°. On voit donc que l'angle restant doit être de 60°, ce qui en fait un triangle 30-60-90.
Nous savons maintenant que l'hypoténuse (côté le plus long) de ce 30-60-90 mesure 40 pieds, ce qui signifie que le côté le plus court fera la moitié de cette longueur. (N'oubliez pas que le côté le plus long est toujours deux fois — x$ — aussi long que le côté le plus court.) Parce que le côté le plus court est opposé à l'angle de 30° et que cet angle est la mesure en degrés de l'échelle à partir du sol, cela signifie que le haut de l'échelle heurte le bâtiment à 20 pieds du sol.
tableau de réaction
Notre réponse finale est 20 pieds.
Trigonométrie
Si, dans un triangle rectangle, sin Θ = /2$ et que la longueur de jambe la plus courte est 8. Quelle est la longueur du côté manquant qui n'est PAS l'hypoténuse ?
Parce que vous connaissez vos règles 30-60-90, vous pouvez résoudre ce problème sans avoir recours au théorème de Pythagore ou à une calculatrice.
On nous a dit qu'il s'agissait d'un triangle rectangle, et nous savons grâce à nos règles spéciales du triangle rectangle que sinus 30° = 1/2$. L’angle manquant doit donc être de 60 degrés, ce qui en fait un triangle 30-60-90.
Et comme il s'agit d'un triangle 30-60-90, et qu'on nous a dit que le côté le plus court est 8, l'hypoténuse doit être 16 et le côté manquant doit être 8 $ * √3$, ou 8√3$.
Notre réponse finale est 8√3.
Les plats à emporter
Se souvenir du les règles pour les triangles 30-60-90 vous aideront à résoudre une variété de problèmes mathématiques . Mais gardez à l’esprit que, même si connaître ces règles est un outil pratique à garder à votre portée, vous pouvez toujours résoudre la plupart des problèmes sans elles.
Gardez une trace des règles de $x$, $x√3$, x$ et 30-60-90 de la manière qui vous semble logique et essayez de les garder claires si vous le pouvez, mais ne paniquez pas si votre esprit s'éteint quand c'est le moment critique. Quoi qu'il en soit, vous avez ceci.
Et si vous avez besoin de plus de pratique, allez-y et jetez un œil à ceci Quiz triangulaire 30-60-90 . Bon test !