Un mathématicien célèbre DeMorgan a inventé les deux théorèmes les plus importants de l'algèbre booléenne. Les théorèmes de DeMorgan sont utilisés pour la vérification mathématique de l'équivalence des portes NON-OU et ET négatif et des portes OU négatif et NON-ET. Ces théorèmes jouent un rôle important dans la résolution de diverses expressions de l'algèbre booléenne. Dans le tableau ci-dessous, l'opération logique pour chaque combinaison de la variable d'entrée est définie.
| Variables d'entrée | État de sortie | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| UN | B | ET | NON-ET | OU | NI |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Les règles du théorème de De-Morgan sont produites à partir des expressions booléennes pour OR , AND et NOT en utilisant deux variables d'entrée x et y. Le premier théorème de Demorgan dit que si nous effectuons l'opération ET de deux variables d'entrée, puis effectuons l'opération NON du résultat, le résultat sera le même que l'opération OU du complément de cette variable. Le deuxième théorème de DeMorgan dit que si nous effectuons l'opération OU de deux variables d'entrée, puis effectuons l'opération PAS opération du résultat, le résultat sera le même que l’opération ET du complément de cette variable.
Premier théorème de De-Morgan
Selon le premier théorème, le résultat du complément de l’opération ET est égal à l’opération OU du complément de cette variable. Ainsi, elle est équivalente à la fonction NAND et est une fonction OU négatif prouvant que (A.B)' = A'+B' et nous pouvons le montrer à l'aide du tableau suivant.
| Contributions | Sortie pour chaque terme | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| UN | B | UN B | (UN B)' | UN' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Deuxième théorème de De-Morgan
Selon le deuxième théorème, le résultat du complément de l’opération OU est égal à l’opération ET du complément de cette variable. Ainsi, c'est l'équivalent de la fonction NOR et c'est une fonction ET négatif prouvant que (A+B)' = A'.B' et nous pouvons le montrer en utilisant la table de vérité suivante.
| Contributions | Sortie pour chaque terme | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| UN | B | A+B | (A+B)' | UN' | B' | UN B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Prenons quelques exemples dans lesquels nous prenons quelques expressions et appliquons les théorèmes de DeMorgan.
Exemple 1 : (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Exemple 2 : (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Exemple 3 : ((A+BC')'+D(E+F')')'
Pour appliquer le théorème de DeMorgan sur cette expression, il faut suivre les expressions suivantes :
1) En expression complète, nous trouvons d'abord les termes sur lesquels nous pouvons appliquer le théorème de DeMorgan et traiter chaque terme comme une variable unique.
Donc,
2) Ensuite, nous appliquons le premier théorème de DeMorgan. Donc,
3) Ensuite, nous utilisons la règle numéro 9, c'est-à-dire (A=(A')') pour annuler les doubles barres.
4) Ensuite, nous appliquons le deuxième théorème de DeMorgan. Donc,
5) Appliquez à nouveau la règle numéro 9 pour annuler la double barre
Or, cette expression n’a aucun terme auquel on puisse appliquer une règle ou un théorème. Voilà donc l'expression finale.
Exemple 3 : (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
méthodes de liste de tableaux Java
