En mathématiques, les termes d'exposants et de puissances sont utilisés lorsqu'un nombre est multiplié par lui-même par un certain nombre de fois. Par exemple, 4 × 4 × 4 = 64. Cela peut également s'écrire sous forme abrégée sous la forme 4³= 64. Ici, 4³signifie que le nombre 4 est multiplié par lui-même par trois, et la forme abrégée 4³est l'expression exponentielle. Le nombre 4 est le nombre de base, tandis que le nombre 3 est l'exposant, et nous lisons l'expression exponentielle donnée comme 4 élevé à la puissance 3. Dans une expression exponentielle, la base est le facteur qui est multiplié à plusieurs reprises par lui-même, alors que l'exposant est le nombre de fois que le facteur apparaît.

Définition des exposants et des puissances

Si un nombre est multiplié par lui-même n fois , l'expression résultante est connue sous le nom de nième puissance du numéro donné. Il existe une très fine différence entre l’exposant et la puissance. Un exposant est le nombre de fois qu'un nombre donné a été multiplié par lui-même, tandis que la puissance est la valeur du produit du nombre de base élevé à un exposant. À l’aide de la forme exponentielle des nombres, nous pouvons exprimer plus facilement des nombres extrêmement grands et petits. Par exemple, 1 000 000 000 peut être exprimé sous la forme 1 × 10⁸, et 0,0000000000013 peut être exprimé sous la forme 13 × 10^-13. Cela rend les chiffres plus faciles à lire, aide à maintenir leur exactitude et nous fait également gagner du temps.

Règles des exposants et des puissances

Les règles des exposants et des puissances expliquent comment additionner, soustraire, multiplier et diviser les exposants ainsi que comment résoudre divers types d'équations mathématiques impliquant des exposants et des puissances.

Règle 1: Loi du produit des exposants

Selon cette loi, lorsque des exposants de mêmes bases sont multipliés, les exposants s'additionnent.

Loi du produit des exposants : a^m× unⁿ=un^(m+n)

Règle 2 : Règle du quotient des exposants

Selon cette loi, pour diviser deux exposants de mêmes bases, il faut soustraire les exposants.

Règle du quotient des exposants : a^m/unⁿ=un^(m–n)

Règle 3 : Puissance d’une règle de puissance

Selon cette loi, si un nombre exponentiel est élevé à une autre puissance, alors les puissances sont multipliées.

Puissance d'une règle de puissance : (une^m)ⁿ=un^{(m × n)}

Règle 4 : Puissance d'une règle de produit

Selon cette loi, il faut multiplier les différentes bases et élever le même exposant au produit des bases.

Règle de puissance d'un produit : a^m×b^m=(une × b)^m.

Règle 5 : Puissance d'une règle de quotient

D’après cette loi, il faut diviser les différentes bases et élever le même exposant au quotient des bases.

Puissance d'une règle de quotient : a^m÷b^m=(a/b)^m

Règle 6 : Règle de l'exposant zéro

Selon cette loi, si la valeur d’une base élevée à la puissance zéro est 1.

Règle de l'exposant zéro : a⁰=1

Règle 7 : Règle de l'exposant négatif

Selon cette loi, si un exposant est négatif, alors changer l'exposant en positif en prenant l'inverse d'un nombre exponentiel.

Règle de l'exposant négatif : a^-m= 1/a^m

Règle 8 : Règle des exposants fractionnaires

Selon cette loi, lorsque nous avons un exposant fractionnaire, cela donne des radicaux.

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Règle de l'exposant fractionnaire : a^(1/n)=ⁿ√un

un^(m/n)=ⁿ√un^m

Que signifie 10 à la puissance 4 ?

Solution:

Calculons la valeur de 10 à la 4ème moyenne, soit 10⁴

Nous savons que d’après la règle de puissance des exposants,

un^m= a × a × a… m fois

On peut donc écrire 10⁴comme 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

Donc,

la valeur de 10 élevée à la puissance 4, soit 10⁴vaut 10 000.

Exemples de problèmes

Problème 1 : trouver la valeur de 3⁶.

Solution:

L'expression donnée est 3⁶.

La base de l'expression exponentielle donnée est 3, tandis que l'exposant est 6, c'est-à-dire que l'expression donnée est lue comme 3 est élevé à la puissance 6.

Donc, en développant 3⁶, on obtient 3⁶= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

D’où la valeur de 3⁶est 729.

Problème 2 : Déterminer l'exposant et la puissance de l'expression (12)⁵.

Solution:

L'expression donnée est 12⁵.

La base de l'expression exponentielle donnée est 12, tandis que l'exposant est 5, c'est-à-dire que l'expression donnée est lue comme 12 est élevé à la puissance 5.

Problème 3 : Évaluer (2/7)^-5× (2/7)⁷.

Solution:

Donné : (2/7)^-5×(2/7)⁷

Nous le savons, un^m× unⁿ= un^{(m + n)}

Alors, (2/7)^-5×(2/7)⁷= (2/7)^(-5+7)

= (2/7)²= 4/49

Par conséquent, (2/7)^-5× (2/7)⁷= 4/49

Problème 4 : Trouver la valeur de x dans l'expression donnée : 5^3x-2= 625.

Solution:

Étant donné, 5^3x-2= 625.

5^3x-2= 5⁴

En comparant les exposants de base similaire, on obtient

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

La valeur de x est donc 2.

Problème 5 : Trouver la valeur de k dans l'expression donnée : (-2/3)⁴23)^-quinze= (23)^7k+3

Solution:

Donné,

(-23)⁴23)^-quinze= (23)^7k+3

23)⁴23)^-quinze= (23)^7k+3{Depuis (-x)⁴=x⁴}

combien y a-t-il de fruits

Nous le savons, un^m× unⁿ= un^{(m + n)}

23)^4-15= (2/3)7k+3

23)^-onze= (23)^7k+3

En comparant les exposants de base similaire, on obtient

⇒ -11 = 7k +3

⇒ 7k = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

La valeur de k est donc -2.