Dérivée de la fonction arc tangente est noté bronzage^-1(x) ou arctan(x). C'est égal à 1/(1+x ² ) . Dérivée de la fonction arc tangente est trouvé en déterminant le taux de changement de la fonction arc tan par rapport à la variable indépendante. La technique permettant de trouver des dérivées de fonctions trigonométriques est appelée différenciation trigonométrique.

Dérivé d'Arctan

Dans cet article, nous découvrirons la dérivée d'arc tan x et sa formule, y compris la preuve de la formule. En dehors de cela, nous avons également fourni quelques exemples résolus pour une meilleure compréhension.

Dérivé d'Arctan x

La dérivée de la fonction arc tangente ou arctan(x) est 1/(1+x ² ). L'arctan x représente l'angle dont la tangente est x. En d’autres termes, si y = arctan(x), alors tan(y) = x.

La dérivée d'une fonction peut être trouvée à l'aide de la règle de la chaîne. Si vous avez une fonction composite comme arctan(x), vous différenciez la fonction externe par rapport à la fonction interne, puis multipliez par la dérivée de la fonction interne.

Dérivé d'Arctan x Formule

La formule de la dérivée de l'inverse de tan x est donnée par :

d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x ² )

Vérifiez également :

• Arctan – Formule, graphique, identités, domaine, plage et FAQ
• Calcul en mathématiques
• Inverse Fonction trigonométrique

Preuve de dérivé d'Arctan x

La dérivée de l'inverse de tan x peut être prouvée des manières suivantes :

• En utilisant Règle de la chaîne
• En utilisant Méthode de différenciation implicite
• Utiliser les premiers principes des dérivés

Dérivé d'Arctan x par règle de chaîne

Pour prouver la dérivée d'Arctan x par la règle de chaîne, nous utiliserons la formule trigonométrique de base et trigonométrique inverse :

• seconde²y = 1 + bronzage²et
• bronzage(arctan x) = x

Voici la preuve de dérivée d'arctan x :

Supposons que y = arctan(x)

En prenant du bronzage des deux côtés on obtient :

bronzage y = bronzage (arctan X)

bronzage y = x [comme bronzage (arctan x) = x]

Différenciez maintenant les deux côtés par rapport à x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

Rajesh Khanna

d/dx(bronzage y) = 1 [comme d/dx(x) = 1]

En appliquant la règle de la chaîne pour différencier tan y par rapport à x, nous obtenons

d/dx(tan y) = sec²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/s²et

dy/dx = 1/ 1 + bronzage²y [comme sec²y = 1 + bronzage²et]

Maintenant, nous savons que tan y = x, en remplaçant la valeur dans l'équation ci-dessus, nous obtenons

dy/dx = 1/ 1 + x²

Dérivé d'Arctan x par méthode de différenciation implicite

Le dérivé de l'arctan x peut être prouvé en utilisant la méthode de différenciation implicite. Nous utiliserons les formules trigonométriques de base répertoriées ci-dessous :

• seconde²x = ( 1 + bronzage²X )

• Si y = arctan x ⇒ x = tan y et x²= donc²et

Commençons la preuve de la dérivée d'arctan x , supposons que f(x) = y = arctan X

Par méthode de différenciation implicite

f(x) = y = arctan X

⇒ x = tan y

Prendre la dérivée des deux côtés par rapport à x

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tany]

Multiplier et diviser le membre de droite par dy

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = seconde²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+tan²y) [Comme sec²x = ( 1 + bronzage²X )]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan²et )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Donc f'(x) = 1/ ( 1+x²)

Dérivé d'Arctan x par le premier principe

Pour prouver la dérivée d'arctan x en utilisant le premier principe de dérivée, nous utiliserons les limites de base et les formules trigonométriques répertoriées ci-dessous :

• lim_{h → 0}arctan x/x = 1

• arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Commençons la preuve de la dérivée d'arctan x

nous avons arctan(x) = y

Appliquez la définition de la dérivée que nous obtenons

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Vérifiez également

• Dérivée des fonctions trigonométriques inverses
• Formules de différenciation
• Identités trigonométriques inverses

Exemples sur le dérivé d'Arctan x

Exemple 1 : Trouvez la dérivée de la fonction f(x) = arctan(3x).

Solution:

Nous utiliserons la règle de la chaîne, qui stipule que si g(x) est différentiable en x et f(x) = arctan (g(x)), alors la dérivée f'(x) est donnée par :

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

Dans ce cas, g(x) = 3x, donc g'(X) = 3. Application de la formule de la règle de chaîne :

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Exemple 2 : Trouver la dérivée de la fonction h(x) = tan ^-1 (x/2)

Solution:

Nous utiliserons la règle de la chaîne selon laquelle f(x) = tan^-1(g(x)), alors la dérivée f'(x) est donnée par :

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

Dans ce cas, g(x) = x/2, donc g'(X) = 1/2. Application de la formule de la règle de chaîne :

aws sns

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

En simplifiant, nous obtenons,

f'(x) = 2/(4+x²)

Exemple 3 : Trouver la dérivée de f(x) = arctan (2x ² )

Solution:

Nous utiliserons la règle de la chaîne, qui stipule que si g(x) est différentiable en x et f(x) = arctan (g(x)), alors la dérivée f'(x) est donnée par :

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

Dans ce cas, g(x) = 2x², donc g'(X) = 4x.

Application de la formule de la règle de chaîne :

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(arctan (2x²)) = 4x/(1+4x⁴)

Questions pratiques sur le dérivé d'Arctan x

Q.1 : Trouver la dérivée de la fonction f(x) = x ² arcane (2x)

Q.2 : Trouver la dérivée de la fonction k(x) = arctan (X ³ +2x)

Q.3 : Trouver la dérivée de la fonction p(x) = x arctan(x ² +1)

Q.4 : Trouver la dérivée de la fonction f(x) = arctan (x)/1+x

Q.5 : Trouver la dérivée de la fonction r(x) = arctan (4x)

En savoir plus,

• Dérivée en mathématiques
• Dérivée de tan inverse x
• Arctan

Dérivé d’Arctan x – FAQ

Qu’est-ce que la dérivée en mathématiques ?

En mathématiques, les dérivées mesurent la façon dont une fonction change à mesure que son entrée (variable indépendante) change. La dérivée d'une fonction f(x) est notée f'(x) ou (d /dx)[f(x)].

Qu'est-ce que le dérivé du bronzage ^-1 (X)?

Dérivé du bronzage^-1(x) par rapport à x est 1/1+x²

Qu’est-ce que l’inverse de tan x ?

Arctan est l'inverse de la fonction tan et c'est l'une des fonctions trigonométriques inverses. Elle est également connue sous le nom de fonction arctan.

Qu'est-ce que la règle de chaîne dans Arctan (X)?

La règle de chaîne est une règle de différenciation. Pour arctan (u), la règle de chaîne stipule que si f(x) = arctan(u), alors f'(x) = (1/1+u²)× du/dx. En appliquant cela à arctan(x), où u=x, donne 1/1+x²

Quelle est la dérivée de f(x) = x tan ^-1 (X)?

Dérivée de f(x) = xtan^-1(x) peut être trouvé en utilisant la règle du produit. Le résultat est donc ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

Qu’est-ce que l’anti-dérivé d’Arctan x ?

La primitive de arctan x est donnée par ∫tan^-1x dx = x bronzage^-1x – ½ ln |1+x²| +C.

Qu’est-ce que le dérivé ?

La dérivée de la fonction est définie comme le taux de changement de la fonction par rapport à une variable indépendante.