L'algèbre est l'un des sujets fondamentaux des mathématiques. Les polynômes sont une partie essentielle de l'algèbre. La formule de Vieta est utilisée dans les polynômes. Cet article concerne la formule de Vieta qui relie la somme et le produit des racines au coefficient du polynôme. Cette formule est spécifiquement utilisée en algèbre.
La formule de Vieta
Les formules de Vieta sont les formules qui fournissent la relation entre la somme et le produit des racines du polynôme avec les coefficients des polynômes. La formule de Vieta décrit les coefficients du polynôme sous la forme de la somme et du produit de sa racine.
La formule de Vieta
La formule de Vieta traite de la somme et du produit des racines et du coefficient du polynôme. Il est utilisé lorsque nous devons trouver le polynôme lorsque les racines sont données ou lorsque nous devons trouver la somme ou le produit des racines.
Formule de Vieta pour l'équation quadratique
- Si f(x) = hache 2 + bx + c est une équation quadratique avec des racines un et b alors,
- Somme des racines = α + β = -b/a
- Produit de racines = αβ = c/a
- Si la somme et le produit des racines sont donnés alors, l'équation quadratique est donnée par :
- X 2 – (somme des racines)x + (produit des racines) = 0
La formule de Vieta pour l'équation cubique
- Si f(x) = hache 3 + boîte 2 +cx +d est une équation quadratique avec des racines un B et c alors,
- Somme des racines = α + β + γ = -b/a
- Somme du produit de deux racines = αβ + αγ + βγ = c/a
- Produit de racines = αβγ = -d/a
- Si la somme et le produit des racines sont donnés alors, l'équation cubique est donnée par :
- X 3 – (somme des racines)x 2 + (somme du produit de deux racines)x – (produit des racines) = 0
Formule de Vieta pour une équation généralisée
Si f(x) = une n X n + un n-1 X n-1 + un n-2 X n-2 + ……… + un 2 X 2 + un 1 x + un 0 est une équation quadratique avec des racines r 1 , r 2 , r 3 , ……r n-1 , r n alors,
r 1 +r 2 +r 3 +………. +r n-1 +r n = -une n-1 /un n
(r 1 r 2 +r 1 r 3 +…. +r 1 r n ) + (r 2 r 3 +r 2 r 4 +……. +r 2 r n ) + ……… + r n-1 r n = un n-2 /un n
:
:
r 1 r 2 …r n = (-1) n (un 0 /un n )
Exemples de problèmes
Problème 1 : Si α , β sont les racines de l'équation : x 2 – 10x + 5 = 0 , puis trouvez la valeur de (α 2 + b 2 )/(un 2 b + ab 2 ).
Java obtient la date actuelle
Solution:
Donné Équation:
- X2– 10x + 5 = 0
Par la formule de Vita
une + b = -b/une = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Comme un2+b2) = (une + b)2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(un2+b2) = 90
Maintenant, la valeur de (α2+ b2)/(un2b + ab2)
= (un2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Problème 2 : Si α , β sont les racines de l'équation : x 2 + 7x + 2 = 0 , puis trouvez la valeur de 14÷(1/α + 1/ β).
Solution:
Équation donnée :
- X2+ 7x + 2 = 0
Par la formule de Vita
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Maintenant, (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Maintenant valeur de 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Problème 3 : Si α , β sont les racines de l'équation : x 2 + 10x + 2 = 0 , puis trouvez la valeur de (α/β + β/α).
Solution:
Équation donnée :
- X2+ 10x + 2 = 0
Par la formule de Vita
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Comme un2+b2) = (une + b)2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Maintenant, valeur de (a/b + b/a) = (a2+b2)/un B
ROM= 96/2
= 48
Problème 4 : Si α et β sont les racines de l'équation et étant donné que α + β = -100 et αβ = -20 alors trouvez l'équation quadratique.
Solution:
Donné,
- Somme des racines = α + β = -100
- Produit de racines = αβ = -20
L'équation quadratique est donnée par :
X2– (somme des racines)x + (produit des racines) = 0
X2– (-100)x + (-20) = 0
X 2 + 100x – 20 = 0
Problème 5 : Si α , β et γ sont les racines de l'équation et étant donné que α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 et αβ γ = -6 alors trouvez l'équation cubique.
Solution:
Donné,
- Somme des racines = α + β + γ = 10,
- Somme du produit de deux racines = αβ + αγ + βγ = -1
- Produit de racines = moy = -6
L'équation cubique est donnée par :
X3– (somme des racines)x2+ (somme du produit de deux racines)x – (produit des racines) = 0
X3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
X 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Problème 6 : Si α , β et γ sont les racines de l'équation x 3 + 1569x 2 – 3 = 0 puis trouver la valeur de [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b)] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
Solution:
Donné,
normalisation dans la base de données
- Somme des racines = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Somme du produit de deux racines = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Produit de racines = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Depuis, (p3+q3+r3– 3pqr) = (p + q + r)(p2+q2+r2– pq – qr – pr) ……(1)
Soit p = (1/a) + (1/b ), q = (1/c) + (1/b ), r = (1/c) + (1/a )
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
De l'équation (1):
(p3+q3+r3– 3pqr) = 0
p3+q3+r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b)]3+ [(1/c) + (1/b)]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/une) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/une )]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )
= -3/moy = -3/3
= -1
Problème 7 : Si α et β sont les racines de l'équation x 2 – 3x +2 =0 puis trouver la valeur de α 2 –b 2 .
Solution:
Donné,
- Somme des racines = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Produit de racines = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Comme (a – b)2= (une + b)2-4ab
(un B)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(une – b) = 1
Depuis,
un2–b2= (une – b)(une + b) = (1)(3) = 3
un 2 –b 2 = 3