La dérivée de Arcsin x est d/dx(arcsinx) = 1/√1-x² . Il est noté d/dx(arcsin x) ou d/dx(sin^-1X). La dérivée d'Arcsin fait référence au processus de recherche du taux de variation de la fonction Arcsin x par rapport à la variable indépendante. La dérivée d'Arcsin x est également connue sous le nom de différenciation d'Arcsin.

Dans cet article, nous découvrirons la dérivée d'Arcsin et sa formule, y compris la preuve de la formule en utilisant le premier principe des dérivées, la règle du quotient et la méthode des règles de chaîne.

Table des matières

• Qu’est-ce que la dérivée en mathématiques ?
• Qu'est-ce que la dérivée d'Arcsin x ?
• Preuve de dérivée d'Arcsin x
• Exemples résolus sur la dérivée d'Arcsin x

Qu’est-ce que la dérivée en mathématiques ?

Dérivé d'une fonction est le taux de changement de la fonction par rapport à toute variable indépendante. La dérivée d'une fonction f(x) est notée f'(x) ou (d /dx)[f(x)]. La différenciation d'une fonction trigonométrique est appelée dérivée de la fonction trigonométrique ou dérivées trigonométriques. La dérivée d'une fonction f(x) est définie comme :

f'(x ₀ ) = lim _{h → 0} [f(x ₀ + h) – f(x ₀ )] / heure

Qu'est-ce que la dérivée d'Arcsin x ?

Parmi les dérivées trigonométriques inverses , la dérivée de l'Arcsin x est l'une des dérivées. La dérivée de la fonction arcsin représente la vitesse à laquelle la courbe arcsin évolue en un point donné. Il est noté d/dx(arcsin x) ou d/dx(sin^-1X). Arcsinx est également connu sous le nom de sin inverse x.

La dérivée de l'Arcsin x est 1/√1-x²

Dérivé de la formule Arcsin x

La formule de la dérivée d'Arcsin x est donnée par :

(d/dx) [Arcsin x] = 1/√1-x²

OU

(Arcsin x)’ = 1/√1-x²

Vérifiez également, Inverse Fonction trigonométrique

Preuve de dérivée d'Arcsin x

La dérivée de tan x peut être prouvée des manières suivantes :

• En utilisant la règle de chaîne
• En utilisant le premier principe de dérivée

Dérivée d'Arcsin par règle de chaîne

Pour prouver la dérivée d'Arcsin x par la règle de chaîne, nous utiliserons la formule trigonométrique et trigonométrique inverse de base :

• sans²et + parce que²y = 1
• péché(arcsinx) = x

Voici la preuve de dérivée d'Arcsin x :

Soit y = arcsinx

Prendre le péché des deux côtés

siny = péché(arcsinx)

Par la définition d'une fonction inverse, on a,

péché(arcsinx) = x

L'équation devient donc siny = x …..(1)

Différencier les deux côtés par rapport à x,

d/dx (siny) = d/dx (x)

confortable · d/dx(y) = 1 [ Comme d/dx(sin x) = cos x]

dy/dx = 1/cosy

Utiliser l'une des identités trigonométriques

sans²y+cos²y = 1

∴cos y = √1 – péché²y = √1–x²[De (1) nous avons siny = x]

dy/dx = 1/√(1–x²)

En remplaçant y = arcsin x

d/dx (arcsinx) = arcsin′x = 1/√1 – x ²

Vérifiez également, Règle de la chaîne

Dérivée d'Arcsin par le premier principe

Pour prouver la dérivée de arcsin x en utilisant Premier principe de dérivée , nous utiliserons les limites de base et formules trigonométriques qui sont listés ci-dessous :

• sans²y+cos²y = 1

• lim_{x → 0}x/sinx = 1

• péché A – péché B = 2 péché [(A – B)/2] cos [(A + B)/2]

Nous pouvons prouver la dérivée de arcsin par le premier principe en suivant les étapes suivantes :

Soit f(x) = arcsinx

Par le premier principe, nous avons

frac{d f( x)}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{f (x + h)- f(x)}{h}

mettons f(x) = arcsinx, on obtient

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{h o 0} frac{arcsin (x + h)- arcsin x}{h}….(1)

