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Zone du Pentagone

Zone du Pentagone ou l'aire de n'importe quel polygone est l'espace total occupé par cet objet géométrique. En géométrie, la zone et le périmètre sont les grandeurs de mesure les plus fondamentales après le côté. En général, nous étudions deux types de formes en géométrie : les formes plates (formes 2D) et les autres formes solides (formes 3D). Nous ne pouvons calculer l'aire que pour les formes 2D, tandis que pour les formes 3D, nous devons calculer l'aire de la surface. La géométrie traite également des paramètres de ces formes et donne des formules standard pour déterminer leurs paramètres comme l'aire, le périmètre, le volume, etc.

Table des matières



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Cet article traite de l'une des formes plates (2-D) nommée Pentagone et donne une brève description du Pentagone et de ses propriétés. Cet article explique également la méthode de calcul de l'aire d'un pentagone ainsi que quelques exemples de problèmes pour une meilleure compréhension.

Qu'est-ce qu'un Pentagone ?

Le mot Pentagone désigne « cinq angles » car il est dérivé des mots grecs Penta qui signifie cinq et gonia qui signifie angles. Le Pentagone est donc une forme géométrique ayant cinq côtés et cinq angles (intérieur). Un pentagone régulier a cinq côtés égaux, cinq angles intérieurs égaux de mesure 108°, et possède également cinq lignes de symétrie de réflexion et de rotation.

En plus de l'objet géométrique pentagone, Pentagone fait également référence au siège du ministère de la Défense des États-Unis, car ce bâtiment ressemble au Pentagone lui-même. Ce bâtiment est l'un des plus grands immeubles de bureaux au monde.



Quelle est la superficie du Pentagone ?

Le aire d'un pentagone est l'espace à l'intérieur de ses côtés. Nous pouvons déterminer cet espace en utilisant différentes méthodes en fonction de ce que nous savons déjà sur les mesures du pentagone. Il importe également que le pentagone soit régulier ou irrégulier. Si c’est régulier, nous pouvons utiliser une formule pour trouver son aire. Mais s’il est irrégulier, nous devons le diviser en formes plus petites, trouver leurs aires et les additionner. Nous mesurons l’aire d’un pentagone en unités carrées comme les mètres carrés, les centimètres carrés, les pouces carrés ou les pieds carrés. Voyons maintenant comment trouver l’aire d’un pentagone.

Exemples du Pentagone

Il existe de nombreux exemples du Pentagone, qu’ils soient réguliers ou irréguliers, dans la vie quotidienne d’un homme ordinaire. Certains de ces exemples sont les suivants :

Propriétés d'un Pentagone

Un pentagone est une forme bidimensionnelle comportant cinq côtés et cinq angles intérieurs, possédant les propriétés suivantes :



  • La somme de tous les angles intérieurs d’un pentagone est de 540°.
  • Pour le Pentagone régulier :
    • Tous les côtés sont égaux.
    • Tous les angles intérieurs sont égaux et mesurent 108°.
    • Tous les angles extérieurs sont également égaux et mesurent 72°.
    • Les pentagones réguliers ont cinq axes de symétrie qui divisent le pentagone en parties congruentes.
    • De plus, les pentagones réguliers ont également cinq symétries de rotation.
  • Il comporte 5 diagonales se rejoignant au même point.
  • Le rapport entre la longueur de sa diagonale et le côté du pentagone est toujours un nombre d'or (1 + √5)/2.
Symétrie au Pentagone

Formule de la zone du Pentagone

Pour les pentagones réguliers, si le côté est représenté par s et la longueur de l'apothème qui est représentée dans le diagramme suivant, nous pouvons calculer l'aire du pentagone à l'aide de la formule :

Formule de la zone du Pentagone

Aire du pentagone = 1/2 × p × a = 5/2 × s × a

Comment trouver la zone du Pentagone ?

Il existe différentes manières de trouver la zone du Pentagone, qui sont expliquées comme suit :

Zone du Pentagone avec longueur de l'apothème

L'aire d'un pentagone est déterminée par la longueur de son côté et de son apothème. La formule de l’aire d’un pentagone est dérivée en multipliant la longueur de n’importe quel côté et apothème par 5/2. Mathématiquement, la formule est donnée par

Aire du Pentagone (A) = (5/2) s × a

Où,

  • s est le côté
  • un est la longueur de l'apothème

Par exemple: Si un côté d'un pentagone mesure 12 cm et que sa longueur d'apothème est de 6 cm, l'aire du pentagone peut être déterminée par

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Aire du pentagone = (5/2) × côté × longueur de l'apothème

⇒ Aire du pentagone = (5/2) × 12 × 6

⇒ Aire du pentagone = 180 cm2

Zone du Pentagone régulier

L'aire du pentagone peut également être calculée uniquement en utilisant la longueur. Si le côté du pentagone régulier est s, alors l'aire du pentagone peut être calculée à l'aide de la formule suivante :

Superficie du Pentagone = old{frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}s^2}

Par exemple: Si un pentagone a une longueur de côté de 5 cm, l'aire du pentagone peut être déterminée par

Aire du pentagone =frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}s^2

⇒ Aire du pentagone =frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}(5)^2

⇒ Aire du pentagone = 43,01 cm2

Zone du Pentagone irrégulier

L'aire du pentagone irrégulier peut être calculée en divisant le pentagone en petits triangles de quadrilatères (selon celui qui est le plus efficace selon le problème), puis en calculant leurs aires individuelles et en les additionnant pour trouver l'aire du pentagone irrégulier.

Exemple : Calculez l’aire du pentagone irrégulier indiqué dans le diagramme.

Zone du Pentagone irrégulier

Solution:

Le pentagone ABCDE peut être divisé en deux parties, à savoir le rectangle ABCE et le triangle DCE.

Ainsi, Aire de ABCDE = Aire de ABCE + Aire de DCE

⇒ Aire de ABCDE = AB × BC + 1/2 × CD × DE

⇒ Aire de ABCDE = 8 × 6 + 1/2 × 5 × 7

⇒ Aire de ABCDE = 48 + 17,5 = 65,5 cm2

En savoir plus,

  • Aire d'un carré
  • Aire du rectangle
  • Aire d'un losange
  • Aire d'un parallélogramme

Exemples de problèmes dans la zone du Pentagone

Problème 1. Trouvez l'aire d'un pentagone avec un côté de 5 cm et une longueur d'apothème de 4 cm.

Solution:

Donné

Côté du pentagone = 5 cm

longueur de l'apothème = 4 cm

Nous avons,

Superficie = (5/2) × s × a

⇒ UNE = (5/2) × 5 × 4

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⇒ A = 50 cm2

Problème 2. Trouvez l'aire d'un pentagone avec un côté de 12 cm et une longueur d'apothème de 6 cm.

Solution:

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Donné:

Côté du pentagone = 12 cm

longueur de l'apothème = 6 cm

Nous avons,

Superficie = (5/2) × s × a

⇒ UNE = (5/2) × 12 × 6

⇒ A = 180 cm2

Problème 3. Trouvez l’aire d’un pentagone dont le côté mesure 4 cm.

Solution:

Donné:

La longueur du côté du pentagone est de 4 cm

Nous avons,

Aire du pentagone =frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}s^2

⇒ UNE =frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}4^2

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⇒ A = 27,52 cm2

Problème 4. Trouvez l’aire d’un pentagone dont le côté mesure 6 cm.

Solution:

Donné:

La longueur du côté du pentagone est de 6 cm.

Nous avons,

Aire du pentagone =frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}s^2

⇒ UNE =frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}6^2

⇒ A = 61,93 cm2

Zone du Pentagone – FAQ

Combien de côtés a un Pentagone ?

Les pentagones ont cinq côtés, cinq angles internes ainsi que cinq sommets.

Combien y a-t-il de diagonales dans un Pentagone ?

Il y a 5 diagonales dans le pentagone de l'objet géométrique.

Comment trouver la superficie du Pentagone ?

Nous pouvons trouver l’aire du pentagone en utilisant la formule A = (5/2) × s × a, où s est la longueur du côté du pentagone et a est la longueur de l’apothème.

Combien y a-t-il de triangles dans un Pentagone ?

N'importe quel polygone peut être divisé en triangles uniques, où en les joignant, nous obtenons le polygone d'origine. Les pentagones peuvent être divisés en trois de ces triangles.

Qu'est-ce qu'un Pentagone régulier ?

Un pentagone dont tous les côtés sont égaux est appelé pentagone régulier.