Supposons que arcsin (x + h) = A et arcsin x = B

Donc nous avons,

péché A = x+h …..(2)

péché B = x…….(3)

Soustrayez (3) de (2), nous avons

péché A – péchéB = (x+h) – x

péchéA – péchéB = h

Si h → 0, (sin A – sin B) → 0

péché A → péché B ou A → B

Remplacez ces valeurs dans eq(1)

qu'est-ce que modulo en C++

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{Sin A- Sin B}

En utilisant sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2], on obtient

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{2Cos frac{A+B}{2}- 2 Sin frac{A-B}{2}}

qui peut s'écrire :

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{frac{A- B}{2}}{Sin frac{A-B}{2}} imes frac{1}{Cos frac{A+B}{2}}

Maintenant, nous le connaissons_{x → 0}x/sinx = 1, donc l'équation ci-dessus devient

frac{d}{dx}(arcsin x) ={1} imes frac{1}{Cos frac{B+B}{2}}

frac{d}{dx}(arcsin x) =frac{1}{Cos {B}}

Utiliser l'une des identités trigonométriques

sans²y+cos²y = 1

∴ cos B = √1 – péché²B = √1–x²[Péché B = x de (3)]

f′(x) = dy/dx = 1 / √(1–x²)

Vérifiez également

• Dérivée de la fonction trigonométrique
• Formule de différenciation
• Dérivé d'Arctan x
• Dérivée des fonctions inverses

Exemples résolus sur la dérivée d'Arcsin x

Exemple 1 : Trouvez la dérivée de y = arcsin (3x).

Solution:

Soit f(x) = arcsin (3x).

On sait que d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

Par règle de chaîne,

d/dx(arcsin(3x)) = 1/√(1 – (3x)² · d/dx (3x)

= 1/ √(1 -9x²) · (3)

= 3/√(1 -9x²)

Par conséquent, la dérivée de y = arcsin (3x) est 3/√(1 -9x²).

Exemple 2 : Trouvez la dérivée de y = arcsin (1/2x).

Solution:

Soit f(x) = arcsin (1/2x).

On sait que d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

Par règle de chaîne,

d/dx(arcsin(1/2x)) = 1/√(1 – (1/2x)² · d/dx (1/2x)

= 1/ √(1 -(1/4x²) )· (-1/2x²)

= 1/√(4x²– 1)/4x²· (-1/2x²)

= -1/x√4x²- 1

Par conséquent, la dérivée de y = arcsin (1/x) est -1/x√4x²- 1.

Exemple 3 : Trouvez la dérivée de y = x arcsin x.

Solution:

On a y = x arcsin x.

d/dx(arcsin(1/x)) = x · d/dx (arcsin x) + arcsin x · d/dx (x)

= x [1/√1-x²] + arcsin x (1)

= x/√1-x² + arc sinus x
Par conséquent, la dérivée de y = arcsin (1/x) est x/√1-x² + arcsin x

Questions pratiques sur la dérivée du péché x

T1. Trouvez la dérivée de arcsin(5x).

Q2. Trouver la dérivée de x³arcsin(x).

Q3. Évaluer : d/dx [ arcsin(x) / x²+ 1 ]

Q4. Évaluer la dérivée de arcsin(x) – tan(x)

FAQ sur la dérivée d'Arcsin

Qu'est-ce que la dérivée d'Arcsin ?

La dérivée de l'Arcsin x est 1/√1-x²

Qu’est-ce que la dérivée en mathématiques ?

En mathématiques, la dérivée mesure la façon dont une fonction change à mesure que son entrée (variable indépendante) change. La dérivée d'une fonction f(x) est notée f'(x) ou (d /dx)[f(x)].

Qu'est-ce que la dérivée de arcsin(1/x) ?

La dérivée de l'arcsin(1/x) est (-1) / (x√x² – 1).

Qu’est-ce que la dérivée ?

La dérivée de la fonction est définie comme le taux de changement de la fonction par rapport à une variable indépendante.

Qu'est-ce que la dérivée de sin x ?

La dérivée de sin x est cos x.